増減表と極値

関数 $$f(x)=x^3-6x^2+9x+1$$ の極大値と極小値を、この順に求めよ。

関数 $$f(x)=2x^3+3x^2-12x+1$$ の極大値と極小値を、この順に求めよ。

関数 $$f(x)=x^3-6x^2+9x+1$$ の極大値と極小値を、この順に求めよ。

関数 $f(x)=2x^3-3x^2-12x$ の $-2\le x\le 3$ における最大値と最小値を、この順に求めよ。

関数 $$f(x)=-x^3+3x^2+9x-2$$ の $-2\le x\le 4$ における最大値と最小値を、この順に求めよ。

関数 $f(x)=2x^3-3x^2-12x+1$ の $-2\le x\le 3$ における最小値を求めよ。

$k$ を実数の定数とする。$x$ についての方程式 $$x^3-3x^2=k$$ が異なる $3$ つの実数解をもつような $k$ の値の範囲を求めよ。

$k$ を実数の定数とする。$x$ の $3$ 次方程式 $$x^3-3x^2-9x-k=0$$ が異なる $3$ つの実数解をもつような $k$ の値の範囲を求めよ。

$k$ を実数の定数とする。$x$ の方程式
$$2x^3+3x^2-12x-k=0$$
が異なる $3$ つの実数解をもつような $k$ の値の範囲を求めよ。

$k$ を実数の定数とする。すべての正の実数 $x$ に対して、不等式 $$x\log x\geqq x+k$$ が成り立つような $k$ の最大値を求めよ。ただし、$\log$ は自然対数とする。

$x>0$ のとき、不等式 $$x>2\log x$$ が成り立つことを示すために、差をとった関数 $$f(x)=x-2\log x(x>0)$$ を考える。$f(x)$ の最小値を求めよ。ただし、$\log$ は自然対数とする。

すべての正の実数 $x$ に対して、不等式
$$x-\log x\geqq k$$
が成り立つような実数の定数 $k$ の最大値を求めよ。ただし、対数は自然対数とする。

$\lambda >0$ を未知の母数とする。ある窓口に 1 時間あたりに来る客の人数 $X$ は、確率関数
$$P(X=k)=\frac{{\lambda }^k{e}^{-\lambda }}{k!}(k=0,1,2,\dots )$$
に従うとする（ただし $0!=1$）。異なる 7 つの時間帯で客の人数を互いに独立に観測したところ、
$$3,1,0,2,4,1,2$$
という結果を得た。この観測結果にもとづく $\lambda$ の最尤推定値を求めよ。

$p$ を $0<p<1$ を満たす未知の母数とする。ある試行を成功するまで繰り返し、初めて成功するまでの回数 $X$（成功した回も数える）は、確率関数
$$P(X=k)=(1-p{)}^{k-1}p(k=1,2,3,\dots )$$
にしたがうとする。この実験を互いに独立に $4$ 回行ったところ、$X$ の観測値は $3,1,4,2$ であった。このデータにもとづく $p$ の最尤推定値を求めよ。

表が出る確率が $p$ $(0<p<1)$ の硬貨があり、$p$ は未知とする。「表が初めて出るまで硬貨を投げ続け、投げた回数を記録する」という試行を互いに独立に $5$ 回行う。$1$ 回の試行で記録される回数 $X$ は
$$P(X=k)=(1-p{)}^{k-1}p(k=1,2,3,\dots )$$
に従う。記録された回数は
$$2,5,1,3,4$$
であった。このデータにもとづく $p$ の最尤推定値を求めよ。

確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の確率変数列 $X_1,X_2,X_3,\dots$ は独立で、どれも平均 $1$ の指数分布（確率密度関数 $f(x)=e^{-x}(x\ge 0)$、$f(x)=0(x<0)$）に従うとする。正の整数 $n$ に対して
$$S_n=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{X}_k{e}^{-X_k}$$
とおく。確率 $1$ で極限 $L=\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$ が存在し、$L$ は定数になる。この定数 $L$ を求めよ。

閉区間 $[0,1]$ 上の実数値連続関数全体のなすノルム空間 $C[0,1]$ を考える。ノルムは上限ノルム
$$\Vert f{\Vert }_{\infty }=\underset{0\le x\le 1}{\max }|f(x)|$$
とする。関数 $f(x)=x-x^3$ に対して、$\Vert f{\Vert }_{\infty }$ の値を求めよ。

$a,b$ は実数の定数とする。関数
$$f(x)=2x^3+a{x}^2+bx+1$$
が $x=-1$ で極大値 $8$ をとるとき、$f(x)$ の極小値を求めよ。

$a$ を実数の定数とする。$x$ についての方程式
$$x^3-6x^2+9x-a=0$$
の異なる実数解がちょうど $2$ 個となるような $a$ の値をすべて求めよ。

$a,b$ を実数の定数とする。関数 $f(x)=2x^3+a{x}^2+bx$ が $x=2$ で極小値 $-20$ をとるとき、$f(x)$ の極大値を求めよ。

$x>0$ を満たすすべての実数 $x$ に対して、不等式
$$\log x\le a\sqrt{x}$$
が成り立つような実数 $a$ の最小値を求めよ。ただし、対数は自然対数とする。

$k$ を実数の定数とする。$x$ についての方程式
$$x\log x=k(x>0)$$
が異なる $2$ つの実数解をもつような $k$ の値の範囲を求めよ。ただし、$\log$ は自然対数とし、$\underset{x\to +0}{\lim }x\log x=0$ であることを用いてよい。

ルベーグ測度に関する複素ヒルベルト空間 $L^2([0,2])$ 上の作用素 $T$ を
$$(Tf)(x)=(x^2-x)f(x)(f\in L^2([0,2]),x\in [0,2])$$
で定める。$T$ のスペクトル $\sigma (T)=\{\lambda \in \mathbb{C}\mid T-\lambda I\text{が有界な逆作用素をもたない}\}$ を求めよ。

$\theta >0$ を未知の母数とする。確率密度関数
$$f(x;\theta )=\{\begin{array}{ll}\theta x^{\theta -1}& (0<x<1)\\ 0& (\text{otherwise})\end{array}$$
をもつ母集団から、大きさ $4$ の無作為標本を抽出したところ、観測値は
$$\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\frac{1}{2}$$
であった。この観測値に基づく $\theta$ の最尤推定値を求めよ。

$u=u(x,t)$ に対する非粘性バーガース方程式の初期値問題
$$u_t+u{u}_x=0(x\in \mathbb{R},t>0),u(x,0)=\frac{1}{1+x^2}(x\in \mathbb{R})$$
を考える。$T>0$ に対し、$\mathbb{R}\times [0,T)$ 上で $C^1$ 級の解（古典解）が存在するような $T$ の上限を $T^{\ast }$ とする。$T^{\ast }$ を求めよ。

伝達関数
$$G(s)=\frac{6(1-s)}{(s+2)(s+3)}$$
で表される線形時不変系を考える。初期状態を $0$ とし、時刻 $t=0$ に単位ステップ入力 $u(t)=1(t\ge 0)$ を加えたときの出力を $y(t)(t\ge 0)$ とする。この系は右半平面 $s=1$ に零点をもつため、ステップ応答は最初に負の向きへ振れる（逆ぶれ）。$t\ge 0$ における $y(t)$ の最小値を求めよ。

ある工場では、ある製品を自社で生産して在庫し、そこから一定の割合で出荷している。製品の需要は年間 $12000$ 個で一定である。生産は 1 回ごとにまとめて $Q$ 個（ロットサイズ）を行い、生産中は年間 $48000$ 個の一定の速さで製品ができあがる。生産中も出荷は続けるので、生産中の在庫は（生産の速さ）$-$（需要の速さ）の割合で増え、生産が終わると需要の速さで減っていく。在庫が $0$ になった時点で次の生産を始めるものとし、品切れは起こさない。

1 回の生産ごとに、ロットサイズによらず段取り費用 $9000$ 円がかかる。また、製品 $1$ 個を $1$ 年間保管する費用は $200$ 円であり、保管費用は平均在庫量に比例するものとする。

1 年あたりの段取り費用と保管費用の合計を最小にするロットサイズ $Q$（個）を求めよ。ただし $Q$ は正の実数として扱ってよい。

正の実数 $\lambda$ に対して
$$I(\lambda )={\int }_0^{\infty }\exp \left(-\lambda \left(x^2+\frac{2}{x}\right)\right)dx$$
とおく。極限
$$L=\underset{\lambda \to \infty }{\lim }\sqrt{\lambda }{e}^{3\lambda }I(\lambda )$$
は存在して正の実数になる。$L$ の値を求めよ。

関数 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\cup \{+\infty \}$ を
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{x}+4x& (x>0)\\ +\infty & (x\le 0)\end{array}$$
で定める。$f$ の凸共役（ルジャンドル・フェンシェル変換）を
$$f^{\ast }(y)=\underset{x\in \mathbb{R}}{\sup }(xy-f(x))(y\in \mathbb{R})$$
とする。実数 $y$ が $y<4$ を満たすとき、$f^{\ast }(y)$ を $y$ の式で表せ。

$2$ 次実対称行列
$$X=\left(\begin{array}{cc}{x}_{11}& x_{12}\\ x_{12}& x_{22}\end{array}\right)$$
を変数とする次の半正定値計画問題 $(\mathrm{P})$ を考える。ここで $X⪰O$ は $X$ が半正定値であることを表す。
$$(\mathrm{P})\text{minimize}4x_{11}+x_{22}\text{subject to}{x}_{12}=3,x_{11}\ge 2,X⪰O.$$
$(\mathrm{P})$ の最適値を求めよ。

$\lambda$ を $(0,\infty )$ 上のルベーグ測度とし、$f\in L^1((0,\infty ),\lambda )$（実数値）とする。$x>0$ に対して
$$F(x)={\int }_0^{\infty }\frac{f(t)}{t}{e}^{-x/t}dt$$
と定める。各 $x>0$ でこの積分が存在し、$F\in L^1((0,\infty ),\lambda )$ であって
$${\int }_0^{\infty }F(x)dx={\int }_0^{\infty }f(t)dt$$
が成り立つことを証明せよ。

なお、$(0,\infty )\times (0,\infty )$ 上の（完備化した）積測度 $\lambda \otimes \lambda$ に対するフビニの定理・トネリの定理は用いてよい。

正の定数 $a,b,c,d$ に対し、ロトカ・ヴォルテラ方程式
$$x^{\prime }(t)=x(t)(a-by(t)),y^{\prime }(t)=y(t)(-c+dx(t))$$
を考える。$D=\{(x,y)\mid x>0,y>0\}$ とし、$D$ 上の関数
$$V(x,y)=dx-c\log x+by-a\log y$$
を定める。また $p=\frac{c}{d},q=\frac{a}{b}$ とおく。

区間 $J$ 上で定義された微分可能な解 $(x(t),y(t))$ で、すべての $t\in J$ について $(x(t),y(t))\in D$ を満たすものを考える。このとき、$V(x(t),y(t))$ は $t\in J$ によらず一定であり、さらに $D$ 上で $V(x,y)\ge V(p,q)$ が成り立ち、等号は $(x,y)=(p,q)$ のときに限ることを証明せよ。

$[0,1]\times [0,1]$ 上の関数 $G$ を
$$G(x,y)=\{\begin{array}{ll}x(1-y)& (0\le x\le y\le 1)\\ y(1-x)& (0\le y\le x\le 1)\end{array}$$
で定める（これは境界値問題 $-u^{\prime \prime }=f$, $u(0)=u(1)=0$ のグリーン関数である）。$u$ を $[0,1]$ 上の実数値 $C^2$ 級関数で $u(0)=u(1)=0$ をみたすものとする。このとき、すべての $x\in [0,1]$ について
$$u(x)=-{\int }_0^{1}G(x,y)u^{\prime \prime }(y)dy$$
が成り立つことを用いて、
$$\underset{0\le x\le 1}{\max }|u(x)|\le \frac{1}{8}\underset{0\le x\le 1}{\max }|u^{\prime \prime }(x)|$$
が成り立つことを示せ。ただし、上の積分表示も証明の中で示すこと。

ある工場では、ある部品を自社の生産ラインで製造している。この部品の需要は年間 $9000$ 個で、一定の割合で生じる。部品の生産と在庫について、次を仮定する。

• 生産中は部品が年間 $27000$ 個の一定の割合で完成し、完成した部品はただちに在庫に加わる。生産中も需要は同じ割合で生じ続ける。
• $1$ 回の生産（ロット）ごとに、生産量によらず $4000$ 円の段取り費用がかかる。
• 部品 $1$ 個を $1$ 年間保管するのに $300$ 円の保管費用がかかり、保管費用は在庫量の時間平均に比例する。
• 品切れは許さず、在庫がちょうど $0$ になった時点で次の生産を始める。毎回の生産量は同じ $Q$ 個とし、$Q$ は正の実数として扱ってよい。

$1$ 年あたりの段取り費用と保管費用の合計の最小値（円）を求めよ。

1 入力 1 出力の連続時間線形時不変系の伝達関数 $G(s)$ は実係数の真にプロパーな有理関数であり、次の条件をすべて満たすとする（$G(s)$ は既約な形で考え、分子と分母に共通因子はないものとする）。

• $G(s)$ の極は $s=-1$ と $s=-2$ のみで、いずれも単純極である。
• $G(s)$ の零点は $s=1$ のみで、単純零点である。
• 直流ゲインは $G(0)=1$ である。

この系に、初期状態を零として単位ステップ入力 $u(t)=1(t\ge 0)$ を加えたときの出力を $y(t)$ とする。$t\ge 0$ における $y(t)$ の最小値を求めよ。

正の整数 $n$ に対し
$$I_n={\int }_0^{\infty }\frac{n^3}{x^3}\left(\frac{x}{n}-\sin \frac{x}{n}\right)\frac{dx}{(1+x^2{)}^2}$$
とおく（積分は $(0,\infty )$ 上のルベーグ測度に関するもの）。極限 $\underset{n\to \infty }{\lim }{I}_n$ の値を求めよ。

$a$ を実数の定数とし、関数
$$f(x)=2x^3-3(a+1)x^2+6ax$$
を考える。$f(x)$ が極大値と極小値をもち、かつ（極大値）$-$（極小値）$=8$ となるような $a$ の値をすべて求めよ。

放物線 $y=4-x^2$ と $x$ 軸の交点を $\mathrm{A}(-2,0)$, $\mathrm{B}(2,0)$ とする。実数 $t$ が $0<t<2$ の範囲を動くとき、放物線上の 2 点 $\mathrm{P}(t,4-t^2)$, $\mathrm{Q}(-t,4-t^2)$ をとる。四角形 $\mathrm{ABPQ}$ の面積の最大値を求めよ。

$a$ を $a>1$ を満たす実数の定数とし、関数
$$f(x)=2x^3-3(a+1)x^2+6ax$$
を考える。$f(x)$ の極大値と極小値の差が $27$ であるとき、$f(x)$ の極小値を求めよ。

$a$ を実数の定数とする。すべての実数 $x$ に対して不等式
$$e^x\ge a(x+2)$$
が成り立つような $a$ の値の範囲を求めよ。

関数 $f(x)=x^3+2x-1$ （$x$ は実数）の逆関数を $g(x)$ とする。また、$x\ne 0$ である実数 $x$ に対して
$$h(x)=\frac{g(x^2+1)}{x}$$
と定める。$h^{\prime }(1)$ の値を求めよ。

$a$ を実数の定数とする。すべての正の実数 $x$ に対して、不等式
$$\log x\le a\sqrt{x}$$
が成り立つような $a$ の値の範囲を求めよ。ただし、対数は自然対数とする。

曲線 $C:y=\frac{1}{x}(x\ne 0)$ 上の点 $\mathrm{P}\left(t,\frac{1}{t}\right)$ を考える。ただし $t$ は正の実数とする。点 $\mathrm{P}$ における $C$ の法線は、$\mathrm{P}$ 以外のもう 1 点 $\mathrm{Q}$ で $C$ と交わる。$t$ が正の実数全体を動くとき、線分 $\mathrm{PQ}$ の長さの最小値を求めよ。

$k$ を実数の定数とする。$x$ についての方程式
$$x+2\cos x=k(0\leqq x\leqq 2\pi )$$
が異なる実数解をちょうど $3$ 個もつような $k$ の値の範囲を求めよ。

関数 $$f(x)=e^{\cos x}\sin x(0\leqq x\leqq \pi )$$ の最大値を求めよ。ただし、$e$ は自然対数の底とする。

曲線 $C:y=e^{-x}$ 上の点 $\mathrm{P}(t,e^{-t})$ における $C$ の接線を $\ell$ とする。ただし、$t$ は正の実数とし、$e$ は自然対数の底とする。$\ell$ と $x$ 軸の交点を $\mathrm{Q}$、$\ell$ と $y$ 軸の交点を $\mathrm{R}$、原点を $\mathrm{O}$ とする。$t$ が正の実数全体を動くとき、三角形 $\mathrm{OQR}$ の面積の最大値を求めよ。

関数 $$f(x)={\sin }^{3}x\cos x\left(0\leqq x\leqq \frac{\pi }{2}\right)$$ の最大値を求めよ。

正の実数 $\lambda$ に対して
$$I(\lambda )={\int }_0^1{x}^{\lambda }(1-x{)}^{2\lambda }dx$$
とおく。極限
$$L=\underset{\lambda \to \infty }{\lim }\sqrt{\lambda }{\left(\frac{27}{4}\right)}^{\lambda }I(\lambda )$$
は有限の正の値をとる。$L$ の値を求めよ。

閉区間 $[0,1]$ 上の実数値連続関数全体の集合 $C[0,1]$ に、距離
$$d(f,g)=\underset{0\le x\le 1}{\max }|f(x)-g(x)|$$
を入れた距離空間を考える。1 次以下の多項式関数全体の集合を $L=\{\ell (x)=ax+b\mid a,b\in \mathbb{R}\}\subset C[0,1]$ とし、$f(x)=x^3$ とする。点 $f$ と部分集合 $L$ の距離
$$d(f,L)=\underset{\ell \in L}{\inf }d(f,\ell )$$
を求めよ。

伝達関数
$$G(s)=\frac{6(s+1)}{(s+2)(s+3)}$$
で表される線形時不変系を考える。この系の極はすべて負の実数であるが、零点 $s=-1$ が極より虚軸に近いため、ステップ応答に行き過ぎ（オーバーシュート）が生じる。

初期状態を $0$ とし、時刻 $t=0$ に単位ステップ入力 $u(t)=1(t\ge 0)$ を加えたときの出力を $y(t)$ とする。$t\ge 0$ における $y(t)$ の最大値を与える時刻 $t_p$ と最大値 $y_{\max }$ を、この順に組 $(t_p,y_{\max })$ で求めよ。

正の定数 $N,\beta ,\gamma$ に対し、SIR モデル
$$S^{\prime }(t)=-\frac{\beta }{N}S(t)I(t),I^{\prime }(t)=\frac{\beta }{N}S(t)I(t)-\gamma I(t),R^{\prime }(t)=\gamma I(t)$$
を初期条件 $S(0)=S_0,I(0)=I_0,R(0)=0$（ただし $S_0>0,I_0>0,S_0+I_0=N$）のもとで考え、基本再生産数を $R_0=\frac{\beta }{\gamma }$ とおく。

この初期値問題の解 $(S(t),I(t),R(t))$ が $t\ge 0$ で一意に存在して $C^1$ 級であり、すべての $t\ge 0$ で $S(t)>0,I(t)>0$ であることは用いてよい。

このとき、極限 $S_{\infty }=\underset{t\to \infty }{\lim }S(t)$ が存在して
$$0<S_{\infty }<\frac{N}{R_0}$$
を満たすことを証明せよ。

実数 $x,y,z$ が
$$x+y+z=3,xy+yz+zx=-9$$
を満たしながら動くとき、
$$x^4+y^4+z^4$$
の最大値と最小値を、この順に求めよ。

曲線 $C:y=\frac{\log x}{x}(x>0)$ を考える。ただし、$\log$ は自然対数とする。$b$ を実数の定数とし、$y$ 軸上の点 $\mathrm{B}(0,b)$ を通る $C$ の接線がちょうど $2$ 本存在するような $b$ の値の範囲を求めよ。なお、必要ならば $\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\log x}{x}=0$ を用いてよい。

$x\ge 0$ で 2 回微分可能な関数 $y(x)$ が、微分方程式
$$y^{\prime \prime }-y^{\prime }-2y=6e^{-x}-4(x\ge 0)$$
と初期条件 $y(0)=1$ を満たし、さらに $x\ge 0$ で有界であるとする。このとき、$x\ge 0$ における $y(x)$ の最小値を求めよ。

実数 $x,y,z$ が 2 つの条件 $$x^2+y^2+z^2=1,x+y+z=1$$ を満たして動くとき、$$f(x,y,z)=x^3+y^3+z^3$$ の最大値と最小値を、この順に求めよ。

関数 $f(x)=x^3-3x^2-9x+5$ の $-2\le x\le 4$ における最大値と最小値を、この順に求めよ。

$a$ を実数の定数とし、$f(x)=x^3-ax$ とする。$0\le x\le 2$ における $|f(x)|$ の最大値を $M(a)$ とする。$a$ がすべての実数を動くとき、$M(a)$ の最小値を求めよ。

$k$ を実数の定数とする。$x$ の方程式
$$2x^3-3x^2-12x=k$$
が $-2\le x\le 3$ の範囲に異なる実数解をちょうど $2$ 個もつような $k$ の値の範囲を求めよ。

$a$ を実数の定数とし、
$$f(x)=2x^3-3(a+1)x^2+6ax$$
とする。区間 $0\le x\le 2$ における $f(x)$ の最大値を $M(a)$、最小値を $m(a)$ とする。$M(a)-m(a)$ が最小となるような $a$ の値の範囲を求めよ。

$a$ を実数の定数とする。$x$ の $3$ 次方程式
$$x^3-3ax+2a=0$$
が $0<x<2$ の範囲に異なる $2$ つの実数解をもつような $a$ の値の範囲を求めよ。

$a$ を実数の定数とし、関数
$$f(x)=x^3-3(a+1)x^2+12ax$$
を考える。$x\ge 0$ を満たすすべての実数 $x$ に対して $f(x)\ge 0$ が成り立つような $a$ の値の範囲を求めよ。

曲線 $C:y=x^3-3x$ と直線 $\ell :y=x$ がある。$\ell$ 上の点 $\mathrm{P}(a,a)$ から曲線 $C$ に異なる $3$ 本の接線が引けるような実数 $a$ の値の範囲を求めよ。

実数 $x,y$ が $x^2+y^2=2$ を満たしながら動くとき、
$$P=x^3+y^3+3xy$$
の最大値と最小値を、この順に求めよ。

$a$ を実数の定数とする。
$$S(a)={\int }_0^{3}x|x-a|dx$$
とおくとき、$a$ がすべての実数を動くときの $S(a)$ の最小値を求めよ。

$k$ を実数の定数とする。$x$ についての方程式
$$4e^x=k\left(4x^2+3\right)$$
が異なる 3 つの実数解をもつような $k$ の値の範囲を求めよ。ただし、$e$ は自然対数の底であり、$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{e^x}{x^2}=\infty$ を用いてよい。

曲線 $C:y=\frac{1}{1+x^2}$ と、$y$ 軸上の点 $\mathrm{A}(0,b)$ を考える。ただし $b$ は実数の定数とする。点 $\mathrm{A}$ を通る $C$ の接線がちょうど $4$ 本存在するような $b$ の値の範囲を求めよ。

$a$ を実数の定数とし、$x>0$ で定義された関数
$$f(x)=(x^2+a)e^{-x}$$
を考える。$x>0$ において $f(x)$ が極値をちょうど $1$ つもち、かつ曲線 $y=f(x)(x>0)$ が変曲点をちょうど $2$ つもつような $a$ の値の範囲を求めよ。

$a$ を $a>1$ を満たす定数とし、実数全体で定義された関数
$$f(x)=x-a\log (1+x^2)$$
を考える。ただし、$\log$ は自然対数とする。$a>1$ のとき、$f(x)$ は極大値と極小値をちょうど $1$ つずつもつ。$f(x)$ の極大値から極小値を引いた差が $\frac{2}{e}$ となるような $a$ の値を求めよ。

曲線 $C:y=\log x(x>0)$ と点 $\mathrm{A}(3,b)$ を考える。ただし、$b$ は実数の定数であり、$\log$ は自然対数である。点 $\mathrm{A}$ を通る $C$ の法線がちょうど $3$ 本存在するような $b$ の値の範囲を求めよ。

$a$ を $0$ でない実数の定数とし、実数全体で定義された関数
$$f(x)=(x^2+ax+1)e^{-x}$$
を考える。ただし、$e$ は自然対数の底とする。$f(x)$ の極小値を $m(a)$ とする。$a$ が $0$ でない実数全体を動くとき、$m(a)$ の最大値を求めよ。

実数 $x,y,z$ が
$$x+y+z=1,x^2+y^2+z^2=1$$
を満たしながら動くとき、$f(x,y,z)=xyz$ の最大値と最小値をこの順に求めよ。

$t$ を時間とし、$x(t)>0,y(t)>0$ に対する連立微分方程式
$$\frac{dx}{dt}=x(4-2y),\frac{dy}{dt}=y(x-3)$$
を考える。初期条件 $x(0)=3,y(0)=2\log 2$ を満たす解は周期解であり、その軌道は第 1 象限内の閉曲線になる。この軌道上での $y$ の最大値を求めよ。ただし $\log$ は自然対数とする。

$\mathbb{D}=\{z\in \mathbb{C}\mid |z|<1\}$ を開単位円板とする。$\mathbb{D}$ 上で正則で、すべての $z\in \mathbb{D}$ に対して $|f(z)|<1$ を満たし、さらに
$$f\left(\frac{1}{2}\right)=0,f\left(-\frac{1}{3}\right)=0$$
を満たす関数 $f$ 全体の集合を $\mathcal{F}$ とする（零点 $\frac{1}{2},-\frac{1}{3}$ の位数は 1 以上であれば何でもよい）。$f$ が $\mathcal{F}$ 全体を動くとき、原点における微分係数の絶対値 $|f^{\prime }(0)|$ の最大値を求めよ。なお、この最大値は $\mathcal{F}$ のある元で実際に達成される。

正の整数 $n$ に対し
$$I(n)={\int }_0^{\infty }{x}^n\exp \left(-x-\frac{x^2}{2n}\right)dx$$
とおく。また
$$\alpha =\frac{\sqrt{5}-1}{2},\rho =\alpha e^{(1-\alpha )/2}$$
とする。極限
$$L=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{I(n)}{n!{\rho }^n}$$
は存在して正の実数になる。$L$ の値を求めよ。

${\mathbb{R}}^3$ における波動方程式の初期値問題
$$u_{tt}=\Delta u(x\in {\mathbb{R}}^3,t>0),u(x,0)=e^{-|x{|}^2},u_t(x,0)=0(x\in {\mathbb{R}}^3)$$
を考える。ここで $\Delta$ は $x=(x_1,x_2,x_3)$ に関するラプラシアン、$|x|$ はユークリッドノルムであり、$u$ はこの問題のただ 1 つの $C^2$ 級の解とする。原点での値 $u(0,t)$ の $t>0$ における最小値を求めよ。

$2$ つの危険資産 $C_1,C_2$ と安全資産がある。危険資産の $1$ 期間の収益率をそれぞれ確率変数 $R_1,R_2$ とし、
$$E[R_1]=0.08,E[R_2]=0.12,\mathrm{Var}(R_1)=0.04,\mathrm{Var}(R_2)=0.09,\mathrm{Cov}(R_1,R_2)=0.012$$
とする。安全資産の $1$ 期間の収益率は確定値 $r_f=0.04$ である。

危険資産だけからなるポートフォリオで、$C_1,C_2$ への投資比率を $w_1,w_2$（$w_1+w_2=1$、$w_1,w_2$ は実数で、空売りも許す）とし、その収益率を $R_p=w_1{R}_1+w_2{R}_2$ とする。$E[R_p]>r_f$ を満たすもののうち、シャープ比
$$\frac{E[R_p]-r_f}{\sqrt{\mathrm{Var}(R_p)}}$$
を最大にするポートフォリオ（接点ポートフォリオ）の投資比率 $w_1,w_2$ を、組 $(w_1,w_2)$ の形でこの順に求めよ。

$n$ を正の整数とし、$X_1,X_2,\dots ,X_n$ を互いに独立で、いずれも区間 $[-1,1]$ 上の一様分布（確率密度関数が $-1\le x\le 1$ で $\frac{1}{2}$、それ以外で $0$）に従う確率変数とする。$S_n=X_1+X_2+\cdots +X_n$ とおく。このとき、すべての正の実数 $s$ に対して
$$P(S_n\ge s)\le \exp \left(-\frac{3s^2}{2n}\right)$$
が成り立つことを証明せよ。

ただし、次の事実は用いてよい。
- 期待値の線形性と、マルコフの不等式（確率 $1$ で $Y\ge 0$ を満たし期待値が有限な確率変数 $Y$ と $a>0$ に対して $P(Y\ge a)\le \frac{E[Y]}{a}$）
- 互いに独立な有界な確率変数 $Y_1,\dots ,Y_n$ に対して $E[Y_1{Y}_2\cdots Y_n]=E[Y_1]E[Y_2]\cdots E[Y_n]$ であること、および $X_1,\dots ,X_n$ が独立ならば、実数値関数 $g$ による $g(X_1),\dots ,g(X_n)$ も独立であること
- 指数関数のマクローリン展開 $e^u=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{u^k}{k!}$ $(u\in \mathbb{R})$

実数 $p,\rho$ は $0<p<\frac{1}{2}$, $0<\rho \le 1$ を満たすとする。入力 $X$・出力 $Y$ がともに $\{0,1\}$ に値をとる 2 元対称通信路で、
$$P(Y=x\mid X=x)=1-p,P(Y=1-x\mid X=x)=p(x=0,1)$$
であるものを考える。ただし、記号 $1$ を送るには費用がかかるため、入力分布は $P(X=1)\le \rho$ を満たすものだけが使えるとする。

エントロピーの対数の底は $2$ とし、$0{\log }_{2}0=0$ と約束する。2 値エントロピー関数を $h(s)=-s{\log }_{2}s-(1-s){\log }_2(1-s)$ $(0\le s\le 1)$、相互情報量を $I(X;Y)=H(Y)-H(Y\mid X)$（ただし $H(Y\mid X)={\sum }_{x}P(X=x)H(Y\mid X=x)$）で定め、$m=\min \left\{\rho ,\frac{1}{2}\right\}$ とおく。

このとき、$P(X=1)\le \rho$ を満たす入力分布の中で $I(X;Y)$ を最大にするものは $P(X=1)=m$ である分布ただ 1 つであり、その最大値は
$$h(m(1-p)+(1-m)p)-h(p)$$
であることを証明せよ。

ある品目の需要は一定の速さ $D>0$（単位時間あたりの個数）で連続的に生じるとする。品切れは許さず、発注した品物は直ちに届く（リードタイム $0$）。1 回の発注ごとに固定費 $K>0$ がかかり、在庫 1 個を単位時間保管するごとに保管費 $h>0$ がかかる。正の実数 $T$ に対し、「在庫がちょうど $0$ になった時刻ごとに $DT$ 個を発注する」方策（発注間隔 $T$ の方策）の単位時間あたりの平均費用（1 周期 $[0,T]$ の発注費と保管費の和を $T$ で割ったもの）を $C(T)$ とし、$C(T)$ を最小にする $T$ を $T^{\ast }$ とする。

いま、発注間隔は基準時間 $T_B>0$ の $2^k$ 倍（$k$ は整数）に限るとする。どのような $D,K,h,T_B$ に対しても、ある整数 $k$ が存在して
$$\frac{C(2^k{T}_B)}{C(T^{\ast })}\le \frac{3}{2\sqrt{2}}$$
が成り立つことを証明せよ（$T^{\ast }$ が存在することも示すこと）。

$k$ を実数の定数とする。$x$ についての方程式
$${\left(x^3-3x^2\right)}^3-3{\left(x^3-3x^2\right)}^2=k$$
の異なる実数解の個数が $3$ 個以上となるような $k$ の値の範囲を求めよ。

$a$ を実数の定数とする。$0\leqq x\leqq \pi$ を満たすすべての実数 $x$ に対して、不等式 $$\sin x\geqq ax(\pi -x)$$ が成り立つような $a$ の最大値を求めよ。

$a$ を実数の定数とし、$x\geqq 0$ で定義された関数 $$f(x)=e^x-a\cos x$$ を考える。ただし、$e$ は自然対数の底とする。$x\geqq 0$ のすべての実数 $x$ に対して $f^{\prime }(x)\geqq 0$ が成り立つような $a$ の値の範囲を求めよ。

$f(x)$ は実数を係数とする $3$ 次以下の整式で、$0\le x\le 1$ を満たすすべての実数 $x$ に対して
$$|f(x)|\le 1$$
が成り立つとする。このような $f(x)$ すべてを考えるとき、$f^{\prime }(1)$ の最大値を求めよ。

関数 $f(x)=x^3-3x$ を考える。実数 $t$ に対して、区間 $t\le x\le t+1$ における $f(x)$ の最大値から最小値を引いた値を $g(t)$ とする。$t$ がすべての実数を動くとき、$g(t)$ の最小値を求めよ。

座標平面上の点 $(a,b)$ で、$a>0$ を満たし、かつ $x$ の方程式
$$x^3-3a^{2}x=b$$
が $-1<x<1$ の範囲に異なる $3$ つの実数解をもつようなもの全体の集合を $D$ とする。$D$ の面積を求めよ。

実数 $t$ に対して、関数 $g(t)$ を
$$g(t)={\int }_t^{t+2}\left|x^2-3x\right|dx$$
で定める。$t$ がすべての実数を動くとき、$g(t)$ の最小値を求めよ。

$m$ を $0<m<2$ を満たす実数とする。曲線 $C:y=|x^2-1|$ と直線 $\ell :y=m(x+1)$ で囲まれた部分は $2$ つある。それらの面積の和を $S(m)$ とする。$m$ が $0<m<2$ の範囲を動くとき、$S(m)$ の最小値を求めよ。

関数 $f(x)=x^4-2x^2$ を考える。実数 $t$ に対して、区間 $t\le x\le t+1$ における $f(x)$ の最大値を $g(t)$ とする。$t$ がすべての実数を動くとき、$g(t)$ の最小値を求めよ。

$a,b$ を実数とする。$x$ の $3$ 次方程式
$$x^3-3a^{2}x+b=0$$
が異なる $3$ つの実数解をもち、しかもその $3$ つの解がすべて $-1\le x\le 1$ を満たすとする。このような点 $(a,b)$ 全体が座標平面上で表す領域を $D$ とするとき、$D$ の面積を求めよ。