集合と位相の問題

$\ell (x)=ax+b$ に対し $e(x)=x^3-ax-b$ とおくと、$d(f,\ell )={\max }_{0\le x\le 1}|e(x)|$ である。

上からの評価（候補を見つける）. $g(x)=x^3-x$ を考える。$g^{\prime }(x)=3x^2-1$ より、$[0,1]$ で $g$ は $x=\xi =\frac{1}{\sqrt{3}}$ で最小値
$$g(\xi )=\frac{1}{3\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{3}}=-\frac{2}{3\sqrt{3}}$$
をとり、$g(0)=g(1)=0$ が最大値である。したがって $h=\frac{1}{3\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{9}$ として ${\ell }_0(x)=x-h$ をとると、$f-{\ell }_0=g+h$ の値は $[-h,h]$ に収まり、
$$d(f,{\ell }_0)=h=\frac{\sqrt{3}}{9}.$$
よって $d(f,L)\le \frac{\sqrt{3}}{9}$。（$f-{\ell }_0$ は $x=0,\xi ,1$ で $h,-h,h$ と符号を交互に変えて最大の絶対値をとっている。）

下からの評価. 3 点 $0,\xi ,1$ での値に重み $1-\xi ,-1,\xi$ を掛けて足すと、1 次以下の多項式 $\ell$ について
$$(1-\xi )\ell (0)-\ell (\xi )+\xi \ell (1)=(1-\xi )b-(a\xi +b)+\xi (a+b)=0$$
となる。よって任意の $\ell \in L$ に対し $e=f-\ell$ は
$$(1-\xi )e(0)-e(\xi )+\xi e(1)=(1-\xi )\cdot 0-{\xi }^3+\xi \cdot 1=\xi (1-{\xi }^2)=\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot \frac{2}{3}=\frac{2}{3\sqrt{3}}$$
を満たす。左辺の絶対値は $((1-\xi )+1+\xi )\max |e|=2d(f,\ell )$ 以下なので
$$d(f,\ell )\ge \frac{1}{3\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{9}.$$

両方の評価から
$$d(f,L)=\frac{\sqrt{3}}{9}.$$

$f(x)=x^3$ は $[0,1]$ で $f^{\prime \prime }(x)=6x\ge 0$ (凸) である。1 次以下の多項式による一様近似では、最良近似 ${\ell }^{\ast }$ について誤差 $e(x)=f(x)-{\ell }^{\ast }(x)$ が 3 点で最大絶対値 $E$ をとり符号が交互になる (チェビシェフの等振動定理)。\n\n$\ell (x)=ax+b$ とおく。$e(x)=x^3-ax-b$ は凸なので、端点 $0,1$ で同符号の最大 (負側ではなく正側) となり、内部の極小点 $t$ で逆符号の極値をとると考えられる。\n- $e(0)=-b$、$e(1)=1-a-b$。$e(0)=e(1)$ より $a=1$。\n- $e^{\prime }(t)=3t^2-1=0$ より $t=\frac{1}{\sqrt{3}}$ ($0<t<1$)。\n- 等振動: $e(0)=-e(t)$。$e(t)=t^3-t-b=\frac{1}{3\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{3}}-b=-\frac{2}{3\sqrt{3}}-b$。$-b=\frac{2}{3\sqrt{3}}+b$ より $b=-\frac{1}{3\sqrt{3}}$。\n\nこのとき $e(0)=\frac{1}{3\sqrt{3}}$、$e(t)=-\frac{2}{3\sqrt{3}}+\frac{1}{3\sqrt{3}}=-\frac{1}{3\sqrt{3}}$、$e(1)=\frac{1}{3\sqrt{3}}$。$e$ は 3 次式で $[0,1]$ では $e^{\prime }=3x^2-1$ が $t$ で符号を変えるだけなので、$|e|\le \frac{1}{3\sqrt{3}}$ であり、0, $t$, 1 で符号交互に最大値をとる。よって ${\ell }^{\ast }(x)=x-\frac{1}{3\sqrt{3}}$ が最良近似で、\n$$d(f,L)=\frac{1}{3\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{9}.$$\n\n検算: 任意の $\ell$ について、$0,t,1$ での誤差の交代和の議論から $d(f,\ell )\ge \frac{1}{3\sqrt{3}}$ となる (3 点の等振動の下界)。また数値では $\sqrt{3}/9\approx 0.1925$ で、$x^3-x$ の最小値 $-\frac{2}{3\sqrt{3}}\approx -0.3849$ の半分である。