集合と位相の問題

$\ell (x)=ax+b$ に対し誤差を $e(x)=f(x)-\ell (x)=x^3-ax-b$ とおくと、$d(f,\ell )={\max }_{0\le x\le 2}|e(x)|$ である。具体的な $\ell$ で上からおさえ、すべての $\ell$ について下からおさえることで $d(f,L)$ を求める。

1. 上からの評価（具体的な $\ell$ を作る）　$x^3$ は $[0,2]$ で下に凸なので、誤差が両端 $x=0,2$ で同じ値をとり、内部の極小点で符号が逆で絶対値が同じ値をとるように $a,b$ を選ぶ。

$e(0)=e(2)$ より $-b=8-2a-b$、よって $a=4$。極小点は $e^{\prime }(x)=3x^2-4=0$ より $c=\frac{2}{\sqrt{3}}$（$0<c<2$）。
$$e(c)=c(c^2-4)-b=\frac{2}{\sqrt{3}}\left(\frac{4}{3}-4\right)-b=-\frac{16}{3\sqrt{3}}-b.$$
$e(0)=-e(c)$ とすると $-b=\frac{16}{3\sqrt{3}}+b$、よって $b=-\frac{8}{3\sqrt{3}}=-\frac{8\sqrt{3}}{9}$。

${\ell }_0(x)=4x-\frac{8\sqrt{3}}{9}$ のとき $e(x)=x^3-4x+\frac{8\sqrt{3}}{9}$、$e^{\prime }(x)=3x^2-4$ で、増減表は次のとおり。

実際、$e\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)=\frac{8}{3\sqrt{3}}-\frac{8}{\sqrt{3}}+\frac{8\sqrt{3}}{9}=\frac{8\sqrt{3}}{9}-\frac{24\sqrt{3}}{9}+\frac{8\sqrt{3}}{9}=-\frac{8\sqrt{3}}{9}$、$e(2)=8-8+\frac{8\sqrt{3}}{9}=\frac{8\sqrt{3}}{9}$。

よって $d(f,{\ell }_0)=\frac{8\sqrt{3}}{9}$ であり、$d(f,L)\le \frac{8\sqrt{3}}{9}$。

2. 下からの評価（すべての $\ell$ について）　3 点 $0,c=\frac{2}{\sqrt{3}},2$ での値の組み合わせ
$$S=(2-c)e(0)-2e(c)+ce(2)$$
を考える。1 次以下の関数 $ax+b$ をこの組み合わせに代入すると
$$(2-c)b-2(ac+b)+c(2a+b)=2b-cb-2ac-2b+2ac+cb=0$$
となり消える。したがって $S$ は $x^3$ の部分だけで決まり、$a,b$ によらず
$$S=(2-c)\cdot 0-2c^3+c\cdot 8=2c(4-c^2)=2c\cdot \frac{8}{3}=\frac{16c}{3}.$$
一方、任意の $\ell \in L$ について $M=d(f,\ell )=\max |e(x)|$ とおくと、$2-c>0,c>0$ なので
$$S\le (2-c)|e(0)|+2|e(c)|+c|e(2)|\le (2-c)M+2M+cM=4M.$$
よって
$$M\ge \frac{S}{4}=\frac{4c}{3}=\frac{8}{3\sqrt{3}}=\frac{8\sqrt{3}}{9}.$$
これがすべての $\ell \in L$ で成り立つので、下限についても $d(f,L)\ge \frac{8\sqrt{3}}{9}$。

3. 結論　1 と 2 より
$$d(f,L)=\frac{8\sqrt{3}}{9}$$
であり、この下限は ${\ell }_0(x)=4x-\frac{8\sqrt{3}}{9}$ で達成される。

$x=1+t$ ($t\in [-1,1]$) と置くと、$x^3=t^3+3t^2+3t+1$ である。1 次式の部分は 1 次式で吸収できるので、$h(t)=t^3+3t^2$ の $[-1,1]$ 上での 1 次式による最良一様近似を求めればよい。

$h^{\prime \prime }(t)=6t+6\ge 0$ なので $h$ は $[-1,1]$ 上で凸である。凸関数の 1 次式による最良近似では、誤差は両端点と、接線の傾きが弦の傾きに等しい内点で交互に最大になる（等振動）。

弦の傾きは $(h(1)-h(-1))/2=(4-2)/2=1$ である。弦は点 $(-1,2)$ を通るので、弦の式は $y=t+3$ となる。

$h^{\prime }(s)=1$ より $3s^2+6s-1=0$ であり、$s=-1+\frac{2\sqrt{3}}{3}\in (-1,1)$ をとる。

このとき $s^2=(1-6s)/3$、$s^3=(13s-2)/3$ なので、$h(s)=(1-5s)/3$ である。

よって $h(s)-(s+3)=\frac{-8(1+s)}{3}=-\frac{16\sqrt{3}}{9}$ となる。

弦と、傾き 1 の接線との間隔は $\frac{16\sqrt{3}}{9}$ である。最良近似直線はこの 2 直線の中間にあり、誤差は端点と $s$ で符号を交互に変えながら絶対値が等しくなる。したがって $d(f,L)=\frac{1}{2}\cdot \frac{16\sqrt{3}}{9}=\frac{8\sqrt{3}}{9}$ である。

検算：最良直線は $x$ で $y=4x-\frac{8\sqrt{3}}{9}\cdot$ ではなく、弦 $y=4x$ を $\frac{8\sqrt{3}}{9}$ だけ上にずらしたものである。$x^3-4x$ は $x=0,2$ で $0$、$x=2/\sqrt{3}$ で $-\frac{16}{3\sqrt{3}}=-\frac{16\sqrt{3}}{9}$ となる。最大・最小の幅は $\frac{16\sqrt{3}}{9}$ で、半分が $\frac{8\sqrt{3}}{9}\approx 1.54$ である。