集合と位相

$A=\{1,2,3\}$, $B=\{a,b,c,d\}$ とする。$A$ のべき集合（$A$ の部分集合全体の集合）を $\mathcal{P}(A)$、$A$ から $B$ への単射全体の集合を $I$ とする。直積集合
$$X=\mathcal{P}(A)\times I=\{(S,g)\mid S\subseteq A,g:A\to B\text{ は単射}\}$$
の濃度 $|X|$ を求めよ。

$A=\{1,2,3\}$, $B=\{a,b,c,d\}$ とする。$\mathcal{P}(A)$ を $A$ のべき集合（$A$ の部分集合全体の集合）とし、$I$ を $A$ から $B$ への単射全体の集合とする。直積集合
$$\mathcal{P}(A)\times I=\{(S,f)\mid S\subset A,f:A\to B\text{ は単射}\}$$
の濃度（元の個数）を求めよ。

$A=\{1,2,3\}$, $B=\{p,q,r,s\}$ とする。$\mathcal{P}(A)$ を $A$ のべき集合（$A$ の部分集合全体の集合）とし、$I$ を単射 $f:A\to B$ 全体の集合とする。直積集合
$$X=\mathcal{P}(A)\times I=\{(S,f)\mid S\subset A,f:A\to B\text{は単射}\}$$
の濃度 $|X|$ を求めよ。

$A=\{1,2,3,4,5\}$ とする。$A$ 上の同値関係 $R$ のうち、同値類がちょうど $3$ 個であるものの個数を求めよ。

集合 $A=\{1,2,3,4,5\}$ 上の同値関係の個数を求めよ。ただし、$A\times A$ の部分集合として異なる同値関係は区別して数える。

$A=\{1,2,3,4,5\}$ とする。$A$ 上の同値関係 $R$ のうち、同値類がちょうど $3$ 個であるものの個数を求めよ。

正の実数全体の集合を $X=\{x\in \mathbb{R}\mid x>0\}$ とし、関数 $d:X\times X\to \mathbb{R}$ を
$$d(x,y)=\left|\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\right|$$
で定める。$d$ は $X$ 上の距離である。この距離に関する、中心 $1$、半径 $\frac{1}{2}$ の開球
$$B\left(1,\frac{1}{2}\right)=\left\{x\in X|d(x,1)<\frac{1}{2}\right\}$$
を区間で表せ。

平面 ${\mathbb{R}}^2$ 上の 2 点 $P=(x_1,y_1)$, $Q=(x_2,y_2)$ に対して
$$d(P,Q)=|x_1-x_2|+2|y_1-y_2|$$
と定めると、$d$ は ${\mathbb{R}}^2$ 上の距離になる。この距離 $d$ に関する点 $A=(1,-1)$ を中心とする半径 $4$ の開球
$$B(A,4)=\{P\in {\mathbb{R}}^2\mid d(P,A)<4\}$$
は、座標平面上のある図形になる。この図形の面積を求めよ。

実数全体の集合 $\mathbb{R}$ 上の関数 $d:\mathbb{R}\times \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ を
$$d(x,y)=\left|x^3-y^3\right|$$
で定めると、$d$ は $\mathbb{R}$ 上の距離になる。この距離 $d$ に関する開球
$$B(1,7)=\{x\in \mathbb{R}\mid d(x,1)<7\}$$
を区間で表せ。

$A=\{1,2,3,4,5\}$, $B=\{p,q,r,s\}$ とする。全射 $f:A\to B$ の個数を求めよ。

$A=\{1,2,3,4,5\}$, $B=\{a,b,c,d\}$ とする。全射 $f:A\to B$ の個数を求めよ。

$A=\{1,2,3,4,5\}$、$B=\{a,b,c,d\}$ とする。全射 $f:A\to B$ の個数を求めよ。

$A=\{1,2,3,4\}$ とする。写像 $f:A\to A$ のうち、合成について $$f\circ f=f$$ を満たすもの（べき等な写像）の個数を求めよ。

$A=\{1,2,3,4\}$ とする。写像 $f:A\to A$ のうち、合成について $$f\circ f=f$$ を満たすものの個数を求めよ。

$A=\{1,2,3,4\}$ とする。写像 $f:A\to A$ のうち、合成について
$$f\circ f=f$$
を満たすものの個数を求めよ。

正の整数全体の集合を ${\mathbb{Z}}_{>0}$ とする。直積 ${\mathbb{Z}}_{>0}\times {\mathbb{Z}}_{>0}$ の元 $(m,n)$ を、次の規則で一列に並べる。

• $m+n$ の値が小さいものほど先に並べる。
• $m+n$ の値が等しいものどうしでは、$m$ が小さいものほど先に並べる。

この並べ方では、列は $(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),\dots$ となる。先頭から $1$ 番目、$2$ 番目、$\dots$ と番号を付けると、$(m,n)$ にその番号を対応させる写像 $\phi :{\mathbb{Z}}_{>0}\times {\mathbb{Z}}_{>0}\to {\mathbb{Z}}_{>0}$ は全単射になる。このことから ${\mathbb{Z}}_{>0}\times {\mathbb{Z}}_{>0}$ の濃度は ${\aleph }_0$ である。

このとき、$\phi (4,7)$ の値を求めよ。

${\mathbb{Z}}_{>0}$ を正の整数全体の集合とする。直積 ${\mathbb{Z}}_{>0}\times {\mathbb{Z}}_{>0}$ の濃度が ${\aleph }_0$ であることを示すために、その元 $(m,n)$ を次の規則で一列に並べる。

• $m+n$ の値が小さいものから順に並べる。
• $m+n$ の値が等しいものどうしは、$m$ の値が小さいものから順に並べる。

こうして得られる列は
$$(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),\dots$$
となる。この列の $k$ 番目の元を $\phi (k)$ とおくと、$\phi :{\mathbb{Z}}_{>0}\to {\mathbb{Z}}_{>0}\times {\mathbb{Z}}_{>0}$ は全単射になる。$\phi (k)=(3,5)$ となる正の整数 $k$ を求めよ。

${\mathbb{Z}}_{>0}$ を正の整数全体の集合とします。直積 ${\mathbb{Z}}_{>0}\times {\mathbb{Z}}_{>0}$ が可算であることを示すため、その元 $(m,n)$ を次の規則で一列に並べます。

• $m+n$ が小さいものほど前に置く。
• $m+n$ が等しいものどうしは、$m$ が小さいものほど前に置く。

この規則で並べると、列は
$$(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),\dots$$
となります。先頭から順に $1,2,3,\dots$ と番号をつけると、全単射 $\phi :{\mathbb{Z}}_{>0}\times {\mathbb{Z}}_{>0}\to {\mathbb{Z}}_{>0}$ が得られます。例えば $\phi (1,1)=1$、$\phi (2,1)=3$ です。

このとき、$\phi (4,7)$ を求めてください。

集合 $X=\{1,2,3\}$ の部分集合族 ${\mathcal{O}}_1,\dots ,{\mathcal{O}}_6$ を次のように定める。
$${\mathcal{O}}_1=\{\varnothing ,X\}$$
$${\mathcal{O}}_2=\{\varnothing ,\{1\},\{2\},X\}$$
$${\mathcal{O}}_3=\{\varnothing ,\{1\},\{1,2\},X\}$$
$${\mathcal{O}}_4=\{\varnothing ,\{1,2\},\{2,3\},X\}$$
$${\mathcal{O}}_5=\{\varnothing ,\{2\},\{1,2\},\{2,3\},X\}$$
$${\mathcal{O}}_6=\{\{1\},\{1,2\},X\}$$
このうち $X$ 上の位相（開集合系）であるものの番号 $k$ をすべて求め、集合 $\{k\mid {\mathcal{O}}_k\text{ は }X\text{ 上の位相}\}$ の形で答えよ。

集合 $X=\{1,2,3\}$ を考える。$X$ の部分集合 $A$ で、$A\ne \varnothing ,A\ne \{1\},A\ne X$ を満たすものに対して、部分集合族
$${\mathcal{O}}_A=\{\varnothing ,\{1\},A,X\}$$
を考える。${\mathcal{O}}_A$ が $X$ 上の位相（開集合系）になるような $A$ の個数を求めよ。

集合 $X=\{1,2,3\}$ 上の位相 $\mathcal{O}$（開集合系）のうち、$\{1,2\}\in \mathcal{O}$ かつ $\{2,3\}\in \mathcal{O}$ を満たすものの個数を求めよ。ただし、部分集合族として異なるものは区別して数える。

実数全体の集合 $\mathbb{R}$ に、$x,y\in \mathbb{R}$ に対して
$$d(x,y)=|\arctan x-\arctan y|$$
で定まる距離 $d$ を入れた距離空間 $(\mathbb{R},d)$ を考える。ここで $\arctan$ は値域を $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ とする $\tan$ の逆関数である。部分集合 $A=[-1,\infty )$ の直径
$$\mathrm{diam}A=\sup \{d(p,q)\mid p,q\in A\}$$
を求めよ。

実数全体の集合 $\mathbb{R}$ に、距離
$$d(x,y)=|\arctan x-\arctan y|$$
を入れた距離空間 $(\mathbb{R},d)$ を考える。ここで $\arctan$ は値を $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ にとる逆正接関数である。部分集合
$$A=\{x\in \mathbb{R}\mid x\geqq -1\}$$
の直径
$$\mathrm{diam}A=\sup \{d(p,q)\mid p,q\in A\}$$
を求めよ。

実数全体の集合 $\mathbb{R}$ に、$x,y\in \mathbb{R}$ に対して
$$d(x,y)=|\arctan x-\arctan y|$$
で定まる距離 $d$ を入れた距離空間 $(\mathbb{R},d)$ を考える。ただし $\arctan x$ は $-\frac{\pi }{2}<\arctan x<\frac{\pi }{2}$ の値をとるものとする。部分集合 $A=[-1,\sqrt{3}]$ の直径
$$\mathrm{diam}A=\sup \{d(p,q)\mid p,q\in A\}$$
を求めよ。

閉区間 $[0,2]$ 上の実数値連続関数全体の集合 $C[0,2]$ に、距離
$$d(f,g)=\underset{0\le x\le 2}{\max }|f(x)-g(x)|$$
を入れた距離空間を考える。1 次以下の多項式関数全体の集合を $L=\{\ell (x)=ax+b\mid a,b\text{ は実数}\}$ とし、$f(x)=x^3$ とする。点 $f$ と集合 $L$ の距離
$$d(f,L)=\underset{\ell \in L}{\inf }d(f,\ell )$$
を求めよ。

座標平面 ${\mathbb{R}}^2$ にユークリッド距離 $$d((x_1,y_1),(x_2,y_2))=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$$ を入れた距離空間を考える。放物線上の点全体の集合を $$A=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2\mid y=x^2\}$$ とし、点 $p=(0,2)$ をとる。点と集合の距離 $$d(p,A)=\underset{a\in A}{\inf }d(p,a)$$ を求めよ。

座標平面 ${\mathbb{R}}^2$ に、ユークリッド距離 $$d((x_1,y_1),(x_2,y_2))=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$$ を入れた距離空間を考える。放物線上の点全体の集合を $$A=\{(t,t^2)\mid t\text{ は実数}\}$$ とし、点 $P=\left(0,\frac{5}{2}\right)$ とする。点 $P$ と集合 $A$ の距離 $$d(P,A)=\underset{Q\in A}{\inf }d(P,Q)$$ を求めよ。

各正の整数 $n$ に対して、$0$ と $1$ からなる無限列 $s_n=(s_n(1),s_n(2),s_n(3),\dots )\in \{0,1{\}}^{{\mathbb{Z}}_{>0}}$ を
$$s_n(k)=\{\begin{array}{ll}1& (n+k\text{が}3\text{の倍数のとき})\\ 0& (\text{それ以外のとき})\end{array}(k\text{は正の整数})$$
で定める。カントールの対角線論法にならい、列 $d=(d(1),d(2),d(3),\dots )$ を
$$d(n)=1-s_n(n)(n\text{は正の整数})$$
で定める。このとき $d\in \{0,1{\}}^{{\mathbb{Z}}_{>0}}$ であり、各 $n$ について $d$ は $n$ 番目の項で $s_n$ と異なるので、$d$ はどの $s_n$ とも一致しない。

和 $d(1)+d(2)+\cdots +d(30)$ の値を求めよ。

${\mathbb{Z}}_{>0}$ を正の整数全体の集合、$\mathcal{P}({\mathbb{Z}}_{>0})$ をそのべき集合とする。写像 $f:{\mathbb{Z}}_{>0}\to \mathcal{P}({\mathbb{Z}}_{>0})$ を
$$f(n)=\{k\in {\mathbb{Z}}_{>0}\mid (n-6)k+8>0\}$$
で定める。カントールの対角線論法にならって、集合
$$D=\{n\in {\mathbb{Z}}_{>0}\mid n\notin f(n)\}$$
を考える。この $D$ はどの正の整数 $m$ に対しても $f(m)$ と一致しないので、$f$ は全射ではない。集合 $D$ を求めよ。

${\mathbb{Z}}_{>0}$ を正の整数全体の集合、$\mathcal{P}({\mathbb{Z}}_{>0})$ をそのべき集合とする。写像 $f:{\mathbb{Z}}_{>0}\to \mathcal{P}({\mathbb{Z}}_{>0})$ を
$$f(n)=\{k\in {\mathbb{Z}}_{>0}\mid k\le (n-3{)}^2\}$$
で定める（たとえば $f(3)=\varnothing$ である）。カントールの対角線論法で用いる集合
$$D=\{n\in {\mathbb{Z}}_{>0}\mid n\notin f(n)\}$$
を求めよ。

集合 $X=\{1,2,3,4\}$ 上の位相 $\mathcal{O}$ を考える。各点 $x\in X$ に対し、$x$ を含むすべての開集合の共通部分を $U_x$ とする（$X$ は有限集合なので、$U_x$ は $x$ を含む最小の開集合である）。

$4$ つの集合 $U_1,U_2,U_3,U_4$ のうち互いに異なるものがちょうど $2$ 個であるような位相 $\mathcal{O}$ の個数を求めよ。ただし、開集合系として異なる位相は区別して数える。

集合 $X=\{1,2,3,4\}$ 上の位相 $\mathcal{O}$（開集合系）を考える。$X$ の $2$ 点 $x,y$ について、
$$x\sim y⟺\text{すべての }U\in \mathcal{O}\text{ について }(x\in U\iff y\in U)$$
と定めると、$\sim$ は $X$ 上の同値関係になる。$X$ 上の位相 $\mathcal{O}$ のうち、この同値関係 $\sim$ の同値類がちょうど $2$ 個であるものの個数を求めよ。ただし、開集合系として異なるものは区別して数える。

集合 $X=\{1,2,3,4\}$ 上の位相 $\mathcal{O}$（開集合系）を考える。各点 $x\in X$ について、$x$ を含む開集合すべての共通部分を $U_x$ とする（$X$ は有限集合なので $U_x$ は $x$ を含む最小の開集合である）。4 つの集合 $U_1,U_2,U_3,U_4$ のうち相異なるものがちょうど $2$ 個であるような位相 $\mathcal{O}$ の個数を求めよ。ただし、開集合系として異なるものは区別して数える。

集合 $X=\{1,2,3,4\}$ に、位相
$$\mathcal{O}=\{\varnothing ,\{1\},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{1,2,3\},X\}$$
を入れた位相空間 $(X,\mathcal{O})$ を考える（$\mathcal{O}$ が位相の公理を満たすことは確かめなくてよい）。部分集合 $A=\{2,3\}$ の境界 $\partial A=\overline{A}\setminus A^{\circ }$ を求めよ。

実数全体の集合 $\mathbb{R}$ に、通常のユークリッド距離 $d(x,y)=|x-y|$ による位相を入れる。$\mathbb{R}$ の部分集合
$$A=\{x\in \mathbb{R}\mid 1\leqq |x-2|<3\}$$
について、境界 $\partial A=\overline{A}\setminus A^{\circ }$ を求めよ。

集合 $X=\{1,2,3\}$ に位相
$$\mathcal{O}=\{\varnothing ,\{1\},\{1,2\},X\}$$
を入れた位相空間 $(X,\mathcal{O})$ を考える。$X$ の部分集合 $A=\{1,3\}$ の境界 $\partial A=\overline{A}\setminus A^{\circ }$ を求めよ。

0 以上の整数 $n$ に対して、基数 ${\beth }_n$ を次のように定める。
$${\beth }_0={\aleph }_0,{\beth }_{n+1}=2^{{\beth }_n}(n=0,1,2,\dots )$$
たとえば ${\beth }_1=2^{{\aleph }_0}=\mathfrak{c}$（実数全体の集合 $\mathbb{R}$ の濃度）である。

実数全体の集合 $\mathbb{R}$ から $\mathbb{R}$ への写像全体の集合を ${\mathbb{R}}^{\mathbb{R}}$ とする。${\mathbb{R}}^{\mathbb{R}}$ の濃度が ${\beth }_n$ に等しくなるような 0 以上の整数 $n$ を求めよ。

$\mathbb{R}$ を実数全体の集合、${\aleph }_0$ を正の整数全体の集合の濃度とする。基数の列 ${\kappa }_0,{\kappa }_1,{\kappa }_2,\dots$ を
$${\kappa }_0={\aleph }_0,{\kappa }_{n+1}=2^{{\kappa }_n}(n=0,1,2,\dots )$$
で定める。カントールの定理により ${\kappa }_0<{\kappa }_1<{\kappa }_2<\cdots$ である。

写像 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 全体の集合を $F$ とする。$F$ の濃度が ${\kappa }_n$ に等しくなるような 0 以上の整数 $n$ を求めよ。

実数全体の集合を $\mathbb{R}$ とし、その濃度を $\mathfrak{c}=2^{{\aleph }_0}$ とする。$\mathbb{R}$ から $\mathbb{R}$ への連続関数全体の集合を
$$C=\{f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\mid f\text{ は連続}\}$$
とする。$C$ の濃度を求めよ。答えは ${\aleph }_0$ と $2$ を使った記号（$2^{{\aleph }_0}$、$2^{2^{{\aleph }_0}}$ など）で答えよ。

通常のユークリッド距離による位相を入れた平面 ${\mathbb{R}}^2$ の部分集合
$$X=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2\mid y(y-x^2)\ne 0\}$$
を考える。$X$ は、平面から $x$ 軸 $y=0$ と放物線 $y=x^2$ を取り除いた集合である。$X$ に ${\mathbb{R}}^2$ からの相対位相を入れるとき、$X$ の連結成分の個数を求めよ。

通常のユークリッド距離による位相を入れた平面 ${\mathbb{R}}^2$ の部分集合
$$X=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2\mid y(x^2+y^2-4)\ne 0\}$$
を考える。$X$ に ${\mathbb{R}}^2$ からの相対位相を入れるとき、$X$ の連結成分の個数を求めよ。

平面 ${\mathbb{R}}^2$ に通常のユークリッド距離による位相を入れ、その部分集合
$$X=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2\mid y\ne x^2,y\ne 1\}$$
を考える。$X$ に ${\mathbb{R}}^2$ からの相対位相を入れるとき、$X$ の連結成分の個数を求めよ。

通常の距離 $d(x,y)=|x-y|$ による位相を入れた実数直線 $\mathbb{R}$ の、次の 6 つの部分集合を考える。
$$A_1=[-1,2]\cup \{3\},A_2=(0,1],A_3=\{x\in \mathbb{R}\mid x^2-3x+2\leqq 0\},$$
$$A_4=\left\{\frac{1}{n}|n\text{ は正の整数}\right\},A_5=\{0\}\cup \left\{\frac{1}{n}|n\text{ は正の整数}\right\},A_6=\mathbb{Z}(\text{整数全体}).$$
このうち、コンパクトであるものの個数を求めよ。

実数全体 $\mathbb{R}$ に通常の距離 $d(x,y)=|x-y|$ による位相を入れる。$\mathbb{R}$ の次の 6 つの部分集合のうち、コンパクトであるものの番号 $k$ をすべて求め、集合として答えよ。

$$A_1=[0,1]\cup \{2\},A_2=(0,1],A_3=\left\{\frac{1}{n}|n\text{ は正の整数}\right\},$$
$$A_4=\{0\}\cup \left\{\frac{1}{n}|n\text{ は正の整数}\right\},A_5=\{x\in \mathbb{R}\mid \sin x=0\},A_6=\{x\in \mathbb{R}\mid x^2-3x+2\leqq 0\}.$$

通常の距離 $d(x,y)=|x-y|$ による位相を入れた実数直線 $\mathbb{R}$ の部分集合として、次の $5$ つを考える。

$$A_1=[0,1]\cup \{2\},A_2=\{x\in \mathbb{R}\mid x^2-3x+2<0\},$$
$$A_3=\{0\}\cup \left\{\frac{1}{n}|n\text{ は正の整数}\right\},A_4=\{x\in \mathbb{R}\mid x^3-x\geqq 0\},$$
$$A_5=\{x\in \mathbb{R}\mid |2x-1|\leqq 3\}.$$

このうち、コンパクトであるものの番号 $k$（$A_k$ の添字）をすべて求めよ。

通常のユークリッド距離による位相を入れた平面 ${\mathbb{R}}^2$ の部分集合
$$X=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2\mid (x^2-1)(y^2-1)>0\}$$
を考える。$X$ に ${\mathbb{R}}^2$ からの相対位相を入れるとき、$X$ の連結成分の個数を求めよ。

通常のユークリッド距離による位相を入れた平面 ${\mathbb{R}}^2$ の部分集合
$$X=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2\mid x^2+y^2<9,(y-x^2+1)(y+x^2-1)\ne 0\}$$
を考える。$X$ に ${\mathbb{R}}^2$ からの相対位相を入れるとき、$X$ の連結成分の個数を求めよ。

$A=\{1,2,3,4\}$, $B=\{a,b,c\}$ とする。$A$ の部分集合 $S$ と写像 $f:S\to B$ の組 $(S,f)$ 全体の集合
$$P=\{(S,f)\mid S\subseteq A,f\text{ は }S\text{ から }B\text{ への写像}\}$$
の濃度 $|P|$ を求めよ。ただし、$S=\varnothing$ のときは、$\varnothing$ から $B$ への写像は空写像のただ $1$ つであるとする。

$A=\{1,2,3\}$, $B=\{4,5\}$ とし、$\mathcal{P}(A)$ を $A$ のべき集合（$A$ の部分集合全体の集合）とする。写像 $f:B\to \mathcal{P}(A)$ と元 $x\in A\cup B$ の組全体の集合
$$T=\{(f,x)\mid f:B\to \mathcal{P}(A)\text{は写像},x\in A\cup B\}$$
の濃度 $|T|$ を求めよ。

通常のユークリッド距離による位相を入れた実数直線 $\mathbb{R}$ の部分集合
$$A=((0,1)\cap \mathbb{Q})\cup (1,3]\cup \{4\}$$
を考える。ここで $\mathbb{Q}$ は有理数全体の集合である。$A$ の集積点全体の集合（導集合）$A^{\prime }$ を求めよ。

ただし、$x\in \mathbb{R}$ が $A$ の集積点であるとは、任意の $\epsilon >0$ に対して $(x-\epsilon ,x+\epsilon )$ が $x$ 以外の $A$ の点を含むことをいう。

$A=\{1,2,3,4,5\}$, $B=\{a,b,c\}$ とする。写像 $f:A\to B$ のうち、次の $2$ つの条件をともに満たすものの個数を求めよ。

• $(1)$ $f$ は全射である
• $(2)$ $f(1)=f(2)$ である

平面 ${\mathbb{R}}^2$ に、$p=(x_1,y_1)$, $q=(x_2,y_2)$ に対して
$$d_1(p,q)=|x_1-x_2|+|y_1-y_2|$$
で定まる距離 $d_1$ を入れた距離空間 $({\mathbb{R}}^2,d_1)$ を考える。部分集合
$$S=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2\mid x^2+y^2\le 1\}$$
の $d_1$ に関する直径
$$\mathrm{diam}(S)=\sup \{d_1(p,q)\mid p,q\in S\}$$
を求めよ。

$(X,d)$ を距離空間とし、さらに $d$ は任意の $x,y,z\in X$ に対して
$$d(x,z)\le \max \{d(x,y),d(y,z)\}$$
を満たすとする（このような距離を超距離という）。点 $a\in X$ と実数 $r>0$ に対して、開球を
$$B(a,r)=\{z\in X:d(a,z)<r\}$$
で定める。

$x\in X$、実数 $r>0$、および $y\in B(x,r)$ を任意にとるとき、$B(y,r)=B(x,r)$ が成り立つことを証明せよ。

平面 ${\mathbb{R}}^2$ のユークリッドノルムを $\Vert \cdot \Vert$ とし、${\mathbb{Z}}^2$ を整数を成分とする点全体の集合とする。トーラス $T={\mathbb{R}}^2/{\mathbb{Z}}^2$ と自然な射影 $\pi :{\mathbb{R}}^2\to T$ を考え、$T$ に距離
$$d(\pi (p),\pi (q))=\underset{m\in {\mathbb{Z}}^2}{\min }\Vert p-q-m\Vert (p,q\in {\mathbb{R}}^2)$$
を入れる（これは well-defined な距離である）。$T$ における開球
$$B=\left\{x\in T\left|d\right(x,\pi (0))<\frac{1}{\sqrt{3}}\right\}$$
を考える。$Q={\left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)}^2$ とするとき（$\pi$ を $Q$ に制限したものは全単射である）、集合 ${\pi }^{-1}(B)\cap Q$ の面積を求めよ。

$A=\{1,2,3,4,5\}$ とする。$A$ 上の同値関係 $R$ と写像 $f:A\to A$ の組 $(R,f)$ のうち、次の条件を満たすものの個数を求めよ。
$$\text{すべての }x,y\in A\text{ に対して},xRy⟹f(x)Rf(y).$$
ただし、同値関係は $A\times A$ の部分集合として異なるものを区別し、写像は対応が異なるものを区別する。

実数全体の集合 $\mathbb{R}$ に通常のユークリッド距離による位相を入れる。$\mathbb{Q}$ を有理数全体の集合とし、$\mathbb{R}$ の部分集合 $A$ を
$$A=(\mathbb{Q}\cap [0,2])\cup (1,3)\cup ((4,6)\setminus \mathbb{Q})\cup [5,7]\cup \left\{7+\frac{1}{n}|n\text{ は正の整数}\right\}$$
で定める。$A$ の境界を $\partial A$ と書くとき、$\partial A$ の内部 $\mathrm{int}(\partial A)$ を求めよ。答えは区間または区間の和集合で表せ。

実数全体の集合 $\mathbb{R}$ 上の関数 $d:\mathbb{R}\times \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ を
$$d(x,y)=\left|\arctan x-\arctan y\right|(x,y\in \mathbb{R})$$
で定めると、$(\mathbb{R},d)$ は距離空間になる。ここで $\arctan$ は値域を $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ とする逆正接関数である。

この距離空間における、中心 $\sqrt{3}$、半径 $\frac{5\pi }{12}$ の開球
$$B\left(\sqrt{3},\frac{5\pi }{12}\right)=\left\{x\in \mathbb{R}|d\left(x,\sqrt{3}\right)<\frac{5\pi }{12}\right\}$$
を、$\mathbb{R}$ の区間として求めよ。

${\mathbb{Z}}_{>0}$ を正の整数全体の集合、$\mathbb{Q}$ を有理数全体の集合、$\mathbb{R}$ を実数全体の集合とする。次の $(1)$〜$(8)$ の集合のうち、濃度が $2^{{\aleph }_0}$（連続体の濃度）であるものの番号をすべて求め、番号の集合として答えよ。

$(1)$ 写像 $f:{\mathbb{Z}}_{>0}\to \{0,1\}$ 全体の集合

$(2)$ 直積集合 $\mathbb{Q}\times \mathbb{Q}$

$(3)$ ${\mathbb{Z}}_{>0}$ の有限部分集合（空集合を含む）全体の集合

$(4)$ 実数係数の 1 変数多項式全体の集合 $\mathbb{R}[x]$

$(5)$ 連続関数 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 全体の集合

$(6)$ 写像 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 全体の集合（連続とは限らない）

$(7)$ 実数である代数的数（整数係数の $0$ でない多項式の根になる実数）全体の集合

$(8)$ 正の整数からなる狭義単調増加の無限数列 $(a_1,a_2,a_3,\dots )$（$a_1<a_2<a_3<\cdots$）全体の集合

閉区間 $[0,1]$ 上の実数値連続関数全体の集合 $C[0,1]$ に、距離
$$d(f,g)=\underset{0\le x\le 1}{\max }|f(x)-g(x)|$$
を入れた距離空間を考える。1 次以下の多項式関数全体の集合を $L=\{\ell (x)=ax+b\mid a,b\in \mathbb{R}\}\subset C[0,1]$ とし、$f(x)=x^3$ とする。点 $f$ と部分集合 $L$ の距離
$$d(f,L)=\underset{\ell \in L}{\inf }d(f,\ell )$$
を求めよ。

$A=\{1,2,3,4,5,6\}$, $B=\{a,b,c\}$ とする。全射 $f:A\to B$ のうち、
$$f(1)\ne f(2)\text{かつ}f(3)\ne f(4)$$
を満たすものの個数を求めよ。

実数全体の集合 $\mathbb{R}$ の濃度を $2^{{\aleph }_0}$ と書く。次の $8$ つの集合 $S_1,\dots ,S_8$ のうち、濃度がちょうど $2^{{\aleph }_0}$ であるものの個数を求めよ。

• $S_1$: 有理数を係数とする $1$ 変数多項式全体の集合 $\mathbb{Q}[x]$
• $S_2$: 実数列 $(a_n{)}_{n=1}^{\infty }$（$a_n\in \mathbb{R}$）全体の集合
• $S_3$: 正の整数全体の集合から $\{0,1\}$ への写像全体の集合
• $S_4$: 正の整数全体の集合の有限部分集合全体の集合
• $S_5$: $\mathbb{R}$ から $\mathbb{R}$ への連続写像全体の集合
• $S_6$: $\mathbb{R}$ から $\mathbb{R}$ への写像全体の集合
• $S_7$: 代数的数（有理数係数の $0$ でない多項式の根となる複素数）全体の集合
• $S_8$: 平面 ${\mathbb{R}}^2$ 内の開円板 $\{(x,y)\mid (x-a{)}^2+(y-b{)}^2<r^2\}$（$a,b\in \mathbb{R}$, $r>0$）全体の集合

通常のユークリッド距離による位相を入れた平面 ${\mathbb{R}}^2$ の部分集合
$$X=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2\mid y^2=x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)\}$$
を考え、$X$ に ${\mathbb{R}}^2$ からの相対位相を入れる。$X$ の連結成分のうち、コンパクトであるものの個数を求めよ。

通常のユークリッド距離による位相を入れた平面 ${\mathbb{R}}^2$ の部分集合
$$A=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2\mid x^2+y^2\le 16,\sin (\pi x)\sin (\pi y)>0\},L=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2\mid y=x\}$$
を考え、$X=A\cup L$ とおく。$X$ に ${\mathbb{R}}^2$ からの相対位相を入れるとき、$X$ の連結成分の個数を求めよ。

$A=\{1,2,3,4,5,6\}$ とし、写像 $f:A\to A$ を $f(x)=7-x$ で定める。$A$ 上の同値関係 $R$ のうち、次の条件を満たすものの個数を求めよ。

「すべての $x,y\in A$ について、$xRy$ ならば $f(x)Rf(y)$ が成り立つ。」

（この条件は、商集合 $A/R$ 上の写像 $[x]\mapsto [f(x)]$ が矛盾なく定義できることと同じである。）

$\mathfrak{c}=2^{{\aleph }_0}$ を実数全体の集合 $\mathbb{R}$ の濃度とする。次の $5$ つの集合を考える。

• $X_1=\{0,1,2\}$
• $X_2$：実数である代数的数全体の集合（整数係数の $1$ 次以上の多項式の実数解となる実数全体）
• $X_3$：通常の位相に関する $\mathbb{R}$ の開集合全体の集合
• $X_4$：$\mathbb{R}$ から $\mathbb{R}$ への連続関数全体の集合
• $X_5$：$\mathbb{R}$ から $\mathbb{R}$ への全単射全体の集合

$i,j\in \{1,2,3,4,5\}$ に対し、$X_i$ から $X_j$ への写像全体の集合を $\mathrm{Map}(X_i,X_j)$ とする。順序対 $(i,j)$ 全 $25$ 個のうち、$\mathrm{Map}(X_i,X_j)$ の濃度がちょうど $2^{\mathfrak{c}}$ であるものの個数を求めよ。

$n$ 個の元からなる集合の上の位相（開集合系）の個数を $T(n)$ とする。ただし、開集合系として異なるものは区別して数える（同相なものも別々に数える）。$T(3)=29$, $T(4)=355$ であることが知られている。これを用いて、集合 $X=\{1,2,3,4\}$ 上の位相 $\mathcal{O}$ のうち、位相空間 $(X,\mathcal{O})$ が連結となるものの個数を求めよ。

$a$ を実数とし、通常のユークリッド距離による位相を入れた平面 ${\mathbb{R}}^2$ の部分集合
$$X_a=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2\mid x^4+a{x}^2{y}^2+y^4\le 1,x^2+y^2\ge 1\}$$
を考える。$X_a$ に ${\mathbb{R}}^2$ からの相対位相を入れるとき、$X_a$ がコンパクトかつ連結となるような $a$ の値の範囲を求めよ。

集合 $X,Y$ に対して、$Y$ から $X$ への写像全体の集合を $X^Y$ で表す。ただし、$X^{\varnothing }$ は空写像 $1$ 個だけからなる集合とし、$Y\ne \varnothing$ のとき ${\varnothing }^Y=\varnothing$ とする。${\mathbb{Z}}_{>0}$ を正の整数全体の集合、$\mathbb{R}$ を実数全体の集合、$\mathcal{P}(\mathbb{R})$ を $\mathbb{R}$ のべき集合とする。次の $7$ 個の集合からなる族を考える。
$$\mathcal{F}=\{\varnothing ,\{1\},\{1,2\},\{1,2,3\},{\mathbb{Z}}_{>0},\mathbb{R},\mathcal{P}(\mathbb{R})\}$$
$X,Y$ がそれぞれ $\mathcal{F}$ の元全体を動くとき（$X=Y$ の場合も含む）、$49$ 個の集合 $X^Y$ が得られる。これら $49$ 個の集合の濃度として現れる値は、全部で何種類あるか求めよ。ただし、$2$ つの集合の濃度が等しいとは、それらの間に全単射が存在することである。

$A=\{1,2,3,4,5\}$ とする。写像 $f:A\to A$ のうち、合成について
$$f\circ f=f\circ f\circ f$$
を満たすものの個数を求めよ。

集合 $X=\{1,2,3,4\}$ 上の位相 $\mathcal{O}$ のうち、$\{1\}\in \mathcal{O}$（すなわち $1$ 点集合 $\{1\}$ が開集合）となるものの個数を求めよ。

実数全体の集合 $\mathbb{R}$ の濃度を $\mathfrak{c}=2^{{\aleph }_0}$ とする。次の $8$ 個の集合のうち、濃度がちょうど $\mathfrak{c}$ であるものの個数を求めよ。

$(1)$ $\mathbb{R}$ から $\mathbb{R}$ への連続関数全体の集合

$(2)$ 有理数全体の集合 $\mathbb{Q}$ の有限部分集合全体の集合

$(3)$ $\mathbb{R}$ から $\mathbb{R}$ への単調増加関数（$x<y\Rightarrow f(x)\le f(y)$ を満たす関数）全体の集合

$(4)$ 閉区間 $[0,1]$ 上で定義された実数値関数のうち、$[0,1]$ でリーマン積分可能なもの全体の集合

$(5)$ 正の整数全体の集合上の同値関係全体の集合

$(6)$ 実代数的数（整数係数の $0$ でない多項式の根となる実数）全体の集合

$(7)$ $\mathbb{R}$（通常の位相）の開集合全体の集合

$(8)$ 関数 $f:\mathbb{R}\to \{0,1\}$ のうち、$f(x)=1$ となる $x$ が有限個であるもの全体の集合

平面 ${\mathbb{R}}^2$ 上の関数 $d:{\mathbb{R}}^2\times {\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ を、$p=(x_1,y_1)$, $q=(x_2,y_2)$ に対して
$$d(p,q)=\{\begin{array}{ll}|y_1-y_2|& (x_1=x_2)\\ |y_1|+|x_1-x_2|+|y_2|& (x_1\ne x_2)\end{array}$$
で定める。$d$ は ${\mathbb{R}}^2$ 上の距離である（$x$ 軸を「川」とみなし、異なる縦の線の間を移動するには一度 $x$ 軸まで戻る必要がある、という距離である）。

楕円板
$$E=\left\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2|\frac{x^2}{4}+y^2\le 1\right\}$$
の、距離 $d$ に関する直径
$${\mathrm{diam}}_{d}E=\sup \{d(p,q)\mid p,q\in E\}$$
を求めよ。

実数を成分とする $2$ 次正方行列全体の集合 $M_2(\mathbb{R})$ を、
$$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)⟷(a,b,c,d)$$
によって ${\mathbb{R}}^4$ と同一視し、${\mathbb{R}}^4$ の通常のユークリッド距離による位相を入れる。$E$ を $2$ 次単位行列として、部分集合
$$X=\{A\in M_2(\mathbb{R})\mid A^4=E\}$$
に相対位相を入れる。$X$ の連結成分の個数を求めよ。

$A=\{1,2,3,4,5,6,7\}$ とする。$A$ 上の同値関係 $R$ のうち、次の $2$ つの条件をともに満たすものの個数を求めよ。

• $(1)$ どの同値類も $2$ 個以上の元を含む
• $(2)$ $1$ と $2$ は $R$ に関して同値でない（すなわち $(1,2)\notin R$）

閉区間 $[0,2]$ 上の実数値連続関数全体の集合 $C[0,2]$ に、距離
$$d(f,g)={\int }_0^2|f(x)-g(x)|dx$$
を入れた距離空間を考える。その部分集合
$$X=\left\{f\in C[0,2]|\text{すべての }x,y\in [0,2]\text{ に対して }|f(x)-f(y)|\le 3|x-y|,{\int }_0^{2}f(x)dx=0\right\}$$
の直径
$$\mathrm{diam}X=\underset{f,g\in X}{\sup }d(f,g)$$
を求めよ。

集合 $X=\{1,2,3,4\}$ 上の位相 $\mathcal{O}$ のうち、次の $2$ つの条件をともに満たすものの個数を求めよ。

• $(1)$ 位相空間 $(X,\mathcal{O})$ は $T_0$ 空間である。すなわち、$X$ の相異なる任意の $2$ 点 $x,y$ に対し、$x,y$ の一方だけを含む開集合が存在する。
• $(2)$ 位相空間 $(X,\mathcal{O})$ は連結である。

通常のユークリッド距離による位相を入れた空間 ${\mathbb{R}}^3$ の部分集合
$$X=\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3\mid xyz(x^2-y^2)(y^2-z^2)(z^2-x^2)\ne 0\}$$
に相対位相を入れる。$X$ の連結成分の個数を求めよ。

集合 $X=\{1,2,3,4\}$ 上の位相 $\mathcal{O}$（開集合系）のうち、開集合がちょうど $5$ 個であるもの（すなわち $|\mathcal{O}|=5$ となるもの）の個数を求めよ。ただし、開集合系として異なるものは、位相空間として同相であっても別のものとして数える。

集合 $X=\{1,2,3,4,5\}$ 上の位相 $\mathcal{O}$ のうち、開集合の個数がちょうど $4$ であるもの（すなわち $\mathcal{O}$ がちょうど $4$ 個の $X$ の部分集合からなるもの）の個数を求めよ。

ただし、$X$ の部分集合族 $\mathcal{O}$ が $X$ 上の位相であるとは、$\varnothing \in \mathcal{O}$、$X\in \mathcal{O}$ であり、$\mathcal{O}$ が有限個の共通部分と任意個の和集合について閉じていることをいう。異なる部分集合族は異なる位相として数える。

$(X,\mathcal{O})$ を位相空間とする。部分集合 $B\subset X$ に対し、$B$ の内部 $\mathrm{int}B$ を $B$ に含まれる開集合すべての和集合、$B$ の閉包 $\overline{B}$ を $B$ を含む閉集合すべての共通部分とし、$B$ の境界を
$$\partial B=\overline{B}\setminus \mathrm{int}B$$
で定める。$\mathrm{int}B$ は $B$ に含まれる最大の開集合であり、$\overline{B}$ は $B$ を含む最小の閉集合であること、および $X\setminus \mathrm{int}B=\overline{X\setminus B}$ が成り立つことは用いてよい。

任意の部分集合 $A\subset X$ に対して
$$\partial (\partial (\partial A))=\partial (\partial A)$$
が成り立つことを証明せよ。

正の整数 $m$ に対し $[m]=\{1,2,\dots ,m\}$ とし、$[0]=\varnothing$ とする。0 以上の整数 $m$ に対し、$[m]$ 上の同値関係の個数を $E(m)$ で表す（$\varnothing$ 上の同値関係は空関係ただ 1 つなので $E(0)=1$ である）。

集合 $S$ の分割とは、$S$ の空でない部分集合からなる集合族 $\mathcal{P}$ であって、$\mathcal{P}$ の相異なる 2 つの元は交わらず、$\mathcal{P}$ の元すべての和集合が $S$ になるものをいう（$\varnothing$ の分割は空集合族ただ 1 つである）。集合 $S$ 上の同値関係と $S$ の分割とは、同値関係にその同値類全体を対応させることで 1 対 1 に対応する。この事実は用いてよい。

任意の 0 以上の整数 $n$ に対して
$$E(n+1)=\sum _{j=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j}\right)E(j)$$
が成り立つことを証明せよ。

$X$ を空でない有限集合とする。$X$ 上の前順序とは、$X$ 上の二項関係 $⪯$ で、反射律（任意の $x$ で $x⪯x$）と推移律（$x⪯y$ かつ $y⪯z$ ならば $x⪯z$）を満たすものをいう（反対称律は要求しない）。$X$ 上の位相全体の集合を $\mathfrak{T}$、$X$ 上の前順序全体の集合を $\mathfrak{P}$ とする。

位相 $\mathcal{O}\in \mathfrak{T}$ と $y\in X$ に対し $U_y=\bigcap \{U\in \mathcal{O}:y\in U\}$ とおき、$X$ 上の関係 ${⪯}_{\mathcal{O}}$ を「$x{⪯}_{\mathcal{O}}y⟺x\in U_y$」で定める。

前順序 $⪯\in \mathfrak{P}$ に対し、$X$ の部分集合族 ${\mathcal{O}}_{⪯}$ を
$${\mathcal{O}}_{⪯}=\{U\subset X:y\in U\text{ かつ }x⪯y\text{ ならば }x\in U\}$$
で定める。

$\mathcal{O}\mapsto {⪯}_{\mathcal{O}}$ は $\mathfrak{T}$ から $\mathfrak{P}$ への全単射であり、その逆写像は $⪯\mapsto {\mathcal{O}}_{⪯}$ であることを証明せよ。