集合と位相の問題

$X$ は、平面から $x$ 軸（$y=0$）と円 $x^2+y^2=4$ を取り除いた集合です。$y\ne 0$ かつ $x^2+y^2\ne 4$ なので、$X$ は次の 4 つの集合に分かれます。
$$A_1=\{y>0,x^2+y^2<4\},A_2=\{y<0,x^2+y^2<4\},$$
$$A_3=\{y>0,x^2+y^2>4\},A_4=\{y<0,x^2+y^2>4\}.$$
どれも空ではありません（たとえば $(0,1)\in A_1$, $(0,-1)\in A_2$, $(0,3)\in A_3$, $(0,-3)\in A_4$）。

(1) 各 $A_i$ は連結である（道でつなげる）。
$A_1$ は上半分の開円板で、凸集合です。実際、$A_1$ の 2 点を結ぶ線分上の点も $y>0$ と $x^2+y^2<4$ をみたします（$y>0$ は半平面、$x^2+y^2<4$ は円板で、どちらも凸だからです）。よって $A_1$ の任意の 2 点は線分（道）で結べるので、$A_1$ は弧状連結であり、したがって連結です。$A_2$ も同様です。
$A_3$ の点を極座標で $(r\cos \theta ,r\sin \theta )$（$r>2$, $0<\theta <\pi$）と表します。まず $\theta$ を固定して $r$ を $3$ まで動かし（途中も $r>2$, $0<\theta <\pi$ なので $A_3$ 内）、次に半径 $3$ の円弧に沿って $\theta$ を $\frac{\pi }{2}$ まで動かすと、$A_3$ の中を通って点 $(0,3)$ に到達します。したがって $A_3$ の任意の 2 点は $(0,3)$ を経由する道で結べ、$A_3$ は連結です。$A_4$ も同様です。

(2) 異なる $A_i$ どうしは同じ連結成分に入らない。
$X$ の連結な部分集合 $C$ をとります。関数 $g(x,y)=y$ は連続で、$C$ 上で $0$ になりません。連結集合の連続像は連結なので $g(C)$ は $\mathbb{R}$ の連結集合、つまり区間です。区間 $g(C)$ は $0$ を含まないので、正の数と負の数を両方含むことはできません。よって $C$ 上で $y$ の符号は一定です。同じく $h(x,y)=x^2+y^2-4$ を使うと、$C$ 上で $x^2+y^2-4$ の符号も一定です。したがって $C$ はどれか 1 つの $A_i$ に含まれます。

(1) より各 $A_i$ は連結、(2) より $A_i$ より大きい連結集合はないので、$A_1,A_2,A_3,A_4$ がちょうど $X$ の連結成分です。

よって連結成分の個数は $4$ です。

$X$ は平面から直線 $y=0$（$x$ 軸）と円 $x^2+y^2=4$ を除いた集合である。直線と円は $(\pm 2,0)$ の 2 点で交わる。

${\mathbb{R}}^2$ を $x$ 軸の上下と円の内外で分けると、次の 4 つの領域になる。
1. $y>0,x^2+y^2<4$（上半円板の内部）
2. $y<0,x^2+y^2<4$（下半円板の内部）
3. $y>0,x^2+y^2>4$
4. $y<0,x^2+y^2>4$

それぞれ連結である。1 と 2 は凸集合である。3 は極座標で $r>2,0<\theta <\pi$ と表せ、区間の直積なので連結である。4 も同様である。

異なる領域の間は、$y=0$ または $x^2+y^2=4$ をまたがないと行き来できない。これらは $X$ に含まれないので、各領域は $X$ で開かつ閉であり、連結成分はこの 4 つである。

検算：平面グラフとして、頂点を無限遠点も含めて 3 個、辺を 5 本とすると、オイラーの公式から面の数は $F=2-V+E=2-3+5=4$ となり、上の結果と一致する。

答え：4