加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式

加法定理を用いて、$\cos \frac{7}{12}\pi$ の値を求めよ。

加法定理を用いて、$\cos \frac{7}{12}\pi$ の値を求めよ。

加法定理を用いて、$\cos \frac{7}{12}\pi$ の値を求めよ。

定積分 $${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sin 3x\cos xdx$$ を求めよ。

定積分 $${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sin 3x\cos xdx$$ を求めよ。

$u=u(x,t)$ に対する熱方程式の初期値・境界値問題
$$u_t=u_{xx}(0<x<2,t>0),$$
$$u(0,t)=u(2,t)=0(t>0),u(x,0)=4{\sin }^3\frac{\pi x}{2}(0\le x\le 2)$$
を考える。この問題の解 $u$ を変数分離とフーリエ正弦級数を用いて求め、$t>0$ における中点での値 $u(1,t)$ を $t$ の式で表せ。

$u=u(x,t)$ に対する 1 次元波動方程式の初期値問題
$$u_{tt}=9u_{xx}(x\in \mathbb{R},t>0),$$
$$u(x,0)=x^2,u_t(x,0)=\cos x(x\in \mathbb{R})$$
の $C^2$ 級の解 $u(x,t)$ を求めよ。答えは $x$, $t$ の式で表せ。

$u=u(x,t)$ に対する 1 次元波動方程式の初期値問題
$$u_{tt}=9u_{xx}(x\in \mathbb{R},t>0),$$
$$u(x,0)=x^2,u_t(x,0)=\cos x(x\in \mathbb{R})$$
の $C^2$ 級の解 $u(x,t)$ を、ダランベールの公式を用いて求めよ。答えは $x,t$ の式で表せ。

$u=u(x,t)$ に対する 1 次元波動方程式の初期値問題
$$u_{tt}=9u_{xx}(x\in \mathbb{R},t>0),$$
$$u(x,0)=x^2,u_t(x,0)=\cos x(x\in \mathbb{R})$$
の $C^2$ 級の解 $u(x,t)$ を求めよ。

平面の円板 $D=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2\mid x^2+y^2<4\}$ において、$u\in C^2(D)\cap C(\overline{D})$ がディリクレ問題
$$u_{xx}+u_{yy}=0((x,y)\in D),$$
$$u(2\cos \theta ,2\sin \theta )=8{\sin }^2\theta (0\le \theta <2\pi )$$
を満たすとする。極座標による変数分離を用いて $u$ を求め、点 $\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right)$ における値 $u\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right)$ を求めよ。

平面の円板 $D=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2\mid x^2+y^2<4\}$ において、関数 $u\in C^2(D)\cap C(\overline{D})$ がディリクレ問題
$$u_{xx}+u_{yy}=0((x,y)\in D),$$
$$u(2\cos \theta ,2\sin \theta )={\sin }^3\theta (0\le \theta <2\pi )$$
を満たすとする。極座標による変数分離を用いて $u$ を求め、点 $(0,1)$ における値 $u(0,1)$ を求めよ。

平面の円板 $D=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2\mid x^2+y^2<4\}$ において、ラプラス方程式のディリクレ問題
$$u_{xx}+u_{yy}=0((x,y)\in D),$$
$$u(2\cos \theta ,2\sin \theta )=8{\sin }^2\theta +4\cos \theta (0\le \theta <2\pi )$$
を考える。ここで $u$ は直交座標 $(x,y)$ の関数 $u(x,y)$ であり、$u\in C^2(D)\cap C(\overline{D})$ とする（この条件のもとで解はただ 1 つに定まる）。極座標を用いた変数分離によってこの解 $u$ を求め、直交座標で $(x,y)=\left(1,\frac{1}{2}\right)$ と表される点における値 $u\left(1,\frac{1}{2}\right)$ を求めよ。

$0<\theta <\pi$ とし、$\cos \theta =-\frac{7}{25}$ とする。このとき、$\sin \left(\frac{\theta }{2}+\frac{\pi }{3}\right)$ の値を求めよ。

次の定積分の値を求めよ。$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{e}^{\sin x}\sin 2xdx$$

極座標 $(r,\theta )$ に関する極方程式
$$r=4\cos \theta$$
で表される曲線を $C$、極方程式
$$r\cos \left(\theta -\frac{\pi }{3}\right)=2$$
で表される図形を $\ell$ とする。$C$ と $\ell$ は $2$ 点で交わる。この $2$ 点を結ぶ線分の長さを求めよ。

座標平面上で、原点 $\mathrm{O}$ を極、$x$ 軸の正の部分を始線とする極座標を考える。極方程式
$$r=6\cos \theta$$
で表される曲線 $C$ と、極方程式
$$r\cos \left(\theta -\frac{\pi }{3}\right)=3$$
で表される直線 $\ell$ は 2 点で交わる。この 2 つの交点を結ぶ線分の長さを求めよ。

$\alpha$ は $\pi <\alpha <\frac{3}{2}\pi$ を満たす実数で、$\tan \alpha =\frac{4}{3}$ とする。このとき、
$$\tan \left(\frac{\alpha }{2}+\frac{\pi }{4}\right)$$
の値を求めよ。

区間 $-1<x<1$ で定義された微分可能な関数 $y(x)$ が、微分方程式 $$y^{\prime }=\frac{1+y^2}{1+x^2}$$ と初期条件 $y(0)=1$ を満たすとする。$y(x)$ を求めよ。

$2\pi$ 周期関数 $f(x)=|\sin x|$ の $[-\pi ,\pi ]$ におけるフーリエ級数を求め、パーセバルの等式を用いて、無限級数
$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{(4n^2-1{)}^2}$$
の値を求めよ。

スピン $\frac{1}{2}$ の粒子のスピン演算子を $\mathbf{S}=\frac{\hslash }{2}\mathbf{\sigma }$ とする。ここで $\mathbf{\sigma }=({\sigma }_x,{\sigma }_y,{\sigma }_z)$ は、${\sigma }_z$ の固有状態 $|\uparrow ⟩$（固有値 $+1$）, $|\downarrow ⟩$（固有値 $-1$）を基底として
$${\sigma }_x=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right),{\sigma }_y=\left(\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right),{\sigma }_z=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$$
と表されるパウリ行列である。

$xz$ 平面内で $z$ 軸から $x$ 軸の向きへ角 $\frac{\pi }{3}$ だけ傾いた単位ベクトル $\mathbf{n}=\left(\sin \frac{\pi }{3},0,\cos \frac{\pi }{3}\right)$ の向きのスピン成分 $\mathbf{n}\cdot \mathbf{S}$ について、固有値 $+\frac{\hslash }{2}$ の固有状態に粒子を用意した。この状態で $S_x$ を測定したとき、$+\frac{\hslash }{2}$ が得られる確率を求めよ。

$[-\pi ,\pi ]$ 上の関数 $f(x)=\cos \frac{x}{3}$ を周期 $2\pi$ で $\mathbb{R}$ 全体に拡張した関数（同じ記号 $f$ で表す）のフーリエ級数 $$\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos nx+b_n\sin nx\right),a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nxdx,b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nxdx$$ を求め、それを $x=\pi$ で考えることにより、無限級数 $$S=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{9n^2-1}$$ の値を求めよ。

$u=u(x,t)$ に対する両端固定の弦の波動方程式の初期値・境界値問題
$$u_{tt}=u_{xx}(0<x<\pi ,t>0),$$
$$u(0,t)=u(\pi ,t)=0(t\ge 0),$$
$$u(x,0)={\sin }^{3}x,u_t(x,0)=\sin 2x(0\le x\le \pi )$$
の解 $u\in C^2([0,\pi ]\times [0,\infty ))$ について、$u\left(\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{4}\right)$ の値を求めよ。

質量 $M$ の同じ原子が、直線上に間隔 $a$ で無限に並んでいる（$M>0$, $a>0$）。隣り合う原子どうしだけが、ばね定数 $K(K>0)$ の軽いばねでつながれており、原子は直線に沿った方向にだけ微小振動する。$n$ 番目の原子のつり合いの位置からの変位を $u_n$ とすると、運動方程式は
$$M{\ddot{u}}_n=K(u_{n+1}-2u_n+u_{n-1})(n\text{ は整数})$$
である。

この格子を伝わる波 $u_n=A\cos (kna-\omega t)$（$A\ne 0$, $\omega >0$）を考える。波数が $k=\frac{\pi }{2a}$ のときの、群速度 $v_{\mathrm{g}}=\frac{d\omega }{dk}$ と位相速度 $v_{\mathrm{p}}=\frac{\omega }{k}$ の比 $\frac{v_{\mathrm{g}}}{v_{\mathrm{p}}}$ を求めよ。

$t\ge 0$ で定義された関数 $f(t)=\sin t$, $g(t)=\cos t$ の畳み込みを
$$h(t)=(f\ast g)(t)={\int }_0^{t}f(t-u)g(u)du={\int }_0^t\sin (t-u)\cos udu$$
で定める。ラプラス変換 $\mathcal{L}[f](s)={\int }_0^{\infty }{e}^{-st}f(t)dt$ の畳み込み定理 $\mathcal{L}[f\ast g]=\mathcal{L}[f]\mathcal{L}[g]$ を用いて、$h(t)$ を $t$ の式で表せ。

標本化周波数 $f_s=8000\text{Hz}$ で動作する離散時間の FIR フィルタがあり、入力 $x[n]$ と出力 $y[n]$ の関係は差分方程式
$$y[n]=x[n]+x[n-1]+x[n-2]+x[n-3]$$
で表される（$n$ は整数）。このフィルタに、周波数 $f=1000\text{Hz}$ の連続時間正弦波を標本化した信号
$$x[n]=\cos \left(\frac{2\pi f}{f_s}n\right)(-\infty <n<\infty )$$
を入力したとき、出力 $y[n]$ も同じ周波数の正弦波になる。このフィルタの伝達関数 $H(z)$ を $z$ 変換で求め、周波数特性 $H(e^{j\omega })$（$\omega$ は正規化角周波数）を用いて、出力 $y[n]$ の振幅を求めよ。答えは根号を用いた正確な値で答えよ。

空気（屈折率 $1$ とみなす）中に置いたマイケルソン干渉計に、ナトリウムランプの光を入れる。この光は、真空中の波長 ${\lambda }_1=589.0\text{nm}$ と ${\lambda }_2=589.6\text{nm}$ の 2 本のスペクトル線だけからなるとする。2 本の線の強度は等しく、それぞれの線の幅は無視できる。また、2 本の線は互いにインコヒーレントである。光は 2 枚の鏡に垂直に入射し、ビームスプリッターによる光路差は補償板で打ち消されている。

一方の鏡（可動鏡）を光軸に沿ってゆっくり動かすと、観測点での干渉縞の鮮明度（ビジビリティ）が周期的に変化した。鮮明度が最小になる可動鏡の位置から、次に鮮明度が最小になる位置まで、可動鏡を動かす距離は何 mm か。有効数字 3 桁で求めよ。

屈折率 $1$ の空気中から、屈折率 $n=\frac{\sqrt{6}}{2}$ の一様で等方的な透明媒質（吸収なし、透磁率は真空と同じ）の平らな表面に、単色の直線偏光の平面波を入射角 ${\theta }_i=\frac{\pi }{3}$ で入射させる。入射光の p 偏光成分（入射面内に電場が振動する成分）と s 偏光成分（入射面に垂直に電場が振動する成分）の振幅は等しく、位相もそろっている。

反射光も直線偏光になる。反射光の電場の p 成分の振幅の大きさを $|E_p^{\mathrm{r}}|$、s 成分の振幅の大きさを $|E_s^{\mathrm{r}}|$ とし、反射光の電場の振動方向と「入射面内にあって反射光の進行方向に垂直な方向（p 方向）」とのなす角 $\psi$ $\left(0\le \psi \le \frac{\pi }{2}\right)$ を
$$\tan \psi =\frac{|E_s^{\mathrm{r}}|}{|E_p^{\mathrm{r}}|}$$
で定める。$\psi$ を弧度法で求めよ。ただし、振幅反射率はフレネルの式で与えられるものとする。

長さ $L$、線密度 $\mu$ の一様な弦が、張力 $T$ で $x$ 軸に沿って張られている（$L>0$, $\mu >0$, $T>0$）。弦の端 $x=0$ は壁に固定されている。もう一方の端 $x=L$ には質量の無視できる小さな輪が付いており、この輪は $x=L$ に鉛直に立てたなめらかな棒に沿って $y$ 方向にだけ自由に動ける。弦の横変位 $y(x,t)$ は微小で、波動方程式
$$\mu \frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}=T\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}(0<x<L)$$
に従うものとし、重力・空気抵抗は無視する。

時刻 $t=0$ に弦を
$$y(x,0)=A{\sin }^3\frac{\pi x}{2L}(0\le x\le L)$$
の形にして静かに放した（$A>0$ は定数で、変位は十分小さい。すべての点の初速度は $0$）。$t\ge 0$ における輪の変位 $y(L,t)$ を、$A$, $L$, $\mu$, $T$, $t$ を用いて表せ。

質量 $m$ の等しい質点が、ばね定数 $K$ の等しいばねで一直線上に無限に並んでつながれている（1 次元の単原子格子、$m>0$, $K>0$）。つり合いの位置での隣り合う質点の間隔は $a$（$a>0$）である。$n$ 番目の質点のつり合いの位置からの変位を $u_n(t)$ とすると、運動方程式は
$$m\frac{d^2{u}_n}{d{t}^2}=K\left(u_{n+1}-2u_n+u_{n-1}\right)$$
である。

この格子を伝わる波 $u_n(t)=A\cos (kna-\omega t)$（$A\ne 0$、$\omega >0$、波数 $k$ は $0<k\le \pi /a$）を考える。波長が $3a$ の波について、群速度 $v_g$ と位相速度 $v_p$ の比 $\frac{v_g}{v_p}$ を求めよ。答えは根号と $\pi$ を用いた正確な値で答えよ。

$\alpha$, $\beta$ は $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$, $0<\beta <\frac{\pi }{2}$ を満たす実数で、
$$\sin \alpha =\frac{3}{5},\cos (\alpha +\beta )=-\frac{5}{13}$$
であるとする。このとき、$\tan \frac{\beta }{2}$ の値を求めよ。

$0\leqq x\leqq \pi$ において、曲線 $y=\sin x$ と直線 $y=\frac{1}{2}$ で囲まれた部分を $D$ とする。$D$ を $x$ 軸のまわりに $1$ 回転してできる立体の体積 $V$ を求めよ。

$0\leqq x\leqq \frac{\pi }{3}$ の範囲において、2 曲線 $y=\sin 2x$ と $y=\sin x$ で囲まれた部分を $D$ とする。$D$ を $x$ 軸のまわりに 1 回転させてできる立体の体積 $V$ を求めよ。

$O$ を極とする極座標において、極方程式
$$r=4\cos \theta$$
で表される曲線 $C$ と、極方程式
$$r\cos \left(\theta -\frac{\pi }{3}\right)=2$$
で表される直線 $\ell$ がある。$C$ と $\ell$ の 2 つの交点を $A$, $B$ とするとき、三角形 $OAB$ の面積を求めよ。

複素数 $\alpha$ を $$\alpha =(\sqrt{6}+\sqrt{2})+(\sqrt{6}-\sqrt{2})i$$ と定める。ただし、$i$ は虚数単位とする。${\alpha }^6$ の値を求めよ。

曲線 $y=\sqrt{x}\sin x(0\leqq x\leqq \pi )$ と $x$ 軸で囲まれた部分を、$x$ 軸のまわりに $1$ 回転させてできる立体の体積 $V$ を求めよ。

平面上の領域
$$D=\{(x,y)\mid x^2-2xy+2y^2\le 4,y\ge 0\}$$
に対して、重積分
$$I={\iint }_{D}xydxdy$$
の値を求めよ。

区間 $0\leqq x<\frac{\pi }{2}$ で定義された微分可能な関数 $y(x)$ が、微分方程式
$$y^{\prime }-y\tan x=2\sin x$$
と初期条件 $y(0)=1$ をみたすとする。$y\left(\frac{\pi }{3}\right)$ の値を求めよ。

複素ヒルベルト空間 ${\ell }^2(\mathbb{Z})$（${\sum }_{n\in \mathbb{Z}}|x_n{|}^2<\infty$ を満たす複素数列 $x=(x_n{)}_{n\in \mathbb{Z}}$ 全体）上の作用素 $T$ を
$$(Tx{)}_n=x_{n-1}+x_{n+1}+\frac{1}{2}\left(x_{n-2}+x_{n+2}\right)(n\in \mathbb{Z})$$
で定める。$T$ のスペクトル $\sigma (T)$ を求めよ。

質量 $m$ のスピン $\frac{1}{2}$ の同種フェルミ粒子 2 個が、1 次元の無限に深い井戸型ポテンシャル（$0<x<L$ で $0$、それ以外で $+\infty$）の中にある。粒子間の相互作用は無視でき、1 粒子の規格化された固有関数は
$${\varphi }_n(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \frac{n\pi x}{L}(n=1,2,3,\dots )$$
である。

2 粒子のスピン状態が $|\uparrow {⟩}_1|\uparrow {⟩}_2$（どちらも $S_z=+\frac{\hslash }{2}$）で、空間部分では一方が ${\varphi }_1$、もう一方が ${\varphi }_2$ の状態を占めている。このとき、2 粒子の位置を $x_1,x_2$ として、期待値 $⟨(x_1-x_2{)}^2⟩$ は $L^2$ の何倍か。必要なら
$${\int }_0^L{x}^2{\varphi }_n(x{)}^{2}dx=L^2\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{2n^2{\pi }^2}\right)$$
を用いてよい。

質量 $m$ の粒子が 1 次元の無限に深い井戸型ポテンシャル（$0<x<L$ で $V=0$、それ以外で $V=\infty$）の中にある。エネルギー固有状態を
$${\phi }_n(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \frac{n\pi x}{L}(0<x<L,n=1,2,3,\dots )$$
とし、その固有エネルギーを $E_n=\frac{n^2{\pi }^2{\hslash }^2}{2m{L}^2}$ とする（$\hslash$ はプランク定数を $2\pi$ で割ったもの）。時刻 $t=0$ で粒子の波動関数が
$$\Psi (x,0)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left\{{\phi }_1(x)+{\phi }_2(x)\right\}$$
であった。その後、粒子は時間に依存しないこのポテンシャルのもとでシュレーディンガー方程式に従って時間発展する。粒子を井戸の左半分 $0<x<\frac{L}{2}$ に見いだす確率が最小になる最初の時刻 $t(t>0)$ を、$m,L,\hslash$ を用いて表せ。

平面の円環領域 $D=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2:1<x^2+y^2<4\}$ において、ディリクレ問題
$$\Delta u=u_{xx}+u_{yy}=0((x,y)\in D),$$
$$u(x,y)=x^2(x^2+y^2=1),u(x,y)=0(x^2+y^2=4)$$
を考える。$u$ は $D$ で $C^2$ 級、$\overline{D}$ で連続な解とする（このような解はただ 1 つである）。このとき $u(\sqrt{2},0)$ の値を求めよ。

実数全体の集合 $\mathbb{R}$ 上の関数 $d:\mathbb{R}\times \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ を
$$d(x,y)=\left|\arctan x-\arctan y\right|(x,y\in \mathbb{R})$$
で定めると、$(\mathbb{R},d)$ は距離空間になる。ここで $\arctan$ は値域を $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ とする逆正接関数である。

この距離空間における、中心 $\sqrt{3}$、半径 $\frac{5\pi }{12}$ の開球
$$B\left(\sqrt{3},\frac{5\pi }{12}\right)=\left\{x\in \mathbb{R}|d\left(x,\sqrt{3}\right)<\frac{5\pi }{12}\right\}$$
を、$\mathbb{R}$ の区間として求めよ。

搬送波周波数 $f_c=1\text{MHz}$ の振幅変調（DSB-LC、通常の AM）波
$$s(t)=A\left[1+m_1\cos (2\pi f_{1}t)+m_2\cos (2\pi f_{2}t)\right]\cos (2\pi f_{c}t)$$
を考える。ここで $A=100\text{V}$、$m_1=0.3$、$m_2=0.4$、$f_1=1\text{kHz}$、$f_2=3\text{kHz}$ であり、$t$ は時刻（単位は s）である。この電圧 $s(t)$ を $R=50\Omega$ の抵抗に加えたとき、抵抗で消費される平均電力（単位は W）を分数または小数の正確な値で求めよ。平均は十分長い時間についてとるものとする。

2 次元トーラス ${\mathbb{T}}^2={\mathbb{R}}^2/{\mathbb{Z}}^2$ 上の平行移動 $R:{\mathbb{T}}^2\to {\mathbb{T}}^2$ を
$$R(x,y)=(x+\sqrt{2},y+2\sqrt{2})\mathrm{mod}1$$
で定め、${\mathbb{T}}^2$ 上の連続関数 $\phi$ を
$$\phi (x,y)=\cos (2\pi (y-2x))+\cos (4\pi x)\cos (2\pi y)$$
で定める。点 $p=\left(0,\frac{1}{3}\right)$ に対し、時間平均
$$\underset{N\to \infty }{\lim }\frac{1}{N}\sum _{n=0}^{N-1}\phi \left(R^{n}p\right)$$
を求めよ。

閉区間 $I=[-1,1]$ 上の写像 $f:I\to I$ を
$$f(x)=4x^3-3x$$
で定める。正の整数 $n$ に対し $f^n$ を $f$ の $n$ 回合成とする。点 $x\in I$ が $f^6(x)=x$ をみたし、かつ $1\le k\le 5$ のどの整数 $k$ についても $f^k(x)\ne x$ であるとき、$x$ を最小周期 $6$ の周期点という。最小周期 $6$ の周期点からなる周期軌道 $\{x,f(x),\dots ,f^5(x)\}$ の個数を求めよ。

区間 $-\pi \le x\le \pi$ で定義された関数 $f(x)=\cos \frac{x}{2}$ のフーリエ級数を
$$\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos nx+b_n\sin nx\right),a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nxdx,b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nxdx$$
とする。パーセバルの等式
$$\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x{)}^{2}dx=\frac{a_0^2}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n^2+b_n^2\right)$$
を用いて、無限級数
$$S=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{(4n^2-1{)}^2}$$
の値を求めよ。

区間 $-\pi \leqq x\leqq \pi$ で定義された関数 $f(x)=|\sin x|$ のフーリエ係数を
$$a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nxdx(n=0,1,2,\dots ),b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nxdx(n=1,2,\dots )$$
で定める。パーセバルの等式
$$\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }\{f(x){\}}^{2}dx=\frac{a_0^2}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n^2+b_n^2\right)$$
を用いて、無限級数
$$S=\sum _{m=1}^{\infty }\frac{1}{(4m^2-1{)}^2}$$
の値を求めよ。ただし $m$ は正の整数を動く。

複素平面の領域 $$D=\left\{z\in \mathbb{C}||z|<1,\left|z-\frac{1}{2}\right|>\frac{1}{2}\right\}$$ を考える（単位開円板から、点 $z=1$ で単位円に内接する閉円板 $\left|z-\frac{1}{2}\right|\le \frac{1}{2}$ を除いた三日月形の領域）。$\mathbb{D}=\{w\in \mathbb{C}\mid |w|<1\}$ とし、$f:D\to \mathbb{D}$ を $f\left(-\frac{1}{3}\right)=0$ を満たす正則な全単射とする。このとき $\left|f\left(-\frac{1}{5}\right)\right|$ の値を求めよ。

真空中に直交座標 $(x,y,z)$ をとる。空間全体に、$z$ 軸の正の向きを向いた一様な静磁場（磁束密度の大きさ $B>0$）と、同じく $z$ 軸の正の向きを向いた一様な静電場（電場の大きさ $E>0$）がかかっている。電荷 $q>0$、質量 $m$ の粒子が、時刻 $t=0$ に原点から速度 $$\mathbf{v}(0)=(v_0,0,-u)$$ で打ち出された（$v_0>0$、$u>0$ は定数）。ただし $u$ は $0<\frac{Bu}{E}<\pi$ を満たすとする。

粒子は打ち出された後、ふたたび平面 $z=0$ を通過する。その瞬間の粒子と $z$ 軸との距離を、$m,q,B,E,v_0,u$ を用いて求めよ。

ただし、重力と放射による損失は無視し、粒子の運動は非相対論的に扱ってよい。粒子の運動方程式は $m\frac{d\mathbf{v}}{dt}=q(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times \mathbf{B})$ である。

単一の正弦波で変調された FM 波
$$x(t)=A\cos (2\pi f_{c}t+\beta \sin (2\pi f_{m}t))$$
がある。ここで $A>0$ は定数、搬送波周波数は $f_c=5.0\text{MHz}$、変調信号の周波数は $f_m=3.0\text{kHz}$、変調指数は $\beta =0.50$ である。この FM 波を次の順に処理する。

1. 入出力の関係が $y(t)=kx(t{)}^2$（$k>0$ は定数）で表される 2 乗素子に通し、その出力から中心周波数 $10\text{MHz}$ 付近の成分だけを理想的な帯域通過フィルタで取り出す。
2. 周波数 $4.0\text{MHz}$ の一定周波数の局部発振器とミキサで混合し、周波数の和の成分だけを理想的なフィルタで取り出す。
3. 入力の瞬時位相を正確に $3$ 倍する理想的な周波数 3 逓倍器に通す。

ミキサと局部発振器は理想的とする。最終的に得られる FM 波の占有帯域幅 $B$ を、カーソンの法則 $B=2(\Delta f+f_m)$（$\Delta f$ はその FM 波の最大周波数偏移）で見積もるとき、$B$ は何 kHz か。整数で答えよ。

${\mathbb{R}}^2$ 上の減衰のある制御系
$${\dot{x}}_1(t)=x_2(t),{\dot{x}}_2(t)=-2x_1(t)-2x_2(t)+u(t)$$
を考える。許容制御とは、ある $T>0$ に対する可測関数 $u:[0,T]\to [0,1]$ のこととし（制御は $0$ 以上 $1$ 以下の値だけをとる）、状態 $x=(x_1,x_2)$ は初期条件 $x(0)=a$ のもとでの（絶対連続な）解とする。ここで $a\in {\mathbb{R}}^2$, $a\ne (0,0)$ は定数である。

$x(T)=(0,0)$ を満たす許容制御のうち、終端時刻 $T$ が最小のもの（時間最適制御）$u^{\ast }:[0,T^{\ast }]\to [0,1]$ が存在すると仮定し、対応する状態を $x^{\ast }$ とする。

次のポントリャーギンの最大原理は用いてよい: $H(x,p,v)=p_1{x}_2+p_2(-2x_1-2x_2+v)-{\lambda }_0$ とおくと、定数 ${\lambda }_0\ge 0$ と絶対連続な $p=(p_1,p_2):[0,T^{\ast }]\to {\mathbb{R}}^2$ が存在して、
- すべての $t\in [0,T^{\ast }]$ で $({\lambda }_0,p_1(t),p_2(t))\ne (0,0,0)$
- ほとんどすべての $t$ で ${\dot{p}}_1=-\frac{\partial H}{\partial x_1}$, ${\dot{p}}_2=-\frac{\partial H}{\partial x_2}$（$(x^{\ast }(t),p(t),u^{\ast }(t))$ で評価）
- ほとんどすべての $t$ で $H(x^{\ast }(t),p(t),u^{\ast }(t))={\max }_{0\le v\le 1}H(x^{\ast }(t),p(t),v)=0$

が成り立つ。また、定数係数の 2 階線形常微分方程式 $\ddot{y}-2\dot{y}+2y=0$ の $C^2$ 級の解が $e^t\cos t,e^t\sin t$ の 1 次結合で尽くされることも用いてよい。

このとき、次の性質をもつ $\sigma \in \{1,-1\}$、整数 $k\ge 0$、実数 $0={\tau }_0<{\tau }_1<\cdots <{\tau }_k<{\tau }_{k+1}=T^{\ast }$ が存在することを証明せよ。
- 各 $i=0,1,\dots ,k$ について、開区間 $({\tau }_i,{\tau }_{i+1})$ 上ほとんどいたるところで $u^{\ast }(t)=\frac{1+(-1{)}^i\sigma }{2}$ である（すなわち $u^{\ast }$ は区間ごとに値 $1$ と $0$ を交互にとる）。
- すべての $i=0,1,\dots ,k$ について ${\tau }_{i+1}-{\tau }_i\le \pi$ である。
- $1\le i\le k-1$ を満たすすべての $i$ について ${\tau }_{i+1}-{\tau }_i=\pi$ である（$k\le 1$ のときはこの条件は課さない）。

外接円の半径が $1$ で、$\angle A=\frac{\pi }{3}$ である鋭角三角形 $\mathrm{ABC}$ を考える。このとき、$\mathrm{AB}+2\mathrm{AC}$ のとりうる値の範囲を求めよ。

$x$ は $0<x<\frac{\pi }{2}$ を満たす実数で、$\tan 2x$ と $\tan 3x$ がともに定義されるものとする。$x$ が
$$\tan x+\tan 2x+\tan 3x=0$$
を満たすとき、$\cos 2x$ のとりうる値をすべて求めよ。

座標平面上で、原点 $\mathrm{O}$ を極、$x$ 軸の正の部分を始線とする極座標 $(r,\theta )$ を考える。極方程式
$$r=\frac{8}{3+2\cos \theta }$$
で表される曲線を $C$ とする。$\mathrm{O}$ を通り互いに垂直な 2 直線 ${\ell }_1$, ${\ell }_2$ をとり、${\ell }_1$ と $C$ の 2 つの交点を $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$、${\ell }_2$ と $C$ の 2 つの交点を $\mathrm{R}$, $\mathrm{S}$ とする。${\ell }_1$, ${\ell }_2$ が互いに垂直であるという条件を保って動くとき、$\mathrm{PQ}+\mathrm{RS}$ の最小値を求めよ。

平面上の領域 $$D=\{(x,y)\mid |x{|}^{2/3}+|y{|}^{2/3}\le 1\}$$ （アステロイドで囲まれた領域）に対して、重積分 $$I={\iint }_D(x^2+y^2)dxdy$$ の値を求めよ。

広義積分 $$I={\int }_0^{\infty }\frac{{\sin }^{3}x}{x^2}dx$$ の値を求めよ。

区間 $-\pi \le x\le \pi$ で定義された関数 $f(x)=|\sin x|$ のフーリエ級数を
$$\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos nx+b_n\sin nx\right),$$
$$a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nxdx(n=0,1,2,\dots ),b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nxdx(n=1,2,\dots )$$
で定める。フーリエ係数を求め、パーセバルの等式
$$\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }\{f(x){\}}^{2}dx=\frac{a_0^2}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n^2+b_n^2\right)$$
を用いて、無限級数
$$S=\sum _{m=1}^{\infty }\frac{1}{(4m^2-1{)}^2}$$
の値を求めよ。

$N=10$ とし、${\mathbb{C}}^N$ の元の添字は $\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}$ の元とみなす（$x_{n+N}=x_n$）。$x,y\in {\mathbb{C}}^N$ の巡回畳み込みを
$$(x\ast y{)}_n=\sum _{m=0}^{N-1}{x}_m{y}_{n-m}(n=0,1,\dots ,N-1)$$
で定める。$a\in {\mathbb{C}}^N$ を
$$a_0=3,a_1=a_{N-1}=1,a_n=0(2\le n\le N-2)$$
で定め、$e\in {\mathbb{C}}^N$ を $e_0=1,e_n=0(1\le n\le N-1)$ で定める。方程式 $a\ast x=e$ はただ一つの解 $x\in {\mathbb{C}}^N$ をもつ。その成分 $x_0$ の値を求めよ。

整数 $n$ に対して、$\chi (n)$ を法 $5$ のルジャンドル記号 $\left(\frac{n}{5}\right)$ とする。すなわち
$$\chi (n)=\{\begin{array}{ll}1& (n\equiv 1,4(\mathrm{mod}5))\\ -1& (n\equiv 2,3(\mathrm{mod}5))\\ 0& (n\equiv 0(\mathrm{mod}5))\end{array}$$
である。正の整数 $n$ に対して
$$a(n)=\sum _{d\mid n}\chi (d)$$
と定める（$d$ は $n$ の正の約数全体を動く）。このとき無限級数
$$S=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{a(n{)}^2}{n^2}$$
は収束する。$S$ の値を求めよ。

ただし $\zeta (2)=\frac{{\pi }^2}{6}$、$\zeta (4)=\frac{{\pi }^4}{90}$ と、$t\notin \mathbb{Z}$ である実数 $t$ に対する等式 $\sum _{n\in \mathbb{Z}}\frac{1}{(n+t{)}^2}=\frac{{\pi }^2}{{\sin }^2(\pi t)}$ は用いてよい。

空気（屈折率 $1$）中で、光軸上に薄いレンズを等間隔 $d(d>0)$ で無限に並べたレンズ列（レンズ導波路）を考える。レンズを光軸上の位置 $z=0,d,2d,3d,\dots$ に置き、$z=0$ のレンズから順に $L_0,L_1,L_2,\dots$ とよぶ。$L_0,L_2,L_4,\dots$（偶数番目）は焦点距離 $f$ の凸レンズ、$L_1,L_3,L_5,\dots$（奇数番目）は焦点距離 $-f$ の凹レンズである（$f>0$）。光線は近軸光線とし、光線の状態を光軸からの高さ $y$ と光軸に対する傾き $\theta$ の組 $(y,\theta )$ で表す。レンズは厚さを無視できる理想的な薄いレンズとし、収差は考えない。

$L_0$ の直前（$z=0$ の入射側）で $(y,\theta )$ の状態にあった光線が、16 枚のレンズ $L_0,L_1,\dots ,L_{15}$ を通過して $L_{16}$ の直前（$z=16d$ の入射側）に達したとき、その状態がもとの $(y,\theta )$ と一致したとする。これがどのような $(y,\theta )$ の光線についても成り立つような間隔 $d$ のうち、最小のものを $f$ を用いて表せ。