積分法の問題

積 $\sin 3x\cos x$ はこのままでは積分しにくいので、積和の公式を使って和の形に直します。

手順1：積和の公式で和に直す

積和の公式
$$\sin \alpha \cos \beta =\frac{1}{2}\{\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha -\beta )\}$$
に $\alpha =3x$, $\beta =x$ を代入すると
$$\sin 3x\cos x=\frac{1}{2}(\sin 4x+\sin 2x)$$
となります。

手順2：それぞれの項を積分する

$\int \sin kxdx=-\frac{1}{k}\cos kx+C$（$k\ne 0$）を使うと
$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sin 3x\cos xdx=\frac{1}{2}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}(\sin 4x+\sin 2x)dx=\frac{1}{2}{\left[-\frac{1}{4}\cos 4x-\frac{1}{2}\cos 2x\right]}_0^{\frac{\pi }{2}}$$

手順3：上端・下端の値を代入する

$x=\frac{\pi }{2}$ のとき、$\cos 2\pi =1$, $\cos \pi =-1$ より
$$-\frac{1}{4}\cdot 1-\frac{1}{2}\cdot (-1)=\frac{1}{4}$$
$x=0$ のとき、$\cos 0=1$ より
$$-\frac{1}{4}\cdot 1-\frac{1}{2}\cdot 1=-\frac{3}{4}$$
したがって
$$\frac{1}{2}\left\{\frac{1}{4}-\left(-\frac{3}{4}\right)\right\}=\frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{2}$$

答えは $\frac{1}{2}$ です。

積和の公式より $\sin 3x\cos x=\frac{1}{2}(\sin 4x+\sin 2x)$。よって
$${\int }_0^{\pi /2}\sin 3x\cos xdx=\frac{1}{2}{\left[-\frac{\cos 4x}{4}-\frac{\cos 2x}{2}\right]}_0^{\pi /2}.$$
$x=\pi /2$ のとき: $-\frac{\cos 2\pi }{4}-\frac{\cos \pi }{2}=-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$。
$x=0$ のとき: $-\frac{1}{4}-\frac{1}{2}=-\frac{3}{4}$。
差は $\frac{1}{4}-(-\frac{3}{4})=1$。よって値は $\frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{2}$。
検算: 部分積分や別法として $\sin 3x=3\sin x-4{\sin }^{3}x$ を用いると、${\int }_0^{\pi /2}(3\sin x\cos x-4{\sin }^{3}x\cos x)dx=3\cdot \frac{1}{2}-4\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{2}$。一致する。