定積分の計算

定積分 $${\int }_{-1}^2(x^2+2x-1)dx$$ の値を求めよ。

定積分 $${\int }_{-1}^2\left(x^2+2x-1\right)dx$$ の値を求めよ。

定積分 $${\int }_{-1}^2\left(x^2-2x+3\right)dx$$ の値を求めよ。

2 つの放物線 $y=x^2-2x$ と $y=-x^2+4x$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。

2 つの放物線 $y=x^2-2x$ と $y=-x^2+4x$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。

2 つの放物線 $y=x^2-1$ と $y=-x^2+2x+3$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。

曲線 $$y=\frac{1}{3}{\left(x^2+2\right)}^{\frac{3}{2}}(0\leqq x\leqq 3)$$ の長さ $L$ を求めよ。

区間 $-\pi \le x\le \pi$ で定義された関数
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}-1& (-\pi \le x<0)\\ 1& (0\le x\le \pi )\end{array}$$
のフーリエ級数は
$$\frac{4}{\pi }\sum _{k=1}^{\infty }\frac{\sin (2k-1)x}{2k-1}=\frac{4}{\pi }\left(\sin x+\frac{\sin 3x}{3}+\frac{\sin 5x}{5}+\cdots \right)$$
である。すなわち、フーリエ係数 $a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nxdx$, $b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nxdx$ は、$a_n=0(n\ge 0)$ であり、$n$ が奇数のとき $b_n=\frac{4}{n\pi }$、$n$ が正の偶数のとき $b_n=0$ である。

パーセバルの等式
$$\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }\{f(x){\}}^{2}dx=\frac{a_0^2}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n^2+b_n^2\right)$$
を用いて、無限級数
$$\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{(2k-1{)}^2}=1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\cdots$$
の和を求めよ。

区間 $-\pi \le x\le \pi$ で定義された関数 $f(x)=x$ のフーリエ級数は
$$x\sim \sum _{n=1}^{\infty }{b}_n\sin nx,b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }x\sin nxdx=\frac{2(-1{)}^{n+1}}{n}(n=1,2,3,\dots )$$
であり、余弦の係数はすべて $a_n=0(n=0,1,2,\dots )$ である。パーセバルの等式
$$\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }\{f(x){\}}^{2}dx=\frac{a_0^2}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n^2+b_n^2\right)$$
を用いて、無限級数
$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}$$
の和を求めよ。

${\mathbb{R}}^2$ 上の $C^1$ 級の未知関数 $u=u(x,t)$ に対する 1 階線形偏微分方程式の初期値問題
$$u_t+(\cos t)u_x=t((x,t)\in {\mathbb{R}}^2),u(x,0)=x^2(x\in \mathbb{R})$$
を考える。この初期値問題の解 $u(x,t)$ を $x,t$ の式で求めよ。

連続型確率変数 $X$ のとりうる値の範囲が $0\leqq x\leqq 1$ で、その確率密度関数が
$$f(x)=2x(0\leqq x\leqq 1)$$
であるとする。$X$ の分散 $V(X)$ を求めよ。

確率変数 $X$ のとりうる値の範囲が $0\leqq X\leqq 1$ で、その確率密度関数が
$$f(x)=3x^2(0\leqq x\leqq 1)$$
であるとする。$X$ の期待値 $E(X)$ を求めよ。

確率変数 $X$ のとりうる値の範囲が $0\leqq X\leqq 1$ で、その確率密度関数が
$$f(x)=2x(0\leqq x\leqq 1)$$
であるとする。$X$ の分散 $V(X)$ を求めよ。

連続型確率変数 $X$ のとり得る値の範囲が $0\leqq x\leqq 2$ で、その確率密度関数が
$$f(x)=\frac{x}{2}(0\leqq x\leqq 2)$$
であるとする。このとき、確率 $P(1\leqq X\leqq 2)$ を求めよ。

確率変数 $X$ は、母数 $\theta >0$ をもつ確率密度関数
$$f(x\mid \theta )=\theta x^{\theta -1}(0<x<1)$$
に従うとする（$0<x<1$ 以外では $f(x\mid \theta )=0$）。

帰無仮説 $H_0:\theta =1$、対立仮説 $H_1:\theta =3$ を、$X$ の観測値 1 個を用いて検定する。棄却域を $X\ge 0.9$ とする（$X\ge 0.9$ のとき $H_0$ を棄却する）。

この検定の第 1 種の誤りの確率 $\alpha$ と第 2 種の誤りの確率 $\beta$（$H_1$ が正しいときに $H_0$ を棄却しない確率）を求め、$(\alpha ,\beta )$ の順に答えよ。

確率変数 $X$ は、確率密度関数
$$f(x\mid \theta )=\theta x^{\theta -1}(0<x<1),f(x\mid \theta )=0(\text{それ以外})$$
をもつ分布に従うとする。ここで $\theta$ は $\theta >0$ を満たす未知の母数である。$X$ を 1 回だけ観測し、帰無仮説 $H_0:\theta =1$ を対立仮説 $H_1:\theta =2$ に対して検定する。棄却域を $X>\frac{4}{5}$ とする（観測値が $\frac{4}{5}$ より大きければ $H_0$ を棄却する）。

この検定の有意水準（第 1 種の誤りの確率）と、$\theta =2$ のときの検出力を、この順に求めよ。

確率変数 $X$ は、区間 $0<x<1$ 上の確率密度関数
$$f(x\mid \theta )=\theta x^{\theta -1}(0<x<1)$$
をもつ分布に従うとする（$\theta >0$ は未知の母数で、$0<x<1$ の外では密度は $0$ とする）。$X$ を $1$ 回だけ観測し、帰無仮説 $H_0:\theta =1$ を対立仮説 $H_1:\theta =2$ に対して検定する。棄却域を $X\ge 0.9$ とする（観測値が $0.9$ 以上なら $H_0$ を棄却する）。

この検定の第 $1$ 種の誤りの確率 $\alpha$ と、対立仮説 $\theta =2$ のもとでの検出力を、この順に組 $(\alpha ,\text{検出力})$ で求めよ。

$(W_t{)}_{t\ge 0}$ を確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の $W_0=0$ を満たす 1 次元標準ブラウン運動とし、$({\mathcal{F}}_t{)}_{t\ge 0}$ をその自然なフィルトレーションとする。伊藤積分
$$X={\int }_0^2(W_t+t)d{W}_t$$
を考える。$X$ の分散 $V(X)$ を求めよ。

$(W_t{)}_{t\ge 0}$ を確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の $W_0=0$ を満たす 1 次元標準ブラウン運動とし、$({\mathcal{F}}_t{)}_{t\ge 0}$ をその自然なフィルトレーションとする。確率変数 $X$ を
$$X=3+{\int }_0^{2}t{W}_{t}d{W}_t$$
で定める（右辺の積分は伊藤積分）。$E[X^2]$ を求めよ。

実ヒルベルト空間 $L^2([0,\pi ])$（ルベーグ測度に関する 2 乗可積分な実数値関数全体。内積は $⟨f,g⟩={\int }_0^{\pi }f(x)g(x)dx$）において、関数系
$$e_n(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi }}\sin nx(n=1,2,3,\dots )$$
は正規直交基底であることが知られている。この事実と関数 $f(x)=x(\pi -x)$ に対するパーセバルの等式を用いて、無限級数
$$\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{(2k-1{)}^6}$$
の値を求めよ。

実ヒルベルト空間 $L^2([0,1])$ を考える。内積はルベーグ測度に関して $⟨f,g⟩={\int }_0^{1}f(x)g(x)dx$ で定める。関数族
$$e_n(x)=\sqrt{2}\sin (n\pi x)(n=1,2,3,\dots )$$
は $L^2([0,1])$ の正規直交基底であることが知られている。$f(x)=x(1-x)$ とするとき、級数
$$\sum _{n=1}^{\infty }⟨f,e_n{⟩}^2$$
の値を求めよ。

ルベーグ測度に関する複素ヒルベルト空間 $L^2(0,\pi )$ に内積 $⟨f,g⟩={\int }_0^{\pi }f(x)\overline{g(x)}dx$ を入れる。作用素 $A$ を
$$Au=-u^{\prime \prime },D(A)=\{u\in H^2(0,\pi )\mid u(0)=u(\pi )=0\}$$
で定める。$A$ は自己共役作用素である。$u\in D(A)$ を境界値問題
$$-u^{\prime \prime }(x)=1(0<x<\pi ),u(0)=u(\pi )=0$$
の解とする。$A$ の固有関数による展開を用いて $⟨u,1⟩$ を級数で表し、$u$ を直接求めて計算した $⟨u,1⟩$ の値と比べることで、級数
$$S=\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{(2k-1{)}^4}$$
の値を求めよ。

定積分 $${\int }_0^3\left|x^2-3x+2\right|dx$$ の値を求めよ。

曲線 $y=x(x-2{)}^2$ と直線 $y=x$ で囲まれた 2 つの部分の面積の和を求めよ。

曲線 $C:y=x^3-3x^2+2$ 上の点 $\mathrm{P}(-1,-2)$ における $C$ の接線を $\ell$ とする。曲線 $C$ と接線 $\ell$ で囲まれた部分の面積を求めよ。

連続型確率変数 $X$ の確率密度関数が、定数 $c$ を用いて
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}c{x}^2(2-x)& (0\le x\le 2)\\ 0& (\text{otherwise})\end{array}$$
で与えられている。$X$ の分散 $V(X)$ を求めよ。

ルベーグ測度に関する実ヒルベルト空間 $L^2([0,1])$ において、$1$ 次以下の多項式全体のなす部分空間を $V=\{a+bx:a,b\in \mathbb{R}\}$ とする。関数 $f(x)=x^3$ と $V$ との距離の $2$ 乗
$$D=\underset{a,b\in \mathbb{R}}{\min }{\int }_0^1{\left(x^3-a-bx\right)}^{2}dx$$
を求めよ。

区間 $(0,1)$ 上のルベーグ測度に関する積分
$$I={\int }_0^1\frac{x^2\left(x^2-1\right)}{\log x}dx$$
の値を求めよ。

1 次元の無限に深い井戸型ポテンシャル（$0<x<L$ で $V=0$、それ以外で $V=\infty$）の中にある粒子が、ある時刻に次の波動関数で表される状態にある。
$$\psi (x)=\{\begin{array}{ll}Ax(L-x)& (0\le x\le L)\\ 0& (x<0,x>L)\end{array}$$
ここで $L$ は正の定数、$A$ は正の実数の規格化定数である。この状態での位置の不確定性 $\Delta x=\sqrt{⟨x^2⟩-⟨x{⟩}^2}$ を $L$ を用いて表せ。

ルベーグ測度に関する実バナッハ空間 $L^3([0,1])$（ノルムは $\Vert f{\Vert }_3={\left({\int }_0^1|f(x){|}^{3}dx\right)}^{1/3}$）上の線形汎関数 $\phi$ を
$$\phi (f)={\int }_0^{1}xf(x)dx(f\in L^3([0,1]))$$
で定める。$\phi$ は有界であり、双対空間 $L^3([0,1]{)}^{\ast }$ の元である。その作用素ノルム
$$\Vert \phi \Vert =\sup \{|\phi (f)|:f\in L^3([0,1]),\Vert f{\Vert }_3\le 1\}$$
の値を求めよ。

$xyz$ 空間の領域 $V=\{(x,y,z)\mid x^2+y^2\le 4,0\le z\le 3\}$ を考え、その境界の閉曲面（側面・上面・底面）を $S$、$S$ 上の外向き単位法線ベクトルを $\mathbf{n}$ とする。ベクトル場
$$\mathbf{F}(x,y,z)=(x+y^2,yz,z^2)$$
について、面積分
$${\iint }_S\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}dS$$
の値を求めよ。

$xyz$ 空間の四面体領域
$$V=\{(x,y,z)\mid x\ge 0,y\ge 0,z\ge 0,x+2y+3z\le 6\}$$
の境界の閉曲面（4 つの三角形の面）を $S$、$S$ 上の外向き単位法線ベクトルを $\mathbf{n}$ とする。ベクトル場
$$\mathbf{F}(x,y,z)=(xy,yz,zx)$$
について、面積分 $${\iint }_S\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}dS$$ の値を求めよ。

実数値の状態 $x(t)$ と制御 $u(t)$（$u$ は $[0,\infty )$ 上の区分的に連続な実数値関数）について、状態方程式
$$\dot{x}(t)=u(t)(t\ge 0),x(0)=2$$
と割引つき評価関数
$$J[u]={\int }_0^{\infty }{e}^{-t}\left(x(t{)}^2+u(t{)}^2\right)dt$$
を考える。$J[u]$ が有限となる制御 $u$ 全体の中での $J[u]$ の最小値を求めよ。

$xy$ 平面上で、放物線 $y=x^2$ と直線 $y=2x$ で囲まれた有界な領域を $D$ とし、$D$ の境界を正の向き（反時計回り、$D$ を左側に見て進む向き）に 1 周する閉曲線を $C$ とする。線積分
$$I={\oint }_C\left(\sin x-x^{2}y\right)dx+\left(x{y}^2+e^y\right)dy$$
の値を求めよ。

実数値の状態 $x(t)$ と制御 $u(t)$（$u$ は $[0,2]$ 上の区分的に連続な関数で、すべての $t$ で $0\le u(t)\le 1$ を満たす）について、状態方程式
$$\dot{x}(t)=-x(t)+u(t)(0\le t\le 2),x(0)=0$$
を考える。終端時刻 $2$ は固定で、終端状態 $x(2)$ は自由とする。評価関数
$$J[u]=x(2)-\frac{1}{2}{\int }_0^{2}u(t)dt$$
の最大値を求めよ。

区間 $[1,2]$ 上の $C^2$ 級の実数値関数 $y(x)$ で、境界条件 $y(1)=0$, $y(2)=7$ を満たすものの全体を考える。この範囲で汎関数
$$J[y]={\int }_1^2\left(x^2{y}^{\prime }(x{)}^2+2y(x{)}^2\right)dx$$
の最小値を求めよ。

定積分 $$I={\int }_0^2{x}^{4}dx$$ を、区間 $[0,2]$ を幅 $h=\frac{1}{2}$ の 4 つの小区間に等分した複合シンプソン公式 $$S=\frac{h}{3}\{f(x_0)+4f(x_1)+2f(x_2)+4f(x_3)+f(x_4)\}(x_k=kh,f(x)=x^4)$$ で近似する。このときの誤差 $S-I$ の値を、分数で厳密に求めよ。

$[0,1]\times [0,1]$ 上の関数 $G$ を
$$G(x,y)=\{\begin{array}{ll}x(1-y)& (0\le x\le y\le 1)\\ y(1-x)& (0\le y\le x\le 1)\end{array}$$
で定める（これは境界値問題 $-u^{\prime \prime }=f$, $u(0)=u(1)=0$ のグリーン関数である）。$u$ を $[0,1]$ 上の実数値 $C^2$ 級関数で $u(0)=u(1)=0$ をみたすものとする。このとき、すべての $x\in [0,1]$ について
$$u(x)=-{\int }_0^{1}G(x,y)u^{\prime \prime }(y)dy$$
が成り立つことを用いて、
$$\underset{0\le x\le 1}{\max }|u(x)|\le \frac{1}{8}\underset{0\le x\le 1}{\max }|u^{\prime \prime }(x)|$$
が成り立つことを示せ。ただし、上の積分表示も証明の中で示すこと。

$xyz$ 空間のベクトル場
$$\mathbf{F}(x,y,z)=\left(x^{2}y+x{y}^2+e^x\sin z,3x+z\cos (y^2),e^{xy}+xy{z}^2\right)$$
と、直方体
$$V=\{(x,y,z)\mid 0\le x\le 2,0\le y\le 1,0\le z\le 3\}$$
を考える。$V$ の表面（6 つの面）から底面 $z=0$ を取り除いた残りの 5 つの面からなる曲面を $S$ とし、$S$ の単位法線ベクトル $\mathbf{n}$ は $V$ の外側を向くものとする。面積分
$${\iint }_S(\nabla \times \mathbf{F})\cdot \mathbf{n}dS$$
の値を求めよ。

区間 $[0,1]$ 上の $C^2$ 級の実数値関数の組 $(y(x),z(x))$ で、境界条件
$$y(0)=0,y(1)=1,z(0)=0,z(1)=0$$
と積分制約
$${\int }_0^1(y(x)+2z(x))dx=1$$
を満たすものの全体を $\mathcal{A}$ とする。汎関数
$$J[y,z]={\int }_0^1(y^{\prime }(x{)}^2+z^{\prime }(x{)}^2)dx$$
の $\mathcal{A}$ における最小値を求めよ。

$(W_t{)}_{t\ge 0}$ を確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の $W_0=0$ を満たす $1$ 次元標準ブラウン運動とし、$({\mathcal{F}}_t{)}_{t\ge 0}$ をその自然なフィルトレーション（通常の条件を満たすように完備化したもの）とする。停止時刻
$$\tau =\inf \{t\ge 0:W_t\notin (-1,2)\}$$
を用いて、確率変数
$$X={\int }_0^{\tau }{W}_{t}d{W}_t={\int }_0^{\infty }{1}_{\{t\le \tau \}}{W}_{t}d{W}_t$$
を定める。$X$ の分散 $V[X]$ を求めよ。

$(B_t{)}_{t\ge 0}$ を $B_0=0$ である 1 次元標準ブラウン運動とし（標本路は連続とする）、
$$Y={\int }_0^1{B}_t^{2}dt-\frac{1}{2}{B}_1^2$$
とおく（積分は各標本点でのリーマン積分とする）。$Y$ の分散 $V(Y)$ を求めよ。

真空中に、$x$ 軸に垂直な無限に広い平板状の領域 $-d\leqq x\leqq d$（$d>0$）があり、この領域の内部にだけ電荷が分布している。電荷密度は $x$ だけの関数で、$$\rho (x)={\rho }_0\frac{x^2}{d^2}(-d\leqq x\leqq d)$$ である（${\rho }_0>0$ は定数）。領域の外部に電荷はない。外部から加えた電場はなく、電場はこの電荷分布だけがつくるものとする。したがって電場は $x$ 成分 $E(x)$ だけをもち、平面 $x=0$ に関して対称（$E(-x)=-E(x)$）である。真空の誘電率を ${ϵ}_0$ とする。平面 $x=0$ 上の点の電位を $\varphi (0)$、平面 $x=d$ 上の点の電位を $\varphi (d)$ とするとき、電位差 $\varphi (0)-\varphi (d)$ を ${\rho }_0$, $d$, ${ϵ}_0$ を用いて表せ。

1 次元の数直線上を運動する粒子が、ある時刻に次の波動関数で表される状態にある。
$$\psi (x)=\{\begin{array}{ll}A(a-|x|)e^{i{k}_{0}x}& (|x|<a)\\ 0& (|x|\geqq a)\end{array}$$
ここで $a>0$、$k_0$ は実数の定数、$A$ は正の実数の規格化定数である。$\hslash$ はプランク定数を $2\pi$ で割ったもの、運動量演算子は $\hat{p}=-i\hslash \frac{d}{dx}$ とする。

この状態における位置の標準偏差 $\Delta x=\sqrt{⟨x^2⟩-⟨x{⟩}^2}$ と運動量の標準偏差 $\Delta p=\sqrt{⟨p^2⟩-⟨p{⟩}^2}$ の積 $\Delta x\Delta p$ を、$\hslash$ を用いて表せ。

放物線 $y=x^2$ と直線 $y=x+2$ で囲まれた部分の面積を求めよ。

曲線 $C:y=x^3-4x$ がある。点 $\mathrm{A}(0,-2)$ から曲線 $C$ に引いた接線を $\ell$ とする。曲線 $C$ と接線 $\ell$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。

多項式で表される関数 $f(x)$ が、すべての実数 $x$ に対して
$$f(x)=x^2+{\int }_0^1(x+t)f(t)dt$$
を満たしている。このとき、$f(x)$ を求めよ。

曲線 $C:y=x^3-3x^2+x$ 上の点 $\mathrm{P}(2,-2)$ における $C$ の接線を $\ell$ とする。曲線 $C$ と接線 $\ell$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。

関数 $f(x)$ は、すべての実数 $x$ に対して
$$f(x)=x^2+x{\int }_0^{1}f(t)dt+{\int }_0^{1}tf(t)dt$$
を満たす。このとき、$f(x)$ を求めよ。

曲線 $C:y=x^3-4x^2+3x$ 上の点 $\mathrm{P}(3,0)$ における $C$ の接線を $\ell$ とする。曲線 $C$ と直線 $\ell$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。

座標平面上の曲線 $C$ を、媒介変数 $t$ を用いて
$$x=t^2,y=t-\frac{t^3}{3}(0\le t\le \sqrt{3})$$
で定める。曲線 $C$ を $x$ 軸のまわりに 1 回転させてできる曲面の面積 $S$ を求めよ。

半径 $a$、長さ $L$ のまっすぐな円管の中を、粘性率 $\mu$ の非圧縮性ニュートン流体が、管の両端の圧力差 $\Delta p(>0)$ によって定常に流れている。流れは管軸に平行な層流（ハーゲン・ポアズイユ流）で、管の入口・出口付近の影響と重力は無視でき、管壁では流速が $0$（滑りなし条件）とする。

管軸からの距離が $b(0<b<a)$ 以下の部分（管と同軸の半径 $b$ の円の内側）を通る体積流量が、管全体の体積流量のちょうど半分になるとき、$b$ を $a$ を用いて表せ。

水平面と角 $\theta (0<\theta <\frac{\pi }{2})$ をなす十分に広い平らな斜面の上を、密度 $\rho$、粘性率 $\mu$ の非圧縮性ニュートン流体が、一定の厚さ $h$ の薄い液膜となって斜面に沿って定常に流れ下っている。

斜面に沿って下向きに $x$ 軸、斜面に垂直に上向きに $y$ 軸をとり（斜面上で $y=0$、液膜の自由表面で $y=h$）、流れは $x$ 方向の層流で、流速 $u(y)$ は $y$ だけの関数であるとする。斜面上では滑りなし条件 $u(0)=0$ が成り立ち、自由表面では空気から受けるせん断応力は $0$（${\frac{du}{dy}|}_{y=h}=0$）、圧力は一様な大気圧であるとする。重力加速度の大きさを $g$ とする。

液膜の、流れに垂直な単位幅あたりの体積流量 $q$ を、$\rho ,\mu ,g,h,\theta$ を用いて表せ。

閉区間 $[0,1]$ 上の実数値連続関数全体のなす実バナッハ空間 $C([0,1])$ に、上限ノルム $\Vert f{\Vert }_{\infty }={\max }_{0\le x\le 1}|f(x)|$ を入れる。線形汎関数 $\phi :C([0,1])\to \mathbb{R}$ を
$$\phi (f)={\int }_0^1(3x^2-1)f(x)dx-2f\left(\frac{1}{2}\right)(f\in C([0,1]))$$
で定める（積分はリーマン積分）。$\phi$ は有界であり、双対空間 $C([0,1]{)}^{\ast }$ の元である。その作用素ノルム
$$\Vert \phi \Vert =\sup \{|\phi (f)|:f\in C([0,1]),\Vert f{\Vert }_{\infty }\le 1\}$$
の値を求めよ。

$(B_t{)}_{t\ge 0}$ を $B_0=0$ である標準ブラウン運動（1 次元）とし、
$$X={\int }_0^1{\left(B_t-t{B}_1\right)}^{2}dt$$
とおく（標本路の連続性により、この積分は各標本点でリーマン積分として定まる）。$X$ の分散 $V[X]$ を求めよ。

1 次元の数直線上を運動する粒子が、ある時刻に次の波動関数で表される状態にある。
$$\psi (x)=\{\begin{array}{ll}A(a-|x|)e^{i{k}_{0}x}& (|x|<a)\\ 0& (|x|\geqq a)\end{array}$$
ここで $a$ は正の定数、$k_0$ は実数の定数、$A$ は正の実数の規格化定数である。$\hslash$ はプランク定数を $2\pi$ で割ったもの、運動量演算子は $\hat{p}=-i\hslash \frac{d}{dx}$ とする。$\psi$ は連続で、$x=0,\pm a$ を除いて微分可能なので、$⟨{\hat{p}}^2⟩$ は
$$⟨{\hat{p}}^2⟩={\hslash }^2{\int }_{-\infty }^{\infty }{\left|\frac{d\psi }{dx}\right|}^{2}dx$$
で計算してよい。

この状態での位置の標準偏差 $\Delta x=\sqrt{⟨{\hat{x}}^2⟩-⟨\hat{x}{⟩}^2}$ と運動量の標準偏差 $\Delta p=\sqrt{⟨{\hat{p}}^2⟩-⟨\hat{p}{⟩}^2}$ の積 $\Delta x\Delta p$ を、$\hslash$ を用いて表せ。

区間 $-\pi \le x\le \pi$ で定義された関数
$$f(x)=x(\pi -|x|)$$
を考える。$f(x)$ のフーリエ級数
$$\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos nx+b_n\sin nx\right)$$
の係数を求め、パーセバルの等式
$$\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }\{f(x){\}}^{2}dx=\frac{a_0^2}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n^2+b_n^2\right)$$
を用いて、無限級数
$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^6}$$
の値を求めよ。

区間 $[0,1]$ 上の実数値連続関数 $f$ に対する数値積分公式
$${\int }_0^{1}f(x)dx\approx w_{0}f(0)+w_{1}f(t)$$
を考える。ここで $w_0,w_1$ は実数の定数、$t$ は $0<t\le 1$ を満たす実数の定数である。この公式の精度の次数（次数 $m$ 以下のすべての実数係数多項式 $f$ に対して等号が厳密に成り立つような最大の整数 $m$）ができるだけ大きくなるように $w_0,w_1,t$ を定めるとき、組 $(w_0,w_1,t)$ を求めよ。

原点を除いた $xy$ 平面 $D={\mathbb{R}}^2\setminus \{(0,0)\}$ 上のベクトル場
$$\mathbf{F}(x,y)=\left(\frac{x-y}{x^2+y^2},\frac{x+y}{x^2+y^2}\right)$$
と、媒介変数表示された曲線
$$C:\mathbf{r}(t)=((1+t)\cos 2t,(1+t)\sin 2t)(0\le t\le \pi )$$
を考える（向きは $t$ が増える向き）。線積分
$${\int }_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$$
の値を求めよ。

実数全体で定義された可積分な関数 $f(x)$ のフーリエ変換を
$$\hat{f}(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}dx(\omega \text{ は実数})$$
で定める。関数
$$g(x)=\{\begin{array}{ll}1& (|x|\le 1)\\ 0& (|x|>1)\end{array},h(x)=\frac{1}{2}{e}^{-|x|}$$
を考える。$g$, $h$ のフーリエ変換、畳み込みのフーリエ変換の性質、パーセバルの等式などを利用して、定積分
$$J={\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{{\sin }^2\omega }{{\omega }^2(1+{\omega }^2)}d\omega$$
の値を求めよ。ただし、被積分関数は $\omega =0$ で連続に拡張したもの（値 $1$）とする。

入力範囲が $-V$ から $V$（$V>0$）の $N$ ビットの一様量子化器（$N$ は正の整数）でアナログ信号を量子化する。量子化ステップ幅は $\Delta =\frac{2V}{2^N}$ であり、量子化誤差は区間 $\left[-\frac{\Delta }{2},\frac{\Delta }{2}\right]$ に一様に分布し、信号と無相関であるとする。

この量子化器に、振幅 $\frac{V}{2}$ の正弦波 $x(t)=\frac{V}{2}\sin (2\pi f_{0}t)$ を入力する（入力範囲を超えることはない）。正弦波の平均電力と量子化雑音の平均電力の比を信号対量子化雑音比（SQNR）とするとき、SQNR が $90\text{dB}$ 以上になるような最小のビット数 $N$ を求めよ。必要なら ${\log }_{10}2=0.3010$, ${\log }_{10}3=0.4771$ を用いよ。

$C^1([0,1])$ を閉区間 $[0,1]$ 上の実数値 $C^1$ 級関数全体とし（端点では片側微分を考える）、
$$\mathcal{A}=\left\{y\in C^1([0,1])|y(0)=y(1)=0,{\int }_0^{1}y(x)dx=1\right\}$$
とおく。$y\in \mathcal{A}$ に対して
$$J[y]={\int }_0^1(y^{\prime }(x{)}^2+y(x{)}^2)dx$$
と定める。$e$ を自然対数の底とするとき、

すべての $y\in \mathcal{A}$ に対して $J[y]\ge \frac{e+1}{3-e}$ が成り立ち、等号を成立させる $y\in \mathcal{A}$ がちょうど 1 つ存在する

ことを証明せよ。

放物線 $C:y=x^2$ 上に $2$ 点 $\mathrm{P}(t,t^2)$, $\mathrm{Q}(t+2,(t+2{)}^2)$ をとる。実数 $t$ が $-1\le t\le 1$ の範囲を動くとき、線分 $\mathrm{PQ}$ が通過する部分の面積を求めよ。

$xy$ 平面上の曲線 $C$ を、楕円 $\frac{x^2}{4}+y^2=1$ のうち $y\ge 0$ の部分とし、点 $\mathrm{A}(2,0)$ から点 $\mathrm{B}(-2,0)$ へ向かう向きをつける。このとき、線積分
$$I={\int }_C\left(e^x\sin y-2y+x^2\right)dx+\left(e^x\cos y+x^3\right)dy$$
の値を求めよ。

確率変数 $X$ の特性関数 ${\phi }_X(t)=E\left[e^{itX}\right]$ が
$${\phi }_X(t)=\{\begin{array}{ll}\frac{\sin 2t\sin t}{2t^2}& (t\ne 0)\\ 1& (t=0)\end{array}$$
で与えられている（$t$ は実数）。確率 $P\left(|X|\le \frac{3}{2}\right)$ を求めよ。

確率変数 $X,Y$ は互いに独立で、どちらも区間 $(0,1)$ 上の一様分布に従う。$Z=X{Y}^2$ とおく。$Z$ の中央値、すなわち $P(Z\le m)=\frac{1}{2}$ を満たす実数 $m$ を求めよ。

区間 $[0,1]$ 上のルベーグ測度に関する実バナッハ空間 $L^1([0,1])$ を、ノルム $\Vert f{\Vert }_1={\int }_0^1|f(x)|dx$ で考える。$1$ 次以下の多項式全体のなす部分空間を $M=\{a+bx:a,b\in \mathbb{R}\}$ とする。$M$ は有限次元なので閉部分空間である。商空間 $L^1([0,1])/M$ に商ノルム
$$\Vert [f]\Vert =\underset{p\in M}{\inf }\Vert f-p{\Vert }_1$$
を入れる。$f(x)=x^3$ の同値類 $[f]$ について、商ノルム $\Vert [f]\Vert$ の値を求めよ。

$(B_t{)}_{t\ge 0}$ を $B_0=0$ である 1 次元標準ブラウン運動とし（標本路は連続とする）、$0\le t\le 1$ に対して $Y_t=B_t-t{B}_1$ とおく。さらに
$$X={\int }_0^1{Y}_t^{2}dt$$
とおく。$X$ の分散 $V(X)$ を求めよ。

正弦波信号 $x(t)=A\sin (2\pi f_{0}t)$ を、$B$ ビットの一様量子化器をもつ A/D 変換器で標本化・量子化する。量子化器の入力範囲は $-V\le x\le V$（$V>0$）で、量子化レベル数は $2^B$、量子化ステップ幅は $\Delta =\frac{2V}{2^B}$ である。信号の振幅は $A=\frac{V}{2}$ であり、量子化器が飽和することはない。

標本化周波数は $f_s=2.56\text{MHz}$ である。量子化誤差は次の性質をもつとする。
- 区間 $\left[-\frac{\Delta }{2},\frac{\Delta }{2}\right]$ 上の一様分布に従い、信号とは無相関である。
- その電力は周波数帯域 $-\frac{f_s}{2}\le f\le \frac{f_s}{2}$ に一様に分布している（白色）。

量子化後のディジタル信号を、通過帯域 $|f|\le f_B$（$f_B=20\text{kHz}$）の理想低域通過フィルタに通す。信号周波数 $f_0$ は $0<f_0<f_B$ を満たし、信号はこのフィルタで減衰しない。

フィルタ出力での信号対雑音比（信号電力と量子化雑音電力の比）を $\text{SNR}$ とし、そのデシベル値を $10{\log }_{10}\text{SNR}$ と定義する。フィルタ出力での SNR が $96\text{dB}$ 以上となるような最小の正の整数 $B$ を求めよ。必要なら ${\log }_{10}2=0.3010$、${\log }_{10}3=0.4771$ を用いよ。

真空中（誘電率 ${ϵ}_0$）に、2 枚の平面 $x=-d$ と $x=d$ ではさまれた、$y$ 方向と $z$ 方向に無限に広い板状の領域がある（$d>0$）。この領域の内部にだけ電荷が分布しており、その体積密度は
$$\rho (x)={\rho }_0\left(1-\frac{x^2}{d^2}\right)(-d\leqq x\leqq d)$$
である（${\rho }_0>0$ は定数）。領域の外部 $|x|>d$ に電荷はない。原点を O、$x$ 軸上の $x=2d$ の点を P とする。

点 O の電位 $V_{\mathrm{O}}$ と点 P の電位 $V_{\mathrm{P}}$ の差 $V_{\mathrm{O}}-V_{\mathrm{P}}$ を、${\rho }_0,d,{ϵ}_0$ を用いて表せ。

体積 $V$ の箱の中に、質量をもたないスピン $\frac{1}{2}$ のフェルミ粒子が $N$ 個閉じ込められている。各運動量 $\mathbf{p}$ に対してスピン状態は $2$ つある（縮重度 $2$）とする。粒子どうしの相互作用は無視する。1 粒子のエネルギーは運動量の大きさ $p$ を用いて $\epsilon =cp$（$c$ は光速）で与えられる。反粒子の生成は考えない。系は温度 $T$ の熱平衡にあり、粒子は化学ポテンシャル $\mu$ のフェルミ分布
$$f(\epsilon )=\frac{1}{e^{(\epsilon -\mu )/k_{B}T}+1}$$
に従う。数密度を $n=\frac{N}{V}$ とし、$V$ は十分大きく、運動量についての和は（スピンについての和とは別に）積分 $\sum _{\mathbf{p}}\to \frac{V}{(2\pi \hslash {)}^3}\int d^{3}p$ で置き換えてよい（$\hslash$ はディラック定数、$k_B$ はボルツマン定数）。

温度が十分低く $k_{B}T$ がフェルミエネルギーに比べて十分小さいとき、なめらかな関数 $\varphi (\epsilon )$（$\varphi (0)=0$）に対するゾンマーフェルト展開
$${\int }_0^{\infty }\varphi (\epsilon )f(\epsilon )d\epsilon ={\int }_0^{\mu }\varphi (\epsilon )d\epsilon +\frac{{\pi }^2}{6}(k_{B}T{)}^2{\varphi }^{\prime }(\mu )+\cdots$$
を用いてよい。化学ポテンシャル $\mu$ を、$T$ の 2 次までの精度で $n,T,\hslash ,c,k_B$ を用いて表せ。

自己重力で球対称に束縛され、静水圧平衡にある質量 $M$、半径 $R$ の静止した恒星を考える。中心からの距離 $r$ における密度は
$$\rho (r)={\rho }_c\left(1-\frac{r^2}{R^2}\right)(0\le r\le R)$$
で与えられる（${\rho }_c$ は定数）。恒星内部の圧力 $P$ は、単原子分子理想気体のガス圧 $P_g$ と放射圧 $P_r$ の和 $P=P_g+P_r$ であり、ガス圧の割合 $\beta =P_g/P$（$0<\beta \le 1$）は恒星内部のいたるところで一定であるとする。単位体積あたりの内部エネルギーは、ガスについては $\frac{3}{2}{P}_g$、放射については $3P_r$ とする。表面 $r=R$ で圧力は $0$ とし、回転・磁場は無視する。万有引力定数を $G$ とする。