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確率・統計の問題

難易度 3期末試験の応用レベル大学数学確率・統計

確率変数 $X, Y$ は互いに独立で、どちらも区間 $(0, 1)$ 上の一様分布に従う。 $Z = X Y^{2}$ とおく。 $Z$ の中央値、すなわち $P (Z \leq m) = \frac{1}{2}$ を満たす実数 $m$ を求めよ。

この問題で使うもの

この問題を解けるようになるまで（75 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント 1

まず $Z$ の分布関数 $F (z) = P (X Y^{2} \leq z) (0 < z < 1)$ を求め、 $F (m) = \frac{1}{2}$ を解く方針をとる。

ヒント 2

$Y = y$ を固定すると $P (X \leq z / y^{2}) = min (z / y^{2}, 1)$ である。 $z / y^{2} \geq 1$ となるのは $y \leq z$ のときなので、 $y$ の積分区間を $[0, z]$ と $[z, 1]$ に分ける。

ヒント 3

計算すると $F (z) = 2 z - z$ となる。 $s = m$ とおいて $2 s - s^{2} = \frac{1}{2}$ を $0 < s < 1$ の範囲で解く。

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\frac{3}{2} - 2

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解説を読む

$Z = X Y^{2}$ は $0 < Z < 1$ に値をとる。 $0 < z < 1$ に対して、 $Z$ の分布関数 $F (z) = P (X Y^{2} \leq z)$ を求める。

$X, Y$ は独立なので、 $Y = y$ を固定して $X$ について確率を計算し、それを $y$ について積分すればよい。

$F (z) = \int_{0}^{1} P (X \leq \frac{z}{y ^{2}}) d y$

$X$ は $(0, 1)$ 上の一様分布に従うので、 $P (X \leq t) = min (t, 1) (t > 0)$ である。 $\frac{z}{y ^{2}} \geq 1$ となるのは $y \leq z$ のときである。したがって積分区間を分けると

$F (z) = \int_{0}^{z} 1 d y + \int_{z}^{1} \frac{z}{y ^{2}} d y = z + z [- \frac{1}{y}]_{z}^{1} = z + z (\frac{1}{z} - 1) = 2 z - z$

となる。（確認： $F (0) = 0, F (1) = 1$ であり、密度は $F^{'} (z) = \frac{1}{z} - 1 > 0 (0 < z < 1)$ である。）

$F$ は $(0, 1)$ で連続かつ狭義単調増加なので、 $F (m) = \frac{1}{2}$ を満たす $m$ はただ 1 つ決まる。 $s = m (0 < s < 1)$ とおくと

$2 s - s^{2} = \frac{1}{2} ⟺ s^{2} - 2 s + \frac{1}{2} = 0 ⟺ s = 1 \pm \frac{1}{2}$

$0 < s < 1$ より $s = 1 - \frac{1}{2}$ 。よって

$m = s^{2} = (1 - \frac{1}{2})^{2} = 1 - 2 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} - 2$

（数値では $m \approx 0.0858$ 。）

別解

$m \in (0, 1)$ として、 $Y$ で条件付けて計算する。

$P (Z \leq m) = P (X \leq m / Y^{2})$ である。
- $Y \leq m$ のとき $m / Y^{2} \geq 1$ なので、この確率は 1。
- $Y > m$ のとき、この確率は $m / Y^{2}$ 。

よって
$P (Z \leq m) = m + \int_{m}^{1} \frac{m}{y ^{2}} d y = m + m (\frac{1}{m} - 1) = 2 m - m .$

$t = m$ とおくと、 $2 t - t^{2} = \frac{1}{2}$ より $t^{2} - 2 t + \frac{1}{2} = 0$ 。したがって $t = 1 \pm \frac{1}{2}$ 。 $0 < t < 1$ より $t = 1 - \frac{1}{2}$ 。

$m = t^{2} = (1 - \frac{1}{2})^{2} = 1 - 2 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} - 2 \approx 0.0858.$

検算: $t \approx 0.2929$ のとき $2 t - t^{2} \approx 0.5858 - 0.0858 = 0.5$ 。