確率変数と確率分布

確率変数の確率分布の表を作り、確率の和が 1 になることを確かめられる

前提

期待値（数学A 場合の数と確率）

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算数中学高校大学大学院

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樹形図で数え上げる（算数場合の数）
積の法則と和の法則（算数場合の数）
和の法則・積の法則と樹形図（数学A 場合の数と確率）
順列・円順列・重複順列（数学A 場合の数と確率）
組合せ（数学A 場合の数と確率）
確率の定義と和事象・余事象（数学A 場合の数と確率）
期待値（数学A 場合の数と確率）

説明

サイコロの目の和や取り出した赤玉の個数のように、試行の結果によって値が決まる数を「確率変数」といいます。この技能では、確率変数がとりうる値をすべて挙げ、それぞれの値をとる確率を表にまとめます。この表を「確率分布」といいます。表を作ったら確率の和が 1 になることを確かめ、計算の誤りや数え落としを見つけます。期待値の計算や「〜以上になる確率」を求めるときの土台になります。

なぜそうしてよいのか

ある試行の結果ごとに 1 つの数が決まるとき、その数を表す文字 $X$ を確率変数といいます。 $X$ が値 $a$ をとる確率を $P (X = a)$ と書きます。たとえば硬貨を 2 枚投げて表の枚数を $X$ とすると、 $X$ のとりうる値は $0, 1, 2$ です。確率は $P (X = 0) = \frac{1}{4}$ 、 $P (X = 1) = \frac{2}{4}$ 、 $P (X = 2) = \frac{1}{4}$ です。とりうる値とその確率を並べた表が確率分布で、期待値で使った「値と確率の表」と同じ形をしています。

この表で確率の和が必ず 1 になる理由を説明します。 $X$ のとりうる値を $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ とします。「 $X = x_{1}$ 」「 $X = x_{2}$ 」…「 $X = x_{n}$ 」という事象は、どの 2 つも同時には起こりません。1 回の試行で $X$ が 2 つの値を同時にとることはないからです。また、試行の結果は必ずどれか 1 つに入ります。よって、これらの事象は互いに排反で、すべて合わせると全事象になります。互いに排反な事象の和事象の確率は各確率の和になるので
$P (X = x_{1}) + P (X = x_{2}) + \dots + P (X = x_{n}) = 1$
が成り立ちます。

逆にいえば、和が 1 にならなければ、値の書き落としか数え方の誤りがあります。表を作るたびに和を確かめれば、自分の計算を点検できます。

手順

確率変数 $X$ が何を表すかを確認し、 $X$ がとりうる値をすべて小さい順に書き出す（ $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ ）。
全体の場合の数を求める。根元事象が同様に確からしくなる数え方を決め、最後までその数え方を使う。
各値 $x_{k}$ について、 $X = x_{k}$ となる場合の数を数え、 $P (X = x_{k}) = \frac{( X = x _{k} となる場合の数 )}{( 全体の場合の数 )}$ を求める。
値と確率を表にまとめる（上の段に $X$ の値、下の段に確率、右端に「計」）。
確率の和 $P (X = x_{1}) + P (X = x_{2}) + \dots + P (X = x_{n})$ が $1$ になることを確かめる。1 にならなければ手順 1〜3 を見直す。
求めたい確率（例： $P (X ≧ a)$ ）は、表の該当する値の確率を足して求める。

例題

赤玉 3 個と白玉 2 個が入った袋から、同時に 2 個の玉を取り出す。取り出した赤玉の個数を $X$ とする。 $X$ の確率分布を表にまとめ、確率の和が 1 になることを確かめた上で、 $P (X ≧ 1)$ を求めよ。

例題の解答

手順1：取り出す赤玉は 0 個、1 個、2 個のいずれかなので、 $X$ のとりうる値は $0, 1, 2$ である。

手順2：玉をすべて区別して考えると、5 個から 2 個を選ぶ選び方は $_{5} C_{2} = 10$ 通りで、これらは同様に確からしい。

手順3：
・ $X = 0$ （白 2 個）： $_{2} C_{2} = 1$ 通りより、 $P (X = 0) = \frac{1}{10}$
・ $X = 1$ （赤 1 個・白 1 個）： $_{3} C_{1} \times_{2} C_{1} = 3 \times 2 = 6$ 通りより、 $P (X = 1) = \frac{6}{10}$
・ $X = 2$ （赤 2 個）： $_{3} C_{2} = 3$ 通りより、 $P (X = 2) = \frac{3}{10}$

手順4：確率分布の表は次のとおり。
$X P 0 \frac{1}{10} 1 \frac{6}{10} 2 \frac{3}{10} 計 1$

手順5： $\frac{1}{10} + \frac{6}{10} + \frac{3}{10} = \frac{10}{10} = 1$ となり、和は 1 になる。

手順6： $P (X ≧ 1) = P (X = 1) + P (X = 2) = \frac{6}{10} + \frac{3}{10} = \frac{9}{10}$
（余事象を使って $1 - P (X = 0) = 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}$ としても同じ結果になる。）

答え: $\frac{9}{10}$

よくある誤り

「赤玉が 0 個」のように「何も出ない」ことを表す値 $X = 0$ を、とりうる値として数え忘れる誤り。上の例で $X$ を $1, 2$ だけとすると、和は $\frac{6}{10} + \frac{3}{10} = \frac{9}{10} \neq = 1$ になる。正しくは、 $X = 0$ も確率 $\frac{1}{10}$ で起こる値なので表に入れ、とりうる値をすべて書き出す。
分母と分子で数え方がそろっていない誤り。たとえば分母は組合せで $_{5} C_{2} = 10$ としたのに、 $X = 1$ の分子を順番つきで $3 \times 2 \times 2 = 12$ と数えると、確率が $\frac{12}{10}$ になってしまう。正しくは、分母も分子も同じ数え方（どちらも組合せ、またはどちらも順列）にする。
玉の色だけを見て「赤 0 個・1 個・2 個の 3 通り」とし、各確率を $\frac{1}{3}$ としてしまう誤り。この 3 通りは同様に確からしくない。正しくは、玉を区別して数えた $_{5} C_{2} = 10$ 通りをもとに計算する。
表を作っても和を確かめず、誤りに気づかないまま先へ進む誤り。正しくは、必ず $P (X = x_{1}) + P (X = x_{2}) + \dots + P (X = x_{n}) = 1$ となることを確かめる。和が 1 でなければ、値の書き落としか数え間違いがある。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

	$Y = 0$	$Y = 1$	$Y = 2$
$X = 0$	$\frac{1}{10}$	$\frac{1}{5}$	$a$
$X = 1$	$b$	$\frac{3}{10}$	$\frac{3}{20}$

	$Y = 0$	$Y = 1$	$Y = 2$
$X = 0$	$\frac{1}{10}$	$\frac{1}{5}$	$a$
$X = 1$	$b$	$\frac{3}{10}$	$\frac{3}{20}$

	$Y = 0$	$Y = 1$	$Y = 2$
$X = 0$	$\frac{1}{10}$	$\frac{1}{5}$	$a$
$X = 1$	$\frac{3}{20}$	$b$	$\frac{3}{20}$

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

確率変数の期待値・分散と $a X + b$ （数学B 統計的な推測）
エントロピー（大学数学情報理論・符号理論）