統計的な推測の問題

手順1：$X$ のとりうる値を調べる。
赤玉は $3$ 個あり、取り出す玉も $3$ 個なので、$X$ のとりうる値は $0,1,2,3$ である。

手順2：全体の場合の数を求める。
$7$ 個の玉から $3$ 個を取り出す方法は
$${}_7{\mathrm{C}}_3=\frac{7\cdot 6\cdot 5}{3\cdot 2\cdot 1}=35\text{ (通り)}$$
であり、これらは同様に確からしい。

手順3：それぞれの値をとる場合の数を求める。
赤玉 $k$ 個と白玉 $3-k$ 個を選ぶ方法は ${}_3{\mathrm{C}}_k\times {}_4{\mathrm{C}}_{3-k}$ 通りである。
- $X=0$：${}_3{\mathrm{C}}_0\times {}_4{\mathrm{C}}_3=1\times 4=4$
- $X=1$：${}_3{\mathrm{C}}_1\times {}_4{\mathrm{C}}_2=3\times 6=18$
- $X=2$：${}_3{\mathrm{C}}_2\times {}_4{\mathrm{C}}_1=3\times 4=12$
- $X=3$：${}_3{\mathrm{C}}_3\times {}_4{\mathrm{C}}_0=1\times 1=1$

手順4：確率分布の表を作る。
$$\begin{array}{cccccc}X& 0& 1& 2& 3& \text{計}\\ P& \frac{4}{35}& \frac{18}{35}& \frac{12}{35}& \frac{1}{35}& 1\end{array}$$

手順5：確率の和が $1$ になることを確かめる。
$$\frac{4}{35}+\frac{18}{35}+\frac{12}{35}+\frac{1}{35}=\frac{35}{35}=1$$
となり、表が正しく作れていることが確かめられる。

手順6：求める確率を計算する。
$X\geqq 2$ となるのは $X=2$ または $X=3$ のときで、これらは同時には起こらないので
$$P(X\geqq 2)=P(X=2)+P(X=3)=\frac{12}{35}+\frac{1}{35}=\frac{13}{35}$$

7個から3個を同時に取り出す総数は ${}_7{\mathrm{C}}_3=35$ 通り。
$X=k$ となるのは、赤玉 $k$ 個と白玉 $3-k$ 個を選ぶ場合で、$P(X=k)=\frac{{}_3{\mathrm{C}}_k\cdot {}_4{\mathrm{C}}_{3-k}}{35}$。
$P(X=0)=\frac{1\cdot 4}{35}=\frac{4}{35}$
$P(X=1)=\frac{3\cdot 6}{35}=\frac{18}{35}$
$P(X=2)=\frac{3\cdot 4}{35}=\frac{12}{35}$
$P(X=3)=\frac{1\cdot 1}{35}=\frac{1}{35}$
合計は $(4+18+12+1)/35=1$ で確認できる。
よって $P(X\geqq 2)=P(X=2)+P(X=3)=\frac{12}{35}+\frac{1}{35}=\frac{13}{35}$。
検算：$1-P(X=0)-P(X=1)=1-\frac{22}{35}=\frac{13}{35}$。