統計的な推測の問題

手順1：$X$ のとりうる値を調べる。

白玉は $2$ 個しかないので、$3$ 個取り出すと赤玉は少なくとも $1$ 個含まれます。また赤玉は $3$ 個なので、$X$ のとりうる値は $X=1,2,3$ です。

手順2：それぞれの値をとる確率を求める。

$5$ 個から $3$ 個を取り出す方法は全部で
$${}_5{\mathrm{C}}_3=10\text{ 通り}$$
あり、これらは同様に確からしいです。

• $X=1$（赤 $1$ 個、白 $2$ 個）：${}_3{\mathrm{C}}_1\times {}_2{\mathrm{C}}_2=3\times 1=3$ 通り。よって $P(X=1)=\frac{3}{10}$
• $X=2$（赤 $2$ 個、白 $1$ 個）：${}_3{\mathrm{C}}_2\times {}_2{\mathrm{C}}_1=3\times 2=6$ 通り。よって $P(X=2)=\frac{6}{10}$
• $X=3$（赤 $3$ 個）：${}_3{\mathrm{C}}_3=1$ 通り。よって $P(X=3)=\frac{1}{10}$

手順3：確率分布の表にまとめ、確率の和が $1$ になることを確かめる。

$$\begin{array}{ccccc}X& 1& 2& 3& \text{計}\\ P& \frac{3}{10}& \frac{6}{10}& \frac{1}{10}& 1\end{array}$$

$\frac{3}{10}+\frac{6}{10}+\frac{1}{10}=\frac{10}{10}=1$ となり、確かに和は $1$ です。

手順4：表から求める確率を読み取る。

$X\geqq 2$ となるのは $X=2$ または $X=3$ のときなので、
$$P(X\geqq 2)=P(X=2)+P(X=3)=\frac{6}{10}+\frac{1}{10}=\frac{7}{10}$$

5個から3個を同時に取り出す方法は ${}_5{\mathrm{C}}_3=10$ 通り。赤玉の個数 $X$ は 1, 2, 3 の値をとる（白玉は2個しかないので $X=0$ は起こらない）。

$P(X=1)=\frac{{}_3{\mathrm{C}}_1\cdot {}_2{\mathrm{C}}_2}{10}=\frac{3}{10}$
$P(X=2)=\frac{{}_3{\mathrm{C}}_2\cdot {}_2{\mathrm{C}}_1}{10}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$
$P(X=3)=\frac{{}_3{\mathrm{C}}_3}{10}=\frac{1}{10}$

確率の和は $3/10+6/10+1/10=1$ で正しい。

よって $P(X\geqq 2)=P(X=2)+P(X=3)=\frac{6}{10}+\frac{1}{10}=\frac{7}{10}$。

検算：余事象 $P(X=1)=3/10$ より $1-3/10=7/10$。一致する。