期待値

2 枚の硬貨を同時に 1 回投げるゲームがある。参加するには参加料 $100$ 円を払い、次の規則で賞金を受け取る。

• 2 枚とも表が出たら、賞金 $300$ 円
• 1 枚だけ表が出たら、賞金 $100$ 円
• 2 枚とも裏が出たら、賞金なし（$0$ 円）

このゲームに 1 回参加したとき、受け取る賞金から参加料 $100$ 円を引いた金額（損得の額）の期待値は何円か。

参加費 $200$ 円を払って、次のゲームを $1$ 回行う。

硬貨を $3$ 枚同時に投げ、表が出た枚数に応じて賞金を受け取る。表が $3$ 枚なら $800$ 円、表が $2$ 枚なら $200$ 円を受け取り、表が $1$ 枚以下なら賞金はない。

受け取る賞金から参加費 $200$ 円を引いた金額（損得の金額。損をしたときは負の値とする）の期待値を求めよ。答えは円単位の数値で答えよ。

1 個のさいころを投げ、出た目を $Y$ とする。次に、$1$ から $Y$ までの整数が 1 つずつ書かれた $Y$ 枚のカードから 1 枚を無作為に取り出し、そのカードに書かれた数を $X$ とする。$X$ の期待値 $E(X)$ を求めよ。

1 個のさいころを投げ、出た目を $Y$ とする。続いて、$1$ から $Y$ までの $Y$ 個の整数の中から 1 つを等しい確率で選び、選んだ整数を $X$ とする。たとえば $Y=3$ のときは、$1,2,3$ のどれかがそれぞれ確率 $\frac{1}{3}$ で選ばれる。このとき、$X$ の期待値 $E(X)$ を求めよ。

1 個のさいころを次の規則で投げ、得点を決める。

• さいころを投げて 5 以上の目が出たら、その時点で投げるのをやめ、そのとき出た目の数を得点とする。
• 4 以下の目が出たら、もう一度投げる。ただし、投げるのは最大 3 回までとする。
• 3 回投げて 3 回とも 4 以下の目が出た場合は、得点を $0$ とする。

このとき、得点の期待値を求めよ。

袋の中に $1,2,3,4,5$ の数字が 1 つずつ書かれた 5 枚のカードが入っている。この袋から 2 枚のカードを同時に取り出し、次のように得点を定める。

• 取り出した 2 枚のカードに書かれた数の積が偶数のときは、その積を得点とする。
• 積が奇数のときは、得点を $0$ とする。

このとき、得点の期待値を求めよ。

袋の中に、$1,2,3,4,5,6$ の数字が 1 つずつ書かれた 6 個の玉が入っている。この袋から玉を 2 個同時に取り出し、取り出した 2 個の玉に書かれた数のうち、大きい方から小さい方を引いた値を $X$ とする。$X$ の期待値を求めよ。

$1$ から $6$ までの目が等しい確率で出るさいころを $2$ 回投げ、出た目を順に $D_1,D_2$ とする。$X=\min (D_1,D_2)$, $Y=\max (D_1,D_2)$ とおくとき、共分散 $\mathrm{Cov}(X,Y)$ を求めよ。

相異なる $9$ 個の実数を格納した配列 $A[1],A[2],\dots ,A[9]$ がある。$A$ の要素のうち、小さい方から数えた順位が $3$ 以上 $7$ 以下であるものを「良い要素」とよぶ。良い要素を $1$ つ見つけるために、次の乱択アルゴリズムを使う。

• $1$ 以上 $9$ 以下の整数 $i$ を等確率 $\frac{1}{9}$ で選ぶ。
• $A[i]$ を、それ以外の $8$ 個の要素 $A[j](j\ne i)$ のそれぞれと $1$ 回ずつ比較して、$A[i]$ より小さい要素の個数を数え、$A[i]$ の順位を求める。
• $A[i]$ が良い要素であればアルゴリズムを終了し、そうでなければ最初に戻って $i$ を選び直し、同じことをくり返す。

ここで、各回の $i$ の選び方は互いに独立であり、以前に選んだ位置が再び選ばれることもある。また、各回の比較はその回ごとに改めて $8$ 回行う（以前の比較結果は使わない）。アルゴリズムが終了するまでに行う要素どうしの比較の回数の期待値を求めよ。

番号 $0,1,2,3,4,5$ の $6$ 個のセルからなる、線形探査法（オープンアドレス法）のハッシュ表がある。最初はすべてのセルが空である。この表に、互いに異なる $4$ 個のキーを $1$ 個ずつ順に挿入する（削除は行わない）。

キー $x$ を挿入するときは、ハッシュ値 $h(x)\in \{0,1,\dots ,5\}$ から始めて、セル $h(x),h(x)+1,h(x)+2,\dots$（番号は $6$ を法として考え、セル $5$ の次はセル $0$ とする）の順に調べ、最初に見つかった空のセルにキーを格納する。調べたセルの個数（キーを格納した空のセルも $1$ 個と数える）を、その挿入の探査回数とよぶ。

各キーのハッシュ値は $0,1,\dots ,5$ のどれかに等確率 $\frac{1}{6}$ で定まり、キーどうしのハッシュ値は互いに独立であるとする。$4$ 個のキーの挿入における探査回数の合計の期待値を求めよ。

袋の中に $1,2,3,4,5$ の番号が書かれたカードが 1 枚ずつ、合計 5 枚入っている。次の規則でゲームを行う。

• 袋からカードを 1 枚取り出し、番号を確認する。取り出したカードは袋に戻さない。
• 1 枚目または 2 枚目を取り出した直後には、「やめる」か「続ける」かを選べる。やめた場合は、最後に取り出したカードの番号が得点となり、ゲームは終わる。
• 3 枚目を取り出したときは必ずやめ、その番号が得点となる。

得点の期待値が最大になるように「やめる」か「続ける」かを選ぶとき、得点の期待値を求めよ。ただし、カードの取り出し方は同様に確からしいものとする。

正五角形 $\mathrm{ABCDE}$ があり、頂点は反時計回りにこの順に並んでいる。点 $\mathrm{P}$ ははじめ頂点 $\mathrm{A}$ にある。1 個のさいころを投げ、出た目の数だけ $\mathrm{P}$ を反時計回りに隣の頂点へ 1 つずつ移動させる操作をくり返す。ただし、次の規則で操作を終える。

• 操作の後に $\mathrm{P}$ が頂点 $\mathrm{A}$ に止まっていれば、その時点で終了する（移動の途中で $\mathrm{A}$ を通過しただけでは終了しない）。
• $\mathrm{P}$ が $\mathrm{A}$ に止まらなくても、さいころを $4$ 回投げたら終了する。

さいころを投げる回数の期待値を求めよ。