混合戦略ナッシュ均衡（無差別の原理）

プレイヤー 1 は戦略 $U$ か $D$ を、プレイヤー 2 は戦略 $L$ か $R$ を、互いの選択を知らずに同時に 1 回だけ選ぶ。利得は次の表のとおりである。各欄は（プレイヤー 1 の利得, プレイヤー 2 の利得）を表す。

このゲームには純粋戦略ナッシュ均衡がなく、混合戦略ナッシュ均衡がただ 1 つある。その均衡で、プレイヤー 1 が $U$ を選ぶ確率を $p$、プレイヤー 2 が $L$ を選ぶ確率を $q$ とする。$(p,q)$ をこの順に求めよ。

サッカーのペナルティキックで、キッカー（プレイヤー 1）はシュートを「左（$L$）」か「右（$R$）」に蹴り、ゴールキーパー（プレイヤー 2）は「左（$L$）」か「右（$R$）」に跳ぶ。2 人は互いの選択を知らずに同時に 1 回だけ選ぶ。利得は次の表のとおりで、各欄は（キッカーの利得, キーパーの利得）を表す。

このゲームには純粋戦略ナッシュ均衡がなく、混合戦略ナッシュ均衡がただ 1 つある。その混合戦略ナッシュ均衡で、キッカーが $L$ を選ぶ確率を $p$、キーパーが $L$ を選ぶ確率を $q$ とする。$(p,q)$ をこの順に求めよ。

プレイヤー 1 は戦略 $U$ か $D$ を、プレイヤー 2 は戦略 $L$ か $R$ を、互いの選択を知らずに同時に 1 回だけ選ぶ。利得は次の表のとおりである。各欄の $(a,b)$ は、$a$ がプレイヤー 1 の利得、$b$ がプレイヤー 2 の利得を表す。

このゲームには純粋戦略ナッシュ均衡がなく、混合戦略ナッシュ均衡がただ 1 つ存在する。その均衡で、プレイヤー 1 が $U$ を選ぶ確率を $p$、プレイヤー 2 が $L$ を選ぶ確率を $q$ とする。$(p,q)$ をこの順に組で求めよ。

2 人の友人 A, B が、週末に出かける場所を相談せずに同時に選ぶ。A は「美術館」か「スタジアム」のどちらかを、B も「美術館」か「スタジアム」のどちらかを選ぶ。2 人とも同じ場所を選べば会えるが、違う場所を選ぶと会えない。利得は次のとおりで、各組は（A の利得, B の利得）の順に書く。

• 2 人とも美術館: $(3,1)$
• 2 人ともスタジアム: $(1,4)$
• A が美術館、B がスタジアム: $(0,0)$
• A がスタジアム、B が美術館: $(0,0)$

このゲームには、2 人とも両方の場所を正の確率で選ぶ混合戦略のナッシュ均衡がただ 1 つある。この均衡における A の期待利得と B の期待利得を、この順に組で求めよ。

$a,b,c,d$ を正の実数とする。プレイヤー 1 は戦略 $U,D$ のどちらかを、プレイヤー 2 は戦略 $L,R$ のどちらかを同時に選ぶ 2 人ゲームを考える。各戦略の組での利得（プレイヤー 1 の利得, プレイヤー 2 の利得）は次のとおりである。
$$(U,L):(a,0),(U,R):(0,c),(D,L):(0,d),(D,R):(b,0)$$
プレイヤー 1 が確率 $p$ で $U$、確率 $1-p$ で $D$ を選び、プレイヤー 2 が確率 $q$ で $L$、確率 $1-q$ で $R$ を選ぶ混合戦略の組を $(p,q)\in [0,1{]}^2$ で表し、2 人は独立に戦略を選ぶとする。$(p,q)$ が混合戦略のナッシュ均衡であるとは、$p$ が $q$ に対してプレイヤー 1 の期待利得を最大にし（$[0,1]$ の中で）、かつ $q$ が $p$ に対してプレイヤー 2 の期待利得を最大にすることをいう。

このゲームの混合戦略のナッシュ均衡はただ 1 つであり、その均衡におけるプレイヤー 1 の期待利得は $\frac{ab}{a+b}$ であることを証明せよ。

ある職場で、従業員（プレイヤー 1）は「働く（$W$）」か「怠ける（$S$）」かを、管理者（プレイヤー 2）は「検査する（$I$）」か「検査しない（$N$）」かを、互いの選択を知らずに同時に 1 回だけ選ぶ。利得は次の表のとおりである。各欄の左が従業員の利得、右が管理者の利得である。

$$\begin{array}{ccc}& I& N\\ W& (6,-1)& (6,2)\\ S& (0,-3)& (10,-10)\end{array}$$

このゲームのナッシュ均衡（混合戦略まで含める）はただ 1 つ存在する。この均衡における従業員の期待利得と管理者の期待利得を、この順に組で求めよ。