ゲーム理論の問題
ある職場で、従業員（プレイヤー 1）は「働く（）」か「怠ける（）」かを、管理者（プレイヤー 2）は「検査する（）」か「検査しない（）」かを、互いの選択を知らずに同時に 1 回だけ選ぶ。利得は次の表のとおりである。各欄の左が従業員の利得、右が管理者の利得である。
このゲームのナッシュ均衡（混合戦略まで含める）はただ 1 つ存在する。この均衡における従業員の期待利得と管理者の期待利得を、この順に組で求めよ。
この問題で使うもの
- 混合戦略ナッシュ均衡（無差別の原理）（説明と入口の問題）
- 最適反応と純粋戦略ナッシュ均衡（説明と入口の問題）
この問題を解けるようになるまで（9 技能）
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右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。
ヒント
行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。
ヒント 1
まず純粋戦略の組 4 つについて、どちらかが戦略を変えて得をするかを調べよう。均衡でなければ、両者が戦略を確率的に混ぜる均衡を考える。
ヒント 2
混合戦略の均衡では、相手の混合のもとで自分の 2 つの戦略の期待利得が等しくなる（無差別の原理）。従業員が を選ぶ確率を とおき、管理者の と の期待利得を等しくする。管理者が を選ぶ確率 についても同様にする。
ヒント 3
管理者の期待利得は のとき 、 のとき となり、これから が得られる。従業員の期待利得は のとき常に 、 のとき である。
答えと解説
答えを見る
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解説を読む
純粋戦略の均衡はない。 各組について調べる。
- ：管理者は に変えると で得をする。
- ：従業員は に変えると で得をする。
- ：管理者は に変えると で得をする。
- ：従業員は に変えると で得をする。
よって純粋戦略ナッシュ均衡はない。また、一方が純粋戦略をとると相手の最適反応はただ 1 つの純粋戦略になる（例：従業員が なら管理者は ）。するとそれに対する最適反応がもとの純粋戦略と一致しないので、均衡にならない。したがって均衡では両者とも 2 つの戦略を正の確率で混ぜる。このとき各プレイヤーにとって 2 つの純粋戦略の期待利得は等しくなければならない。
管理者を無差別にする条件。 従業員が を確率 、 を確率 で選ぶとする。管理者の期待利得は
これらが等しいので となり、 である。
従業員を無差別にする条件。 管理者が を確率 、 を確率 で選ぶとする。従業員の期待利得は
これらが等しいので となり、 である。
期待利得。 均衡では各プレイヤーの期待利得は、用いている純粋戦略の期待利得に等しい。
- 従業員： の期待利得をとって 。
- 管理者： の期待利得 に を代入して 。（確認： の期待利得も となる。）
よって答えは である。
別解
純粋戦略の組 はいずれも、どちらかのプレイヤーが戦略を変えると得をするので、ナッシュ均衡ではない。よって混合戦略均衡を求める。
従業員が を確率 、管理者が を確率 で選ぶとする。
管理者の無差別条件:
- の期待利得は
- の期待利得は
- 両者を等しいとおくと より
- 管理者の期待利得は
従業員の無差別条件:
- の期待利得は
- の期待利得は
- 両者を等しいとおくと より
- 従業員の期待利得は
検算: に対する管理者の期待利得は で、 の場合と一致する。 に対する従業員の期待利得は で、 の場合と一致する。
均衡は 、。期待利得は従業員 、管理者 である。