ゲーム理論の問題

手順 1：プレイヤー 2 の強く支配される戦略を消去する。

プレイヤー 2 の利得を $b_1$ と $b_3$ で比べる。
- $a_1$ のとき：$b_1$ は $1$、$b_3$ は $0$
- $a_2$ のとき：$b_1$ は $4$、$b_3$ は $2$
- $a_3$ のとき：$b_1$ は $3$、$b_3$ は $1$

どの場合も $b_1$ の方が大きいので、$b_3$ は $b_1$ に強く支配される。強く支配される戦略はどのナッシュ均衡でも使われないので、$b_3$ を消去する。

手順 2：残った表でプレイヤー 1 の強く支配される戦略を消去する。

$b_3$ を消去すると、プレイヤー 1 の利得は
$$a_1:(3,0),a_2:(1,2),a_3:(1,0)$$
（列 $b_1,b_2$ の順）となる。$a_3$ は $a_1$ とも $a_2$ とも一方の列で等しくなるので、純粋戦略には強く支配されない。そこで、$a_1$ と $a_2$ を確率 $\frac{1}{2}$ ずつで混ぜた混合戦略を考えると、期待利得は
$$b_1:\frac{1}{2}\cdot 3+\frac{1}{2}\cdot 1=2,b_2:\frac{1}{2}\cdot 0+\frac{1}{2}\cdot 2=1$$
となる。$2>1$, $1>0$ なので、$a_3$ はこの混合戦略に強く支配される。よって $a_3$ を消去する。（もとの表では $b_3$ の列で $a_3$ の利得 $4$ が最大なので、$b_3$ を先に消去したことで初めて $a_3$ を消去できた。）

残るのは次の $2\times 2$ のゲームである。
$$\begin{array}{ccc}& b_1& b_2\\ a_1& (3,1)& (0,2)\\ a_2& (1,4)& (2,0)\end{array}$$

手順 3：支持の場合分け。

(i) 両者とも純粋戦略（支持が 1 つずつ）の場合：$b_1$ に対する最適反応は $a_1$、$a_1$ に対するプレイヤー 2 の最適反応は $b_2$、$b_2$ に対する最適反応は $a_2$、$a_2$ に対する最適反応は $b_1$ となり、互いに最適反応になる組はない。また、一方だけが純粋戦略で他方が 2 つを混ぜる場合も、純粋戦略側に対する相手の最適反応はただ 1 つなので相手が混ぜる理由がなく、均衡にならない。

(ii) 支持が $\{a_1,a_2\}$ と $\{b_1,b_2\}$ の場合：プレイヤー 1 が $a_1$ を確率 $p$、プレイヤー 2 が $b_1$ を確率 $q$ で選ぶとする。

プレイヤー 1 が $a_1$ と $a_2$ で無差別になる条件：
$$3q+0\cdot (1-q)=1\cdot q+2(1-q)⟹3q=2-q⟹q=\frac{1}{2}$$

プレイヤー 2 が $b_1$ と $b_2$ で無差別になる条件：
$$1\cdot p+4(1-p)=2p+0\cdot (1-p)⟹4-3p=2p⟹p=\frac{4}{5}$$

手順 4：消去した戦略へ逸脱しないことの確認と期待利得。

プレイヤー 1 の期待利得：$a_1$ は $3\cdot \frac{1}{2}=\frac{3}{2}$、$a_2$ は $\frac{1}{2}+2\cdot \frac{1}{2}=\frac{3}{2}$。消去した $a_3$ は $1\cdot \frac{1}{2}+0=\frac{1}{2}<\frac{3}{2}$ なので逸脱しない。

プレイヤー 2 の期待利得：$b_1$ は $\frac{4}{5}+4\cdot \frac{1}{5}=\frac{8}{5}$、$b_2$ は $2\cdot \frac{4}{5}=\frac{8}{5}$。消去した $b_3$ は $0\cdot \frac{4}{5}+2\cdot \frac{1}{5}=\frac{2}{5}<\frac{8}{5}$ なので逸脱しない。

よって均衡は、プレイヤー 1 が $(a_1,a_2,a_3)=\left(\frac{4}{5},\frac{1}{5},0\right)$、プレイヤー 2 が $(b_1,b_2,b_3)=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0\right)$ で、期待利得は
$$\left(\frac{3}{2},\frac{8}{5}\right)$$

【強支配の消去】
プレイヤー 2 の $b_1$ と $b_3$ の利得は、$a_1,a_2,a_3$ の順に $b_1:(1,4,3)$、$b_3:(0,2,1)$ である。どの行でも $b_1$ のほうが大きいので、$b_3$ は $b_1$ に強支配される。そこで $b_3$ を消去する。

残った表でプレイヤー 1 の利得は $a_1:(3,0)$、$a_2:(1,2)$、$a_3:(1,0)$ である。$a_1$ と $a_2$ を 1/2 ずつ混ぜた戦略の利得は $(2,1)$ で、これは $a_3$ の $(1,0)$ をどの列でも上回る。よって $a_3$ は混合戦略に強支配されるので消去する。

【残ったゲーム】
$a_1,a_2$ と $b_1,b_2$ の 2×2 ゲームになる。
$a_1:(3,1),(0,2)$
$a_2:(1,4),(2,0)$

純粋戦略のナッシュ均衡はない。確認すると、$(a_1,b_1)$ では 2 が $b_2$ に変えて 2>1 となり、$(a_1,b_2)$ では 1 が $a_2$ に変えて 2>0 となる。$(a_2,b_2)$ では 2 が $b_1$ に変えて 4>0 となり、$(a_2,b_1)$ では 1 が $a_1$ に変えて 3>1 となる。したがって混合戦略の均衡を求める。

プレイヤー 1 が $a_1$ を確率 $p$ で選ぶとする。プレイヤー 2 が $b_1,b_2$ に無差別になる条件は
$p+4(1-p)=2p$
で、$4-3p=2p$ より $p=4/5$。このときプレイヤー 2 の期待利得は $2p=8/5$。

プレイヤー 2 が $b_1$ を確率 $q$ で選ぶとする。プレイヤー 1 が $a_1,a_2$ に無差別になる条件は
$3q=q+2(1-q)$
で、$q=1/2$。このときプレイヤー 1 の期待利得は $3q=3/2$。

【元のゲームでの確認】
$q=1/2$ のとき、プレイヤー 1 が $a_3$ を選ぶと利得は $1/2<3/2$ で、得にならない。
$p=4/5$ のとき、プレイヤー 2 が $b_3$ を選ぶと利得は $0.8\cdot 0+0.2\cdot 2=0.4<8/5$ で、得にならない。
よって元のゲームでも均衡である。

均衡は プレイヤー 1 が $(a_1,a_2,a_3)=(4/5,1/5,0)$、プレイヤー 2 が $(b_1,b_2,b_3)=(1/2,1/2,0)$ で、期待利得は $(3/2,8/5)$。