ゲーム理論の問題

難易度 1教科書の例題レベル大学数学ゲーム理論

プレイヤー $1$ は戦略 $U, M, D$ のどれか $1$ つを、プレイヤー $2$ は戦略 $L, C, R$ のどれか $1$ つを、互いの選択を知らずに同時に $1$ 回だけ選ぶ。利得は次の表のとおりである。各欄の $(a, b)$ は、 $a$ がプレイヤー $1$ の利得、 $b$ がプレイヤー $2$ の利得を表す。
$U M D L (3, 2) (1, 0) (2, 3) C (0, 1) (2, 4) (1, 0) R (1, 3) (0, 1) (2, 4)$
各プレイヤーは自分の利得を最大にしようとする。このゲームの純粋戦略ナッシュ均衡の個数を求めよ。

この問題で使うもの

最適反応と純粋戦略ナッシュ均衡（説明と入口の問題）

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

「最適反応と純粋戦略ナッシュ均衡」の技能を使います。相手の各戦略に対する各プレイヤーの最適反応に印をつけましょう。

ヒント 2

プレイヤー $1$ の最適反応は列ごとに第 $1$ 成分を、プレイヤー $2$ の最適反応は行ごとに第 $2$ 成分を比べて決めます。両方の印がついた欄がナッシュ均衡です。

ヒント 3

プレイヤー $1$ の最適反応は $L \to U, C \to M, R \to D$ 、プレイヤー $2$ の最適反応は $U \to R, M \to C, D \to R$ です。共通する欄を数えましょう。

答えと解説

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2

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解説を読む

純粋戦略ナッシュ均衡とは、どちらのプレイヤーも相手の戦略に対して最適反応を選んでいる戦略の組のことである。そこで、両者の最適反応に印をつけていく。

手順 1：プレイヤー $1$ の最適反応（列ごとに第 $1$ 成分を比べる）
- 相手が $L$ のとき： $U$ なら $3$ 、 $M$ なら $1$ 、 $D$ なら $2$ なので最適反応は $U$ 。
- 相手が $C$ のとき： $0, 2, 1$ なので最適反応は $M$ 。
- 相手が $R$ のとき： $1, 0, 2$ なので最適反応は $D$ 。

手順 2：プレイヤー $2$ の最適反応（行ごとに第 $2$ 成分を比べる）
- 相手が $U$ のとき： $L$ なら $2$ 、 $C$ なら $1$ 、 $R$ なら $3$ なので最適反応は $R$ 。
- 相手が $M$ のとき： $0, 4, 1$ なので最適反応は $C$ 。
- 相手が $D$ のとき： $3, 0, 4$ なので最適反応は $R$ 。

手順 3：両方の印がついた欄を探す
プレイヤー $1$ の印がついた欄は $(U, L), (M, C), (D, R)$ 、プレイヤー $2$ の印がついた欄は $(U, R), (M, C), (D, R)$ である。両方に共通する欄は $(M, C)$ と $(D, R)$ である。

確認すると、 $(M, C)$ では利得 $(2, 4)$ で、プレイヤー $1$ が $U, D$ に変えると $0, 1$ に、プレイヤー $2$ が $L, R$ に変えると $0, 1$ に下がる。 $(D, R)$ では利得 $(2, 4)$ で、プレイヤー $1$ が $U, M$ に変えると $1, 0$ に、プレイヤー $2$ が $L, C$ に変えると $3, 0$ に下がる。どちらも自分だけ戦略を変えて得をすることはない。

したがって、純粋戦略ナッシュ均衡は $(M, C), (D, R)$ の $2$ 個である。

別解

各プレイヤーの最適反応を調べる。

プレイヤー1の最適反応(列ごとに自分の利得を比べる):
- $L$ に対して: $U, M, D$ の利得は $3, 1, 2$ なので $U$
- $C$ に対して: 利得は $0, 2, 1$ なので $M$
- $R$ に対して: 利得は $1, 0, 2$ なので $D$

プレイヤー2の最適反応(行ごとに自分の利得を比べる):
- $U$ に対して: $L, C, R$ の利得は $2, 1, 3$ なので $R$
- $M$ に対して: 利得は $0, 4, 1$ なので $C$
- $D$ に対して: 利得は $3, 0, 4$ なので $R$

両者の最適反応が一致する組を探す。
- $(U, L)$ : プレイヤー2の $U$ に対する最適反応は $R$ なので均衡ではない。
- $(M, C)$ : $C$ に対する最適反応は $M$ 、 $M$ に対する最適反応は $C$ なので均衡である。
- $(D, R)$ : $R$ に対する最適反応は $D$ 、 $D$ に対する最適反応は $R$ なので均衡である。

よって純粋戦略ナッシュ均衡は $(M, C)$ と $(D, R)$ の $2$ 個である。

検算: $(M, C)$ では、プレイヤー1が $U$ や $D$ に変えると利得は $2$ から $0$ や $1$ に下がる。プレイヤー2が $L$ や $R$ に変えると利得は $4$ から $0$ や $1$ に下がる。 $(D, R)$ では、プレイヤー1が $U$ や $M$ に変えると利得は $2$ から $1$ や $0$ に下がる。プレイヤー2が $L$ や $C$ に変えると利得は $4$ から $3$ や $0$ に下がる。いずれも逸脱して得をすることはない。

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