最適反応と純粋戦略ナッシュ均衡

プレイヤー $1$ は戦略 $U,M,D$ のどれか $1$ つを、プレイヤー $2$ は戦略 $L,C,R$ のどれか $1$ つを、互いの選択を知らずに同時に $1$ 回だけ選ぶ。利得は次の表のとおりである。各欄の $(a,b)$ は、$a$ がプレイヤー $1$ の利得、$b$ がプレイヤー $2$ の利得を表す。
$$\begin{array}{cccc}& L& C& R\\ U& (3,2)& (0,1)& (1,3)\\ M& (1,0)& (2,4)& (0,1)\\ D& (2,3)& (1,0)& (2,4)\end{array}$$
各プレイヤーは自分の利得を最大にしようとする。このゲームの純粋戦略ナッシュ均衡の個数を求めよ。

プレイヤー $1$ は戦略 $U,M,D$ のうち $1$ つを、プレイヤー $2$ は戦略 $L,C,R$ のうち $1$ つを、互いの選択を知らずに同時に $1$ 回だけ選ぶ。利得は次の表のとおりである。各欄の $(a,b)$ は、$a$ がプレイヤー $1$ の利得、$b$ がプレイヤー $2$ の利得を表す。

$$\begin{array}{cccc}& L& C& R\\ U& (3,2)& (0,1)& (2,3)\\ M& (1,0)& (2,2)& (1,1)\\ D& (2,3)& (1,0)& (0,2)\end{array}$$

各プレイヤーは自分の利得を最大にしようとする。このゲームの純粋戦略ナッシュ均衡の個数を求めよ。

プレイヤー $1$ は戦略 $U,M,D$ のうち 1 つを、プレイヤー $2$ は戦略 $L,C,R$ のうち 1 つを、互いの選択を知らずに同時に 1 回だけ選ぶ。利得は次の表のとおりである。各欄の $(a,b)$ は、$a$ がプレイヤー $1$ の利得、$b$ がプレイヤー $2$ の利得を表す。
$$\begin{array}{cccc}& L& C& R\\ U& (3,2)& (0,1)& (1,0)\\ M& (1,1)& (2,3)& (0,2)\\ D& (2,0)& (1,2)& (3,1)\end{array}$$
各プレイヤーは自分の利得をできるだけ大きくしようとする。このゲームの純粋戦略ナッシュ均衡の個数を求めよ。

2 つの企業 1, 2 が、同じ商品の生産量をそれぞれ同時に 1 回だけ選ぶ。企業 1 の生産量を $x$、企業 2 の生産量を $y$ とし、$x,y$ はどちらも $\{0,1,2,\dots ,10\}$ の中から選ぶ（整数値しか選べない）。各企業の利得は
$$u_1(x,y)=x(10-x-y),u_2(x,y)=y(10-x-y)$$
で与えられる（値が負になることもある）。各企業は自分の利得を最大にしようとする。

この 2 人ゲームの純粋戦略のナッシュ均衡 $(x,y)$ の個数を求めよ。

$4$ 人のプレイヤー $1,2,3,4$ が、共同の設備を作るために、それぞれ同時に「出資する（$C$）」か「出資しない（$D$）」かを 1 回だけ選ぶ。出資したプレイヤーの人数を $k$（$0\le k\le 4$）とする。

• $k\ge 2$ のとき設備が完成し、$4$ 人全員がそれぞれ $3$ の便益を得る。$k\le 1$ のときは設備は完成せず、便益は $0$ である。
• 出資したプレイヤーは、設備が完成するかどうかにかかわらず費用 $2$ を負担する。

各プレイヤーの利得は（便益）$-$（自分が負担した費用）とする。このゲームの純粋戦略ナッシュ均衡（4 人の戦略の組）の個数を求めよ。

$n$ を $2$ 以上の整数、$c$ を $1<c<n$ をみたす実数とする。プレイヤー $1,2,\dots ,n$ の $n$ 人が、それぞれ戦略 $s_i\in \{0,1\}$ を同時に選ぶ（$s_i=1$ は「参加する」、$s_i=0$ は「参加しない」を表す）。戦略の組 $s=(s_1,\dots ,s_n)$ に対し、参加者の人数を $m(s)=s_1+s_2+\cdots +s_n$ とし、プレイヤー $i$ の利得を
$$u_i(s)=\{\begin{array}{ll}m(s)-c& (s_i=1)\\ 0& (s_i=0)\end{array}$$
と定める。ここで、戦略の組 $s$ が純粋戦略のナッシュ均衡であるとは、どのプレイヤー $i$ についても、他のプレイヤーの戦略を固定したまま $s_i$ を別の戦略に変えても $u_i$ が真に増加しないことをいう。

このゲームの純粋戦略のナッシュ均衡は、全員が参加しない組 $(0,0,\dots ,0)$ と全員が参加する組 $(1,1,\dots ,1)$ のちょうど $2$ 個であることを証明せよ。

ある職場で、従業員（プレイヤー 1）は「働く（$W$）」か「怠ける（$S$）」かを、管理者（プレイヤー 2）は「検査する（$I$）」か「検査しない（$N$）」かを、互いの選択を知らずに同時に 1 回だけ選ぶ。利得は次の表のとおりである。各欄の左が従業員の利得、右が管理者の利得である。

$$\begin{array}{ccc}& I& N\\ W& (6,-1)& (6,2)\\ S& (0,-3)& (10,-10)\end{array}$$

このゲームのナッシュ均衡（混合戦略まで含める）はただ 1 つ存在する。この均衡における従業員の期待利得と管理者の期待利得を、この順に組で求めよ。

$2$ 人のプレイヤー $1,2$ が、$10$ 万円の賞金の分け方を次の規則で決める。プレイヤー $1$ は要求額 $x$、プレイヤー $2$ は要求額 $y$（単位は万円）を、互いの選択を知らずに同時に $1$ 回だけ選ぶ。$x,y$ はどちらも $\{0,1,2,\dots ,10\}$ の中から選ぶ。

• $x+y\le 10$ のとき、プレイヤー $1$ は $x$、プレイヤー $2$ は $y$ を受け取る（余りは誰も受け取らない）。
• $x+y>10$ のとき、$2$ 人とも $0$ を受け取る。

各プレイヤーの利得は受け取る金額である。このゲームの純粋戦略ナッシュ均衡 $(x,y)$ の個数を求めよ。

区別のできる $7$ 人のプレイヤー $1,2,\dots ,7$ が、同時に経路 $A,B,C$ のうちちょうど 1 つを選ぶ。経路 $A,B,C$ を選んだ人数をそれぞれ $a,b,c$（$a+b+c=7$）とするとき、各プレイヤーの費用は
- 経路 $A$ を選んだプレイヤー: $a$
- 経路 $B$ を選んだプレイヤー: $2b$
- 経路 $C$ を選んだプレイヤー: $c+3$

であり、各プレイヤーは自分の費用を最小にしたい。

このゲームの純粋戦略ナッシュ均衡（7 人それぞれがどの経路を選ぶかの組）の個数を求めよ。

$10$ 人のプレイヤー $1,2,\dots ,10$ が円形に並んでおり、プレイヤー $i$ の隣人はプレイヤー $i-1$ と $i+1$ である（添字は $10$ を法として考え、プレイヤー $0$ はプレイヤー $10$、プレイヤー $11$ はプレイヤー $1$ を表す）。各プレイヤー $i$ は同時に $1$ 回だけ、行動 $x_i\in \{0,1\}$ を選ぶ。プレイヤー $i$ の利得は、2 人の隣人のうち自分と異なる行動を選んだ人数とする。すなわち
$$u_i(x_1,\dots ,x_{10})=|x_i-x_{i-1}|+|x_i-x_{i+1}|$$
である。この $10$ 人ゲームの純粋戦略のナッシュ均衡（行動の組 $(x_1,\dots ,x_{10})$）の個数を求めよ。

区別のできる $9$ 人のプレイヤー $1,2,\dots ,9$ が、ある共同プロジェクトに「出資する」か「出資しない」かを同時に 1 回だけ選ぶ（クラウドファンディングのような、返金保証のある閾値型の公共財ゲーム）。出資した人数を $k$ とする。

• $k\ge 4$ のときプロジェクトは成立し、全員（出資しなかったプレイヤーも含む）が便益 $10$ を受け取る。このとき出資したプレイヤー $i$ は費用 $c_i$ を支払う。
• $k\le 3$ のときプロジェクトは不成立で、出資金は全額返金される。このとき全員の利得は $0$ である。

すなわちプレイヤー $i$ の利得は、成立したとき出資していれば $10-c_i$、出資していなければ $10$、不成立のときは出資の有無によらず $0$ である。費用は
$$c_1=c_2=c_3=c_4=c_5=3,c_6=c_7=c_8=c_9=12$$
とする。

この $9$ 人の戦略形ゲームにおいて、純粋戦略のナッシュ均衡（$2^9$ 通りの戦略の組のうち、どのプレイヤーも 1 人だけ戦略を変えて利得を真に増やすことができないもの）の個数を求めよ。