ゲーム理論の問題

企業 1 の最適反応. $y$ を固定すると $u_1(x,y)=-x^2+(10-y)x$ は $x$ の上に凸な 2 次関数で、軸は $x=\frac{10-y}{2}$ である。$x$ は整数に限られるので、最適反応は軸に最も近い整数である。2 次関数は軸に関して対称なので、整数 $x$ が最適反応であるための条件は
$$\left|x-\frac{10-y}{2}\right|\le \frac{1}{2}⟺|2x+y-10|\le 1$$
である（$\frac{10-y}{2}$ は $0$ 以上 $5$ 以下なので、最適反応は必ず $\{0,\dots ,10\}$ の中にある）。$10-y$ が奇数のときは軸から $\frac{1}{2}$ 離れた 2 つの整数が同点で最適反応になる。

同様に、企業 2 については $y$ が $x$ への最適反応である条件は $|x+2y-10|\le 1$。

連立して解く. $(x,y)$ がナッシュ均衡 $⟺$ 両者が互いに最適反応 $⟺$
$$a=2x+y-10,b=x+2y-10$$
とおいたとき $a,b\in \{-1,0,1\}$。$2x+y=10+a$、$x+2y=10+b$ を解くと
$$x=\frac{10+2a-b}{3},y=\frac{10+2b-a}{3}.$$
$x$ が整数となるには $2a-b\equiv 2(\mathrm{mod}3)$ が必要で（このとき $y$ も整数になる）、$a,b\in \{-1,0,1\}$ より $2a-b\in \{-3,\dots ,3\}$ なので $2a-b\in \{-1,2\}$。
- $a=-1$: $-2-b\in \{-1,2\}$ より $b=-1$。$(x,y)=(3,3)$
- $a=0$: $-b\in \{-1,2\}$ より $b=1$。$(x,y)=(3,4)$
- $a=1$: $2-b\in \{-1,2\}$ より $b=0$。$(x,y)=(4,3)$

確認.
- $y=3$ のとき $u_1=x(7-x)$ は $x=3,4$ でともに最大値 $12$。$y=4$ のとき $u_1=x(6-x)$ は $x=3$ で最大値 $9$。
- 対称性から、$x=3$ のとき企業 2 の最適反応は $y=3,4$、$x=4$ のとき $y=3$。

よって $(3,3),(3,4),(4,3)$ はいずれもナッシュ均衡であり、$(4,4)$ は（$y=4$ への最適反応が $x=3$ だけなので）均衡ではない。

純粋戦略のナッシュ均衡は $3$ 個である。

企業 1 の最適反応: $y$ を固定し $k=10-y$ とおくと $u_1=x(k-x)$。実数では $x=k/2$ で最大。整数 $x$ では、$k$ が偶数なら $x=k/2$ のみ、$k$ が奇数なら $x=(k\pm 1)/2$ の 2 つが最大（$x(k-x)$ は $k/2$ について対称な放物線）。$0\le x\le 10$ の範囲内に収まっている（$y=10$ のとき $k=0$ で $x=0$）。したがって $x$ が $y$ への最適反応である条件は $|2x+y-10|\le 1$（$k$ が偶数のとき差は偶数なので自動的に 0）。

同様に企業 2 が最適反応である条件は $|x+2y-10|\le 1$。

$a=2x+y-10,b=x+2y-10$ とおくと $a,b\in \{-1,0,1\}$ で、$x=(10+2a-b)/3,y=(10+2b-a)/3$。$x,y$ が整数であるには $10+2a-b\equiv 0(\mathrm{mod}3)$、すなわち $a+b\equiv 1(\mathrm{mod}3)$。
$(a,b)$ の 9 通りのうち $a+b\in \{1,-2\}$ となるのは $(0,1),(1,0),(-1,-1)$ の 3 つ。
- $(0,1)$: $(x,y)=(3,4)$
- $(1,0)$: $(x,y)=(4,3)$
- $(-1,-1)$: $(x,y)=(3,3)$

検算: $(3,3)$ では $u_1(x,3)=x(7-x)$ が $x=3,4$ で最大 12、$x=3$ は最適反応。対称に企業 2 も OK。$(3,4)$ では企業 1 は $y=4$ に対し $x(6-x)$ が $x=3$ で最大、企業 2 は $x=3$ に対し $y(7-y)$ が $y=3,4$ で最大なので $y=4$ も最適反応。$(4,3)$ も対称。他に例えば $(4,4)$ は $x(6-x)$ の最大が $x=3$ なので不成立。よって均衡は 3 個。