ゲーム理論の問題

2 つの企業 $1,2$ が、同じ商品の生産量を同時に 1 回だけ選ぶ。企業 $1$ の生産量を $x$、企業 $2$ の生産量を $y$ とし、$x,y$ はどちらも $0\leqq x\leqq 10$、$0\leqq y\leqq 10$ の範囲の実数から選ぶ。各企業の利得（利潤）は
$$u_1(x,y)=x(14-x-y),u_2(x,y)=y(10-x-y)$$
で与えられ、各企業は自分の利得を最大にしようとする。このゲームの純粋戦略ナッシュ均衡はただ 1 つ存在する。その均衡 $(x,y)$ を求めよ。

2 つの企業 $1,2$ が同じ商品を生産し、生産量を同時に 1 回だけ選ぶ。企業 $1$ の生産量を $x$、企業 $2$ の生産量を $y$ とし、$x,y$ はどちらも $0$ 以上の実数とする。

商品の価格は $p=14-x-y$ で決まる（この式が負になる場合もそのまま用いる）。1 単位あたりの生産費用は、企業 $1$ が $2$、企業 $2$ が $5$ である。各企業の利得は利潤
$$u_1(x,y)=x(14-x-y)-2x,u_2(x,y)=y(14-x-y)-5y$$
とする。

このゲームの純粋戦略ナッシュ均衡 $(x,y)$ を求めよ。

2 つの企業 1, 2 が、同じ商品の生産量をそれぞれ同時に 1 回だけ選ぶ。企業 1 の生産量を $x$、企業 2 の生産量を $y$ とし、$x,y$ はどちらも $\{0,1,2,\dots ,10\}$ の中から選ぶ（整数値しか選べない）。各企業の利得は
$$u_1(x,y)=x(10-x-y),u_2(x,y)=y(10-x-y)$$
で与えられる（値が負になることもある）。各企業は自分の利得を最大にしようとする。

この 2 人ゲームの純粋戦略のナッシュ均衡 $(x,y)$ の個数を求めよ。

$6$ 人のプレイヤー $1,2,\dots ,6$ が円形に並んでいる。プレイヤー $i$ の隣人はプレイヤー $i-1$ と $i+1$ の $2$ 人である（添字は $6$ を法として考え、プレイヤー $0$ はプレイヤー $6$、プレイヤー $7$ はプレイヤー $1$ とする）。各プレイヤー $i$ は同時に行動 $x_i\in \{0,1\}$ を $1$ つ選ぶ。プレイヤー $i$ の利得は、$2$ 人の隣人のうち自分と異なる行動を選んだ人の数（$0,1,2$ のいずれか）とする。

行動の組 $(x_1,x_2,\dots ,x_6)$ のうち、純粋戦略ナッシュ均衡であるものの個数を求めよ。

$6$ 人のプレイヤー $1,2,\dots ,6$ が円形に並んでいる。プレイヤー $i$ の隣人はプレイヤー $i-1$ と $i+1$ である（添字は $6$ を法として考え、プレイヤー $0$ はプレイヤー $6$、プレイヤー $7$ はプレイヤー $1$ とする）。各プレイヤーは行動 $0$ または $1$ のどちらか一方を同時に選ぶ。プレイヤー $i$ の利得は、$2$ 人の隣人のうち自分と異なる行動を選んだ人の人数（$0$, $1$, $2$ のいずれか）とする。

全員の行動の組 $(x_1,x_2,\dots ,x_6)$（各 $x_i\in \{0,1\}$）のうち、純粋戦略ナッシュ均衡になっているものの個数を求めよ。