最適反応関数と数量競争

$u_{1} (x, y) = x (10 - x - y)$ のような利得について、相手の戦略 $y$ ごとの最適反応 $x = B R_{1} (y)$ を求められる（整数戦略なら候補を比べる）。最適反応の交点として純粋戦略ナッシュ均衡を求め、その個数を数えられる

前提

最適反応と純粋戦略ナッシュ均衡（大学数学ゲーム理論）
定義域つきの2次関数の最大・最小（数学I 2次関数）

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算数中学高校大学大学院

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最適反応と純粋戦略ナッシュ均衡（大学数学ゲーム理論）
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定義域つきの2次関数の最大・最小（数学I 2次関数）

説明

数量競争（クールノー競争）では、各企業が生産量 $x, y$ を同時に選びます。価格が総生産量とともに下がるので、利得は $u_{1} (x, y) = x (10 - x - y)$ のように相手の量 $y$ にも左右されます。この技能では、相手の量 $y$ を固定して自分の最適な量 $x = B R_{1} (y)$ （最適反応関数）を求めます。さらに、両者の最適反応が同時に成り立つ点として純粋戦略ナッシュ均衡を求め、その個数を数えます。戦略が整数に限られる場合は、候補の値を比べて最適反応を決めます。

なぜそうしてよいのか

利得表のゲームでは、相手の各戦略に対して自分の利得が最大の欄に印をつけました。戦略が連続な量になっても考え方は同じで、相手の $y$ を1つ固定すると、 $u_{1} (x, y) = - x^{2} + (10 - y) x$ は $x$ の2次関数です。平方完成すると $u_{1} = - (x - \frac{10 - y}{2})^{2} + \frac{( 10 - y ) ^{2}}{4}$ となり、上に凸なので頂点 $x = \frac{10 - y}{2}$ で最大になります。ただし生産量は $x ≧ 0$ です。 $y > 10$ のときは頂点が定義域の外にあり、 $x ≧ 0$ では $u_{1}$ が減少するので、端点 $x = 0$ が最適です。まとめると $B R_{1} (y) = max {\frac{10 - y}{2}, 0}$ となります。これは「印をつける」作業を、すべての $y$ について一度に行ったものにあたります。

ナッシュ均衡は、両者が互いに最適反応になっている組でした。したがって、連立方程式 $x = B R_{1} (y), y = B R_{2} (x)$ を満たす $(x, y)$ がナッシュ均衡です。図でいえば、2本の最適反応曲線の交点にあたります。

戦略が整数 ${0, 1, \dots, 10}$ に限られるときは、頂点に最も近い整数が候補になります。2次関数は頂点について左右対称なので、頂点が整数でなければ両隣の整数を比べればよいのです。頂点が半整数のときは、両隣の整数で利得が等しくなり、最適反応が2つあります。たとえば $u_{1} = x (10 - x - y), u_{2} = y (10 - x - y)$ を整数戦略で考えると、 $B R (3) = {3, 4}$ 、 $B R (4) = {3}$ です。互いに最適反応になる組は $(3, 3), (3, 4), (4, 3)$ の3個で、均衡が複数できます。

手順

相手の戦略 $y$ を定数とみなし、 $u_{1}$ を $x$ の2次関数として平方完成して、頂点の $x$ 座標（例： $\frac{10 - y}{2}$ ）を求める。
頂点が定義域（例： $x ≧ 0$ ）に入るかどうかで場合分けし、最適反応 $B R_{1} (y)$ を区分的に書く（例： $B R_{1} (y) = max {\frac{10 - y}{2}, 0}$ ）。整数戦略なら、頂点に最も近い整数（半整数なら両隣の2つ）を比べ、利得が最大のものをすべて最適反応とする。
同じ方法で、プレイヤー2の最適反応 $B R_{2} (x)$ を求める。
区分の組合せごとに連立方程式 $x = B R_{1} (y), y = B R_{2} (x)$ を解き、解がその区分の条件を満たすか確かめる。整数戦略なら、互いに最適反応の集合に入っている組をすべて挙げる。
条件を満たした組がナッシュ均衡である。その組と個数を答える。

例題

企業1・企業2がそれぞれ生産量 $x ≧ 0, y ≧ 0$ を同時に選ぶ。利得が $u_{1} (x, y) = x (12 - x - y)$ 、 $u_{2} (x, y) = y (12 - x - y) - 3 y$ で与えられるとき、純粋戦略ナッシュ均衡 $(x, y)$ を求めよ。

例題の解答

手順1: $y$ を固定すると $u_{1} = - x^{2} + (12 - y) x = - (x - \frac{12 - y}{2})^{2} + \frac{( 12 - y ) ^{2}}{4}$ となり、頂点は $x = \frac{12 - y}{2}$ である。

手順2: 定義域は $x ≧ 0$ である。 $0 ≦ y ≦ 12$ なら頂点が定義域に入るので $B R_{1} (y) = \frac{12 - y}{2}$ である。 $y > 12$ なら頂点が負になり、 $x ≧ 0$ で $u_{1}$ は減少するので $B R_{1} (y) = 0$ である。

手順3: $x$ を固定すると $u_{2} = - y^{2} + (9 - x) y = - (y - \frac{9 - x}{2})^{2} + \frac{( 9 - x ) ^{2}}{4}$ となる。よって $0 ≦ x ≦ 9$ なら $B R_{2} (x) = \frac{9 - x}{2}$ 、 $x > 9$ なら $B R_{2} (x) = 0$ である。

手順4: (i) $0 ≦ x ≦ 9$ かつ $0 ≦ y ≦ 12$ の場合、 $2 x + y = 12, x + 2 y = 9$ を解いて $x = 5, y = 2$ を得る。これは区分の条件を満たす。(ii) $x > 9$ の場合、 $y = 0$ となるが、 $B R_{1} (0) = 6$ なので $x = 6$ となり $x > 9$ に反する。(iii) $y > 12$ の場合、 $x = 0$ となるが、 $B R_{2} (0) = \frac{9}{2}$ なので $y > 12$ に反する。

手順5: ナッシュ均衡は $(x, y) = (5, 2)$ の1つだけである。確認すると、 $B R_{1} (2) = 5$ 、 $B R_{2} (5) = 2$ で、互いに最適反応になっている。

答え: $(5, 2)$

よくある誤り

定義域を忘れ、すべての $y$ で $B R_{1} (y) = \frac{10 - y}{2}$ としてしまう誤り。これでは $y > 10$ のとき生産量が負になる。正しくは $B R_{1} (y) = max {\frac{10 - y}{2}, 0}$ で、 $y > 10$ なら $0$ である。
最適化の前に $y = x$ を代入し、 $x (10 - 2 x)$ を最大化して $x = \frac{5}{2}$ としてしまう誤り。相手の量は固定してから自分の量を最適化する。正しくは、まず $B R_{1} (y) = \frac{10 - y}{2}$ を求め、そのあとで対称性 $y = x$ を使って $x = \frac{10 - x}{2}$ を解き、 $x = \frac{10}{3}$ を得る。
整数戦略のとき、連続版の均衡 $x = y = \frac{10}{3}$ を四捨五入して $(3, 3)$ だけを答えてしまう誤り。頂点が半整数なら最適反応は2つあり（例： $B R (3) = {3, 4}$ ）、互いに最適反応になる組をすべて調べると、正しくは $(3, 3), (3, 4), (4, 3)$ の3個である。
$x = B R_{1} (y)$ だけを満たす点を均衡としてしまう誤り。片方だけが最適反応になっている点は均衡ではない。正しくは $x = B R_{1} (y)$ と $y = B R_{2} (x)$ を連立して両方を満たす点を求め、さらにその点が区分の条件に合うかを確かめる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

最適反応関数と数量競争

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