平方完成と 2 次関数のグラフ

2 次関数 $$y=x^2+4x+1$$ のグラフは放物線である。この放物線の頂点の座標を求めよ。

2 次関数 $$y=x^2-6x+4$$ のグラフは放物線である。この放物線の頂点の座標を求めよ。

2 次関数 $$y=2x^2-8x+5$$ のグラフは放物線である。この放物線の頂点の座標を求めよ。

$x$ は実数とする。2 次不等式 $$x^2-2x-15<0$$ を解け。

$x$ を実数とする。2 次不等式 $$x^2-2x-8\leqq 0$$ を解け。

$x$ は実数とする。2 次不等式 $$x^2-2x-8\leqq 0$$ を解け。

実数 $x$ と $t>0$ に対して、関数 $u(x,t)$ に関する熱方程式の初期値問題
$$\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}(x\in \mathbb{R},t>0),u(x,0)=e^{-x^2}(x\in \mathbb{R})$$
を考える。熱核
$$G(x,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi t}}{e}^{-\frac{x^2}{4t}}$$
との畳み込み $u(x,t)={\int }_{-\infty }^{\infty }G(x-y,t)e^{-y^2}dy$ で与えられる解（有界な解）を、$x$ と $t$ の式で求めよ。

区間 $[0,1]$ 上の実数値連続関数全体の空間 $C[0,1]$ に、上限ノルム
$$\Vert f{\Vert }_{\infty }=\underset{0\le x\le 1}{\max }|f(x)|$$
を入れる。正の整数 $n$ に対して $f_n(x)=x^n-x^{2n}$ $(0\le x\le 1)$ と定めるとき、$\Vert f_n{\Vert }_{\infty }$ を求めよ。

放物線 $y=x^2-6x+7$ を $x$ 軸方向に $p$、$y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動したところ、移動後の放物線は 2 点 $(1,2)$、$(3,10)$ を通った。実数 $p,q$ の組 $(p,q)$ を求めよ。

$a$ を実数の定数とする。$0\leqq x\leqq 3$ を満たすすべての実数 $x$ について、不等式
$$x^2-2ax+a+2>0$$
が成り立つような $a$ の値の範囲を求めよ。

$\vec{a}=(3,-1)$, $\vec{b}=(1,2)$ とする。実数 $t$ を動かすとき、$|\vec{a}+t\vec{b}|$ を最小にする $t$ の値と、そのときの $|\vec{a}+t\vec{b}|$ の最小値を、この順に組 $(t,\text{最小値})$ の形で求めよ。

媒介変数 $\theta$ $(0\leqq \theta <2\pi )$ を用いて
$$x=\cos \theta +\sin \theta ,y=\sin \theta \cos \theta$$
と表される曲線を $C$ とする。点 $\mathrm{P}(x,y)$ が $C$ 上を動くとき、$x+2y$ の最大値と最小値をこの順に求めよ。

$0\leqq x\leqq \frac{2}{3}\pi$ のとき、関数
$$y=2{\sin }^{2}x+2\cos x-1$$
の最小値を求めよ。

$a$ を実数の定数とする。$x$ の 2 次関数 $$f(x)=-x^2+4x+1$$ の $a\leqq x\leqq a+1$ における最大値が $4$ となるような $a$ の値をすべて求めよ。

ルベーグ測度に関する複素ヒルベルト空間 $L^2([0,2])$ 上の作用素 $T$ を
$$(Tf)(x)=(x^2-x)f(x)(f\in L^2([0,2]),x\in [0,2])$$
で定める。$T$ のスペクトル $\sigma (T)=\{\lambda \in \mathbb{C}\mid T-\lambda I\text{が有界な逆作用素をもたない}\}$ を求めよ。

区間 $0\leqq x\leqq 1$ で定義された実数値の微分可能な関数 $y(x)$ が、微分方程式
$$(2xy+3x^2)+(x^2+2y)y^{\prime }=0$$
と条件 $y(1)=1$ をみたすとする。$y(0)$ の値を求めよ。

放射性核種 A は半減期 $2T$ で核種 B に崩壊し、B は半減期 $T$ で安定な核種 C に崩壊する（A, B ともに崩壊の経路はこれ 1 つだけとする。$T>0$）。時刻 $t=0$ に A だけが $N_0$ 個あり、B と C は存在しなかった。各核種の個数は十分多く、連続変数として崩壊の微分方程式で扱えるものとする。

$t>0$ において B の個数 $N_B(t)$ が最大になるときの値 $N_B^{\max }$ について、比 $N_B^{\max }/N_0$ を正確な値（分数）で求めよ。

質量 $m$ の粒子が 1 次元のデルタ関数型の引力ポテンシャル
$$V(x)=-\alpha \delta (x)(\alpha >0)$$
の中にある。ハミルトニアンは $H=\frac{p^2}{2m}+V(x)$ である。

基底状態のエネルギーを、正のパラメータ $b$ を含む規格化された試行関数
$${\psi }_b(x)={\left(\frac{2b}{\pi }\right)}^{1/4}{e}^{-b{x}^2}$$
を使った変分法で見積もる。$⟨H⟩=⟨{\psi }_b|H|{\psi }_b⟩$ を $b>0$ について最小にした値を、$m,\alpha ,\hslash$ を用いて表せ。

2 つの企業 1, 2 が、同じ商品の生産量をそれぞれ同時に 1 回だけ選ぶ。企業 1 の生産量を $x$、企業 2 の生産量を $y$ とし、$x,y$ はどちらも $\{0,1,2,\dots ,10\}$ の中から選ぶ（整数値しか選べない）。各企業の利得は
$$u_1(x,y)=x(10-x-y),u_2(x,y)=y(10-x-y)$$
で与えられる（値が負になることもある）。各企業は自分の利得を最大にしようとする。

この 2 人ゲームの純粋戦略のナッシュ均衡 $(x,y)$ の個数を求めよ。

ある湖の魚の個体数（単位: 千匹）を $x(t)$（$t\geqq 0$ は時刻、単位は年）とする。この魚はロジスティック成長をし、さらに個体数に比例する割合で漁獲されるとして、$x(t)$ が微分方程式
$$\frac{dx}{dt}=\frac{4}{5}x\left(1-\frac{x}{500}\right)-Ex$$
に従うとする。ここで $E$ は漁獲の強さを表す定数で、$0<E<\frac{4}{5}$ とする。この方程式の正の平衡点 $x^{\ast }$ は安定であり、個体数が $x^{\ast }$ に落ち着いたときの 1 年あたりの漁獲量は $Y(E)=E{x}^{\ast }$ である。$Y(E)$ を最大にする $E$ の値と、そのときの $Y(E)$ の値を、この順に組 $(E,Y)$ で求めよ。

$t\geqq 0$ で定義された連続関数 $f(t)$ のラプラス変換を
$$F(s)=\mathcal{L}[f](s)={\int }_0^{\infty }{e}^{-st}f(t)dt$$
で定める。$s>-2$ を満たす実数 $s$ に対して
$$F(s)=\frac{2s+5}{s^2+4s+13}$$
となる連続関数 $f(t)$（$t\geqq 0$）を求めよ。

$n$ を $2$ 以上の整数とし、$X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立に正規分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$ に従う確率変数とする（$\mu$ は未知の実数、${\sigma }^2>0$ は未知の母数）。
$$\bar{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i,S=\sum _{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2$$
とおく。このとき $S/{\sigma }^2$ は自由度 $n-1$ のカイ二乗分布に従い、その平均は $n-1$、分散は $2(n-1)$ であることを用いてよい。

正の定数 $c$ に対して、${\sigma }^2$ の推定量 $T_c=cS$ を考える。平均二乗誤差 $\mathrm{MSE}(T_c)=E\left[(T_c-{\sigma }^2{)}^2\right]$ を、すべての $\mu$, ${\sigma }^2$ に対して最小にする $c$ を $n$ の式で求めよ。

$(W_t{)}_{t\ge 0}$ を確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の $W_0=0$ を満たす 1 次元標準ブラウン運動とし、$({\mathcal{F}}_t{)}_{t\ge 0}$ をその自然なフィルトレーションとする。伊藤積分
$$Y={\int }_0^1{e}^{W_t}d{W}_t,X={\int }_0^1{W}_{t}d{W}_t$$
を考える。実数 $a,b$ に対して
$$F(a,b)=E\left[{\left(Y-a{W}_1-bX\right)}^2\right]$$
とおくとき、$F(a,b)$ の最小値（$a,b$ が実数全体を動くときの最小値）を求めよ。

質量 $m$ の粒子が、1 次元の放物線型のポテンシャル障壁
$$V(x)=\{\begin{array}{ll}{V}_0\left(1-\frac{x^2}{a^2}\right)& (|x|<a)\\ 0& (|x|\ge a)\end{array}$$
に、左側からエネルギー $E$（$0<E<V_0$）で入射する。ここで $V_0>0$, $a>0$ は定数である。

WKB 近似によれば、透過率 $T$ は古典的転回点 $x_1<x_2$（$V(x)=E$ となる点）を用いて
$$T\approx \exp \left(-2{\int }_{x_1}^{x_2}\kappa (x)dx\right),\kappa (x)=\frac{\sqrt{2m(V(x)-E)}}{\hslash }$$
と表される（前因子は $1$ とする）。この近似式に従って $T$ を $m,a,V_0,E,\hslash$ を用いて表せ。

4 つの節点 $\mathrm{N}$, $\mathrm{P}$, $\mathrm{M}$, $\mathrm{K}$ をもつ次の交流回路を考える。

• 節点 $\mathrm{N}$ と $\mathrm{P}$ の間に、正弦波交流電源をつなぐ。電源の起電力の実効値は $E=3\mathrm{V}$ で、角周波数 $\omega$ を変えても一定である。電源は内部抵抗 $r=8\Omega$ をもつ（起電力と $r$ が直列につながったものとみなす）。
• 節点 $\mathrm{P}$ と $\mathrm{M}$ の間に、抵抗値 $R=12\Omega$ の抵抗をつなぐ。
• 節点 $\mathrm{M}$ と $\mathrm{K}$ の間に、自己インダクタンス $L=10\mathrm{mH}$ のコイル（巻線抵抗は無視できる）をつなぐ。
• 節点 $\mathrm{K}$ と $\mathrm{N}$ の間に、電気容量 $C=1\mu \mathrm{F}$ のコンデンサーをつなぐ。

回路は定常状態にあり、素子はすべて線形で理想的とし、導線の抵抗は無視する。電源の角周波数 $\omega$（$\omega >0$）を変えていくと、コンデンサーの両端（節点 $\mathrm{K}$, $\mathrm{N}$ の間）の電圧の実効値 $V_C$ が最大になる。$V_C$ が最大になる角周波数 $\omega$（単位 $rad/s$）と、そのときの $V_C$ の値（単位 $\mathrm{V}$）を、この順に組で、根号を含む正確な値で求めよ。

抵抗値 $R$ の抵抗、自己インダクタンス $L$ のコイル、電気容量 $C$ のコンデンサーを直列につなぎ、交流電源の電圧 $V(t)=V_0\cos \omega t$（$V_0>0$, $\omega >0$）を加える（$R>0$, $L>0$, $C>0$）。導線・コイルの抵抗や電源の内部抵抗は無視し、$R^2<\frac{2L}{C}$ が成り立つとする。

コンデンサーの電荷を $q(t)$ とすると、回路の方程式は
$$L\frac{d^{2}q}{d{t}^2}+R\frac{dq}{dt}+\frac{q}{C}=V_0\cos \omega t$$
である。十分に時間がたった定常状態で、コンデンサーの両端の電圧の振幅が最大になるときの角振動数 $\omega$ を、$R$, $L$, $C$ を用いて表せ。

$a$ を実数の定数とする。$x$ の 2 次関数
$$f(x)=x^2-2ax+a+2$$
の $0\leqq x\leqq 2$ における最小値が $-1$ となるような $a$ の値をすべて求めよ。

$a$ を実数の定数とする。$x$ についての 2 次方程式
$$x^2-2ax+3a-2=0$$
が、異なる 2 つの実数解をもち、それらがともに $0<x<3$ の範囲にあるような $a$ の値の範囲を求めよ。

$a$ を実数の定数とし、放物線
$$C:y=x^2-2(a-1)x+2a^2-5a+1$$
を考える。放物線 $C$ を $x$ 軸方向に $2$、$y$ 軸方向に $-1$ だけ平行移動して得られる放物線を $C^{\prime }$ とする。$C^{\prime }$ の頂点が直線 $y=2x-3$ 上にあるような $a$ の値をすべて求めよ。

$a$ を実数の定数とする。関数
$$f(x)=x^2-2ax+a+2$$
の $0\leqq x\leqq 2$ における最小値が $-4$ となるような $a$ の値をすべて求めよ。

$a$ を実数とし、放物線 $C$ を
$$y=x^2-2ax+2a^2-4a+3$$
で定める。$C$ は、放物線 $D:y=x^2-6x+4$ を $x$ 軸方向に $p$、$y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動したものである。$C$ が $x$ 軸と共有点をもつとき、$p+q$ の最大値を求めよ。

$a,b$ を実数の定数とする。実数 $x$ に対して、関数 $f(x)$ を
$$f(x)=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{x^{2n+1}+a{x}^2+bx+3}{x^{2n}+1}$$
で定める。ただし $n$ は正の整数である。$f(x)$ がすべての実数 $x$ で連続となるように $a,b$ の値を定めたとき、区間 $-1\le x\le 1$ における $f(x)$ の最大値を求めよ。

媒介変数 $\theta$ を用いて
$$x=\sin \theta +\cos \theta ,y=\sin \theta \cos \theta (0\leqq \theta <2\pi )$$
と表される曲線を $C$ とする。$k$ を実数の定数とするとき、直線 $y=x+k$ と曲線 $C$ が共有点をもつような $k$ の値の範囲を求めよ。

実数 $x,y$ が次の 2 つの不等式を同時に満たしている。
$$x+y\geqq 2,y\leqq 4-x^2$$
このとき、$x^2+y^2$ の最大値と最小値をこの順に求めよ。

$a$ を正の定数とする。$x$ の 2 次関数 $$f(x)=x^2-6x+10$$ の $a\leqq x\leqq 2a$ における最大値を $M$、最小値を $m$ とする。$M-m=3$ となるような $a$ の値をすべて求めよ。

$p,q$ を実数とする。放物線 $$C:y=x^2-4x+1$$ を $x$ 軸方向に $p$、$y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動して得られる放物線を $C^{\prime }$ とする。$C^{\prime }$ が点 $(1,3)$ を通り、かつ $C^{\prime }$ の頂点の $y$ 座標が $0$ 以上であるとき、$p+q$ の最大値と最小値をこの順に求めよ。

$t$ を実数の定数とし、$x$ の 2 次関数 $$f(x)=x^2-6x+10$$ を考える。$t\leqq x\leqq t+2$ における $f(x)$ の最大値を $M(t)$、最小値を $m(t)$ とする。不等式 $$M(t)<2m(t)$$ が成り立つような $t$ の値の範囲を求めよ。

$a$ を実数の定数とする。$0\leqq x\leqq \frac{7}{6}\pi$ において、関数
$$f(x)=\cos 2x+4a\sin x$$
の最大値が $3$ となるような $a$ の値をすべて求めよ。

$a,b,c$ を実数の定数とし、$a\ne 0$ とする。2 次関数 $y=a{x}^2+bx+c$ のグラフを、$x$ 軸方向に $2$、$y$ 軸方向に $-3$ だけ平行移動し、さらに $x$ 軸に関して対称移動したところ、2 次関数 $$y=-2x^2+4x+1$$ のグラフに一致した。組 $(a,b,c)$ を求めよ。

$a,b$ を実数の定数とする。放物線 $$y=x^2+ax+b$$ を原点に関して対称移動し、さらに $x$ 軸方向に $3$、$y$ 軸方向に $-2$ だけ平行移動したところ、放物線 $$y=-x^2+4x+1$$ に重なった。$a,b$ の値の組 $(a,b)$ を求めよ。

平面上の領域
$$D=\{(x,y)\mid x^2-2xy+2y^2\le 4,y\ge 0\}$$
に対して、重積分
$$I={\iint }_{D}xydxdy$$
の値を求めよ。

座標空間において、回転放物面 $z=x^2+y^2$ と平面 $z=2x+4y$ で囲まれた立体
$$V=\{(x,y,z)\mid x^2+y^2\le z\le 2x+4y\}$$
の体積を求めよ。

複素ヒルベルト空間 ${\ell }^2(\mathbb{Z})$（${\sum }_{n\in \mathbb{Z}}|x_n{|}^2<\infty$ を満たす複素数列 $x=(x_n{)}_{n\in \mathbb{Z}}$ 全体）上の作用素 $T$ を
$$(Tx{)}_n=x_{n-1}+x_{n+1}+\frac{1}{2}\left(x_{n-2}+x_{n+2}\right)(n\in \mathbb{Z})$$
で定める。$T$ のスペクトル $\sigma (T)$ を求めよ。

質量 $m$ の物体がばね定数 $k$ のばねにつながれ、なめらかな水平面上で一直線上を運動する。物体には速度に比例する抵抗力 $-b\dot{x}$ がはたらき、さらに外力 $F_0\cos \omega t$ が加えられている（$x$ はつりあいの位置からの変位、$F_0>0$, $\omega >0$）。抵抗の係数は $b=\frac{1}{2}\sqrt{mk}$ である。

十分時間がたった後の定常振動の振幅を $A(\omega )$ とする。外力の角振動数 $\omega$ を $0<\omega <\infty$ の範囲で変えたときの $A(\omega )$ の最大値を $A_{\max }$ とし、$\omega \to +0$ の極限での振幅を $A_0=\underset{\omega \to +0}{\lim }A(\omega )$ とする。比 $\frac{A_{\max }}{A_0}$ を求めよ。答えは根号を含む正確な値で表せ。

ある商品の市場に、既存企業 $1$ と参入を検討している企業 $2$ がいる。次の展開形ゲームを考える。

1. まず企業 $1$ が生産量 $q_1(q_1\ge 0)$ を選ぶ。
2. 企業 $2$ は $q_1$ を観察したうえで、「参入しない」か「参入する」かを選ぶ。参入する場合は、同時に生産量 $q_2(q_2\ge 0)$ を選ぶ。

市場価格は総生産量 $Q$（企業 $2$ が参入しないときは $Q=q_1$、参入するときは $Q=q_1+q_2$）に対して $P=\max \{12-Q,0\}$ で決まる。どちらの企業も生産費用は $0$ である。企業 $2$ が参入するときは、生産量によらず参入費用 $4$ がかかる。各企業の利得は利潤であり、企業 $1$ の利潤は $P{q}_1$、企業 $2$ の利潤は参入しないとき $0$、参入するとき $P{q}_2-4$ である。また、企業 $2$ は、参入しても参入しなくても利潤が等しくなるときは参入しないものとする。

このゲームの部分ゲーム完全均衡における企業 $1$ の生産量 $q_1$ と企業 $1$ の利潤を、この順に組で求めよ。

$n$ を $2$ 以上の整数とし、実数の組のデータ $(x_1,y_1),\dots ,(x_n,y_n)$ が与えられている。$x_1,\dots ,x_n$ はすべてが等しいわけではなく、$y_1,\dots ,y_n$ もすべてが等しいわけではないとする。

$y$ を $x$ に回帰する直線 $y=a+bx$ の係数を最小二乗法で定める。すなわち $(\hat{a},\hat{b})$ を
$$Q(a,b)=\sum _{i=1}^n(y_i-a-b{x}_i{)}^2$$
を最小にする実数の組とし、${\hat{y}}_i=\hat{a}+\hat{b}{x}_i$ とおく。この回帰の決定係数を
$$R^2=1-\frac{{\sum }_{i=1}^n(y_i-{\hat{y}}_i{)}^2}{{\sum }_{i=1}^n(y_i-\bar{y}{)}^2}\left(\bar{y}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{y}_i\right)$$
で定める。同様に、$x$ を $y$ に回帰する直線 $x=c+dy$ の係数 $(\hat{c},\hat{d})$ を、$\sum _{i=1}^n(x_i-c-d{y}_i{)}^2$ を最小にする実数の組とする。

このとき、$(\hat{a},\hat{b})$, $(\hat{c},\hat{d})$ はそれぞれただ 1 つに定まり、
$$\hat{b}\hat{d}=R^2$$
が成り立つことを証明せよ。

実数 $x,y$ が次の不等式を満たしながら動く。$$x^2\leqq y\leqq 4$$ このとき、$$x^2-6x+y^2$$ の最大値と最小値をこの順に求めよ。

$a,b,c$ は $1$ でない正の実数で、
$${\log }_{a}b={\log }_{b}c={\log }_c\left(a^{6}b\right)$$
が成り立っている。このとき、${\log }_{ab}c$ の値を求めよ。

$p,q$ を実数とし、$f(x)=x^2+px+q$ とする。$x$ についての方程式 $$f(f(x))=0$$ の異なる実数解がちょうど $3$ 個であるとき、その $3$ 個の解の和を $S$ とする。$p,q$ がこの条件を満たしながら動くとき、$S$ の最大値を求めよ。

放物線 $C:y=x^2$ 上に $2$ 点 $\mathrm{P}(t,t^2)$, $\mathrm{Q}(t+2,(t+2{)}^2)$ をとる。実数 $t$ が $-1\le t\le 1$ の範囲を動くとき、線分 $\mathrm{PQ}$ が通過する部分の面積を求めよ。

実数 $a,b$ は、$0\leqq x\leqq 1$ を満たすすべての実数 $x$ に対して $$\left|x^2-ax-b\right|\leqq \frac{1}{4}$$ が成り立つという条件を満たしている。このような $a$ の最大値と最小値をこの順に求めよ。

$△\mathrm{ABC}$ において、辺 $\mathrm{BC}$, $\mathrm{CA}$, $\mathrm{AB}$ をそれぞれ $t:(1-t)$ に内分する点を $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$, $\mathrm{R}$ とする。ただし、$t$ は $0<t<\frac{1}{2}$ を満たす実数とする。3 本の線分 $\mathrm{AP}$, $\mathrm{BQ}$, $\mathrm{CR}$ のうち 2 本ずつの交点を頂点とする三角形の面積が、$△\mathrm{PQR}$ の面積のちょうど $\frac{1}{2}$ であるとき、$t$ の値を求めよ。

実数 $x$ の関数 $$f(x)=2x^4-x^3+5$$ について、4 点 $x=0,1,2,3$ における値 $f(0),f(1),f(2),f(3)$ を通る次数 $3$ 以下の補間多項式を $p(x)$ とする。区間 $0\leqq x\leqq 3$ における補間誤差の最大値 $$\underset{0\leqq x\leqq 3}{\max }\left|f(x)-p(x)\right|$$ を求めよ。

ある検査センターには窓口 $1$（受付）と窓口 $2$（検査）がある。客は外部から到着率 $6$（人/時）のポアソン過程に従って窓口 $1$ に到着する。

• 窓口 $1$ には係員が $1$ 人いる。サービス時間は平均 $6$ 分の指数分布に従う。
• 窓口 $1$ を終えた客は、全員が窓口 $2$ へ進む。窓口 $2$ には検査員が $2$ 人いて、客は $1$ 列に並び、空いた検査員から先着順にサービスを受ける。検査員 $1$ 人あたりのサービス時間は平均 $12$ 分の指数分布に従う。
• 窓口 $2$ を終えた客は、確率 $\frac{1}{4}$ で再検査のために窓口 $1$ に戻って並び直し、確率 $\frac{3}{4}$ でセンターを退出する。この振り分けは、過去の経緯とは独立に毎回行われる。

どちらの窓口も待合室の容量に制限はなく、先着順でサービスする。すべてのサービス時間・到着・振り分けは互いに独立であり、サービス時間は訪問のたびに新たに上の分布に従う。系が定常状態にあるとき、客が外部から到着してから最終的にセンターを退出するまでの平均滞在時間は何分か。

確率変数 $X,Y$ は互いに独立で、どちらも区間 $(0,1)$ 上の一様分布に従う。$Z=X{Y}^2$ とおく。$Z$ の中央値、すなわち $P(Z\le m)=\frac{1}{2}$ を満たす実数 $m$ を求めよ。

最小表示（分解能）が $d=1\mathrm{mV}$ のデジタル電圧計がある。この電圧計は入力電圧 $x$ を、$d$ の整数倍のうち $x$ に最も近い値に丸めて表示する（$x$ がちょうど隣り合う 2 つの整数倍の中点になる場合は確率 $0$ なので考えなくてよい）。電圧計自身の雑音は無視できる。

真の値 $V$ が一定の電圧を測定する。$V$ の値は未知である。このままでは何回測定しても同じ表示しか得られず、平均をとっても分解能より細かい情報は得られない。そこで、$i$ 回目（$i=1,2,\dots ,n$）の測定では、区間 $[-d/2,d/2]$ 上の一様分布に従う電圧 $U_i$ を $V$ に加えた $V+U_i$ を電圧計に入力し、その表示を $y_i$ とする（ディザ法）。$U_1,U_2,\dots ,U_n$ は互いに独立であり、各回の加算そのものの誤差はない。

$n$ 回の表示の平均を $\bar{y}=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{y}_i$ とする。$V$ がどのような値であっても $\bar{y}$ の標準偏差が $0.03\mathrm{mV}$ 以下になることを保証する、最小の正の整数 $n$ を求めよ。

質量 $M$ の同種原子が直線上に間隔 $a$ で無限に並んだ 1 次元結晶を考える。原子は鎖に沿った方向（縦方向）にだけ動くとし、調和近似を用いる。$n$ 番目の原子の平衡位置からの変位を $u_n$ とする。原子間の力は次の 2 種類だけとする。

• 最近接の原子どうし（$n$ と $n\pm 1$）はばね定数 $K_1$ のばねでつながれている。
• 第 2 近接の原子どうし（$n$ と $n\pm 2$）はばね定数 $K_2$ のばねでつながれている。

ここで $K_1>0$ であり、$K_2$ は $K_2>\frac{K_1}{4}$ を満たすとする。波数 $k$ は第 1 ブリルアンゾーン $-\frac{\pi }{a}<k\le \frac{\pi }{a}$ にとる。換算プランク定数を $\hslash$ とする。

この結晶の格子振動を量子化したフォノンのエネルギー $\hslash \omega (k)$ の最大値を、$\hslash ,K_1,K_2,M$ を用いて表せ。

床の上に、全質量 $M$ の機械が、ばね定数 $k$ の軽いばねと、速度に比例する抵抗力を生む軽いダンパー（抵抗係数 $c>0$）で支えられている（$M>0$, $k>0$）。機械は鉛直方向にだけ動ける。機械の中には、回転軸からの距離 $r$ の位置に質量 $m_0$ の不つり合いの部分をもつ回転子がある（$0<m_0<M$, $r>0$）。この $m_0$ は $M$ に含まれる。重力はつり合いの位置をずらすだけなので、機械の変位 $x$ はつり合いの位置から鉛直上向きに測る。

まず回転子を止めた状態で機械を自由に振動させたところ、減衰振動の角振動数は $\sqrt{\frac{3k}{4M}}$ であった。

次に、回転子を一定の角速度 $\omega >0$ で回転させた。不つり合いの部分の、回転軸に対する鉛直方向の位置は $r\sin \omega t$ で表される。十分に時間がたった後の定常状態での機械の振幅を $X(\omega )$ とする。$\omega$ を $0<\omega <\infty$ の範囲で変えたとき、$X(\omega )$ が最大になる $\omega$ と、$X(\omega )$ の最大値を、この順に組で、$M$, $k$, $m_0$, $r$ を用いて求めよ。

$a$ を実数の定数とし、$x$ の 2 次関数
$$f(x)=x^2-2ax+3a$$
を考える。$-1\leqq x\leqq 2$ における $f(x)$ の最大値を $M(a)$、最小値を $m(a)$ とする。$M(a)-m(a)=5$ となるような $a$ の値をすべて求めよ。

$a$ を実数の定数とする。$x$ についての方程式
$$(x^2-2x{)}^2-2a(x^2-2x)+8a=0$$
が $0\leqq x\leqq 3$ の範囲に少なくとも 1 つの実数解をもつような $a$ の値の範囲を求めよ。

$a$ を実数の定数とし、$x$ の 2 次関数
$$f(x)=x^2-2ax+2a+3$$
を考える。$0\leqq x\leqq 2$ における $f(x)$ の最大値を $M(a)$、最小値を $m(a)$ とする。
$$M(a)-m(a)\leqq a+1$$
を満たす $a$ の値の範囲を求めよ。

$a$ を実数の定数とする。$x$ の 2 次方程式
$$x^2-2ax+a+2=0$$
が $0<x<3$ の範囲に少なくとも 1 つの実数解をもつような $a$ の値の範囲を求めよ。

$t$ を実数の定数とする。放物線 $C:y=x^2-4x+6$ を、$x$ 軸方向に $t$、$y$ 軸方向に $t^2-3t$ だけ平行移動した放物線を $C_t$ とする。$C_t$ を表す $2$ 次関数の $0\leqq x\leqq 2$ における最小値を $m(t)$ とする。$t$ がすべての実数を動くとき、$m(t)$ の最小値を求めよ。

$a$ を実数の定数とする。$x$ についての方程式
$$\sin 2x-2(\sin x+\cos x)=a(0\leqq x<2\pi )$$
が異なる実数解をちょうど $4$ 個もつような $a$ の値の範囲を求めよ。

$a$ を実数の定数とする。$x$ についての方程式
$$\sin 2x-2(\sin x+\cos x)=a(0\leqq x\leqq \pi )$$
が相異なる実数解をちょうど $3$ 個もつような $a$ の値の範囲を求めよ。

$a$ を実数の定数とする。$\theta$ についての方程式
$$\cos 2\theta -\sqrt{3}\sin 2\theta +2\sin \theta -2\sqrt{3}\cos \theta =a$$
が $0\leqq \theta <2\pi$ の範囲にちょうど $4$ 個の解をもつような $a$ の値の範囲を求めよ。

$a$ を実数の定数とする。$\theta$ についての方程式
$$4{\cos }^2\theta +3\sin \theta +a-4=0(0^{\circ }\leqq \theta \leqq 180^{\circ })$$
を満たす $\theta$ がちょうど $4$ 個存在するような $a$ の値の範囲を求めよ。

座標平面上に円 $C:x^2+y^2-2x-4y-20=0$ がある。$k$ を実数とし、直線 $l:y=k(x-3)+4$ を考える。$l$ と $C$ の 2 つの交点を $A,B$、円 $C$ の中心を $Q$ とする。$k$ が三角形 $QAB$ ができる範囲のすべての実数値をとって変化するとき、三角形 $QAB$ の面積の最大値を求めよ。

実数 $x,y$ が次の 2 つの不等式を同時に満たしながら動く。
$$x^2+y^2\leqq 9,y\geqq x^2-3$$
このとき、$2x+y$ の最大値と最小値をこの順に求めよ。

$a$ を実数の定数とする。$x$ についての方程式 $$(a-1)x^2-2ax+a+2=0$$ が $0<x<3$ の範囲に異なる $2$ つの実数解をもつような $a$ の値の範囲を求めよ。

$a$ を実数の定数とする。$0^{\circ }\leqq \theta \leqq 180^{\circ }$ を満たすすべての $\theta$ に対して、不等式
$$2{\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta -2a\cos \theta +a+2>0$$
が成り立つような $a$ の値の範囲を求めよ。

$a$ を実数の定数とする。$k$ を実数とし、$x$ についての 2 次方程式 $$x^2-2kx+2ak-3a-4=0$$ を考える。$0\leqq k\leqq 2$ を満たすどの実数 $k$ に対しても、この方程式が異なる 2 つの実数解をもつような $a$ の値の範囲を求めよ。

$a$ を実数の定数とする。$x\geqq 0$ を満たすすべての実数 $x$ に対して、不等式 $$a{x}^2-2(a-1)x+2a-1\geqq 0$$ が成り立つような $a$ の値の範囲を求めよ。

$a$ を実数の定数とする。関数 $$f(x)=(x^2+2x{)}^2-2a(x^2+2x)+4a$$ の $-2\leqq x\leqq 2$ における最小値が $-12$ となるような $a$ の値をすべて求めよ。

$a$ を実数の定数とする。すべての実数 $x,y$ に対して、不等式 $$x^2+2xy+2y^2+2ax+4y+20>0$$ が成り立つような $a$ の値の範囲を求めよ。

広くおだやかな海面上を、2 隻の船 A, B が進んでいる。A は東向きに一定の速さ $u$ で、B は南向きに一定の速さ $w$ で、それぞれまっすぐ進んでいる。ある時刻に、B は A の真北の距離 $d$ の位置にあった。その後、A と B の間の距離はしだいに小さくなり、ある時刻に最小になった後、大きくなっていった。A と B の間の距離の最小値を、$d$, $u$, $w$ を用いて表せ。ただし、$d$, $u$, $w$ は正の定数とし、船の大きさは無視する。また、海面は平面とみなし、海流はないものとする。

$n$ を $3$ 以上の整数とし、$X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立に、確率密度関数
$$f(x\mid \theta )=\theta e^{-\theta x}(x>0)$$
の指数分布に従う確率変数とする（$\theta >0$ は未知の母数）。$S=X_1+X_2+\cdots +X_n$ とおき、$\theta$ によらない正の定数 $c$（$n$ には依存してよい）を用いた $\theta$ の推定量
$${\hat{\theta }}_c=\frac{c}{S}$$
を考える。平均二乗誤差 $\mathrm{MSE}(c)=E\left[({\hat{\theta }}_c-\theta {)}^2\right]$ を最小にする $c$ の値はすべての $\theta >0$ に対して共通である。この値を $c^{\ast }$ とするとき、組 $(c^{\ast },\mathrm{MSE}(c^{\ast }))$ を $n$ と $\theta$ を用いて表せ。

$(W_t{)}_{t\ge 0}$ を確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の $W_0=0$ を満たす 1 次元標準ブラウン運動とし、伊藤積分
$$X={\int }_0^1{W}_t^{2}d{W}_t,Y={\int }_0^{1}td{W}_t$$
を考える。実数 $a,b$ に対して
$$F(a,b)=E\left[{\left(X-a{W}_1-bY\right)}^2\right]$$
とおくとき、$a,b$ が実数全体を動くときの $F(a,b)$ の最小値を求めよ。

$B=[-1,2]\times [-1,2]\subset {\mathbb{R}}^2$ とし、次の最適化問題 $(\mathrm{P})$ を考える。
$$(\mathrm{P})\text{minimize}f(x)=-x_1{x}_2\text{subject to}{x}_1+x_2=1,x=(x_1,x_2)\in B$$
等式制約 $x_1+x_2=1$ だけを乗数 $\mu \in \mathbb{R}$ で緩和し、集合制約 $x\in B$ は残したラグランジュ関数
$$L(x,\mu )=-x_1{x}_2+\mu (x_1+x_2-1)$$
から双対関数 $q(\mu )=\underset{x\in B}{\min }L(x,\mu )$ を定め、双対問題 $(\mathrm{D})$: $\underset{\mu \in \mathbb{R}}{\max }q(\mu )$ を考える。$(\mathrm{P})$ の最適値を $p^{\ast }$、$(\mathrm{D})$ の最適値を $d^{\ast }$ とするとき、双対ギャップ $p^{\ast }-d^{\ast }$ を求めよ。

節点 $\mathrm{A}$, $\mathrm{P}$, $\mathrm{K}$, $\mathrm{G}$ をもつ次の回路を考える。

• 節点 $\mathrm{G}$ と $\mathrm{A}$ の間に、角周波数 $\omega$ を自由に変えられる正弦波交流電源（電圧の実効値 $V$ は $\omega$ によらず一定、内部インピーダンスは無視できる）
• 節点 $\mathrm{A}$ と $\mathrm{P}$ の間に、抵抗値 $R$ の抵抗
• 節点 $\mathrm{P}$ と $\mathrm{K}$ の間に、自己インダクタンス $L$ のコイル（巻線抵抗は無視できる）
• 節点 $\mathrm{K}$ と $\mathrm{G}$ の間に、静電容量 $C$ のコンデンサー

ここで $R$, $L$, $C$ は正の定数で、この直列共振回路の Q 値を $Q=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}$ と定める。$Q>\frac{1}{\sqrt{2}}$ とする。

回路が正弦波定常状態にあるとき、コンデンサーの両端（$\mathrm{K}$-$\mathrm{G}$ 間）の電圧の実効値を $V_C$ とする。$\omega$ を $\omega >0$ の範囲で変えたときの比 $\frac{V_C}{V}$ の最大値を、$Q$ を用いて表せ。

最小表示（分解能）が $d=1\mathrm{mV}$ のデジタル電圧計で、一定の電圧 $V_0$（未知）を測定する。この電圧計は、入力電圧を $d$ の整数倍のうち最も近い値に丸めて表示する（ちょうど中間の値になる確率は $0$ なので考えなくてよい）。電圧計自体の雑音は無視できる。

このままでは何回測っても同じ表示しか得られないので、各測定のたびに、区間 $\left[-\frac{d}{2},\frac{d}{2}\right]$ 上の一様分布に従う雑音電圧 $u$ を $V_0$ に加えてから測定する（ディザ法）。$u$ は測定ごとに独立とする。こうして得た $N$ 回の表示 $y_1,\dots ,y_N$ の平均 $\bar{y}=\frac{1}{N}{\sum }_{i=1}^N{y}_i$ で $V_0$ を推定する（$N$ は正の整数）。

$V_0$ がどのような値であっても $\bar{y}$ の標準偏差が $0.05\mathrm{mV}$ 以下になるような $N$ の最小値を求めよ。

異核 2 原子分子の振動回転スペクトルを考える。電子状態は ${}^1\Sigma$ の基底状態のままとし、振動量子数 $v$、回転量子数 $J$（$J=0,1,2,\dots$）の準位のエネルギーを波数単位で
$$\frac{E(v,J)}{hc}=G(v)+B_{v}J(J+1)$$
と表す。ここで $G(v)$ は振動のエネルギー（波数単位）、$B_v$ は振動状態 $v$ での回転定数であり、遠心力ひずみの項は無視する。

振動の基本帯 $v=0\to v=1$ の吸収では、選択則 $\Delta J=\pm 1$ に従い、下の準位の回転量子数を $J$ として、$\Delta J=+1$ の線を $R(J)$、$\Delta J=-1$ の線を $P(J)$ と書く。測定の結果、次の 4 本の線の波数が得られた。
$$R(0)=2416.30{\text{cm}}^{-1},R(1)=2432.10{\text{cm}}^{-1},P(1)=2383.20{\text{cm}}^{-1},P(2)=2365.90{\text{cm}}^{-1}$$