図形と方程式の問題

円の中心と半径

$x^2+y^2-2x-4y-20=0$ を平方完成すると
$$(x-1{)}^2+(y-2{)}^2=25$$
となる。よって中心は $Q(1,2)$、半径は $5$ である。

直線 $l$ は円の内部の定点を通る

直線 $l$ は $k$ の値によらず点 $P(3,4)$ を通る。
$$(3-1{)}^2+(4-2{)}^2=8<25$$
なので $P$ は円の内部にある。したがって、どの $k$ に対しても $l$ と $C$ は異なる 2 点で交わる。

中心と直線の距離

$l$ を $kx-y-3k+4=0$ と書き直す。$Q$ と $l$ の距離を $d$ とすると
$$d=\frac{|k-2-3k+4|}{\sqrt{k^2+1}}=\frac{2|1-k|}{\sqrt{k^2+1}}$$
である。よって
$$d^2=\frac{4(1-k{)}^2}{k^2+1}=\frac{4(k^2+1-2k)}{k^2+1}=4\left(1-\frac{2k}{k^2+1}\right)$$
となる。

$d^2$ のとりうる値の範囲

$(k-1{)}^2\ge 0$ と $(k+1{)}^2\ge 0$ から $-1\le \frac{2k}{k^2+1}\le 1$ が成り立つ。等号はそれぞれ $k=1$、$k=-1$ のときである。したがって
$$0\le d^2\le 8$$
である。三角形ができるのは $d>0$、すなわち $k\ne 1$ のときなので、$t=d^2$ のとりうる値の範囲は $0<t\le 8$ である。$t=8$ となるのは $k=-1$ のときである。

(図形的には、$d\le QP=2\sqrt{2}$ であり、等号は $l\perp QP$ のときに成り立つ。$QP$ の傾きは $1$ なので、このとき $l$ の傾きは $-1$ になる。)

面積を $t$ で表す

弦 $AB$ の長さは $AB=2\sqrt{25-d^2}$ なので、三角形 $QAB$ の面積 $S$ は
$$S=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot d=d\sqrt{25-d^2}=\sqrt{t(25-t)}$$
となる。

最大値

$f(t)=t(25-t)=-{\left(t-\frac{25}{2}\right)}^2+\frac{625}{4}$ は $t\le \frac{25}{2}$ の範囲で増加する。$0<t\le 8$ はこの範囲に含まれるので、$f(t)$ は $t=8$ で最大となり、最大値は
$$f(8)=8\cdot 17=136$$
である。よって $S$ の最大値は
$$\sqrt{136}=2\sqrt{34}$$
であり、これは $k=-1$ のときにとる。

(注意:$\angle AQB=90^{\circ }$ のとき $S=\frac{25}{2}$ となるが、それには $d=\frac{5}{\sqrt{2}}$ が必要である。$d\le 2\sqrt{2}<\frac{5}{\sqrt{2}}$ なので、この値は実現しない。)

答えは $2\sqrt{34}$ である。

円 $C$ は $(x-1{)}^2+(y-2{)}^2=25$ で、中心 $Q(1,2)$、半径 $5$。直線 $l$ は $k$ によらず点 $P(3,4)$ を通る。$Q{P}^2=2^2+2^2=8<25$ より $P$ は円の内部にあるので、$l$ は常に $C$ と異なる 2 点で交わる。また $Q$ が $l$ 上にあるのは $k=1$ のときで、このとき三角形はできないので $k\ne 1$ とする。

$Q$ から $l$ までの距離を $d$ とすると、$0<d\le QP=2\sqrt{2}$ である。等号は $l\perp QP$ のとき、すなわち $k=-1$ のときに成り立つ。
弦 $AB$ の長さは $2\sqrt{25-d^2}$ なので、面積は
$S=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{25-d^2}\cdot d=\sqrt{d^2(25-d^2)}$。
$t=d^2$ とおくと $0<t\le 8$ で、$t(25-t)$ は $t<12.5$ の範囲で増加する。よって $t=8$ で最大となる。

$t=8$ のとき $S=\sqrt{8\cdot 17}=\sqrt{136}=2\sqrt{34}$。
検算：$k=-1$ では $l:x+y-7=0$。$Q$ からの距離は $|1+2-7|/\sqrt{2}=2\sqrt{2}$ で、弦長は $2\sqrt{25-8}=2\sqrt{17}$。面積は $\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{17}\cdot 2\sqrt{2}=2\sqrt{34}$ となり一致する。
（なお $\angle AQB=90^{\circ }$ になる $d=5/\sqrt{2}$ は $d\le 2\sqrt{2}$ を満たさず、実現しない。）