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図形と方程式の問題

難易度 4国公立二次の標準レベル数学II 図形と方程式

$t$ を $t ≧ 1$ を満たす実数とし、座標平面上の 2 直線
$ℓ_{1} : t x - y = 0, ℓ_{2} : x + t y - 4 = 0$
を考える。 $ℓ_{1}$ と $ℓ_{2}$ の交点を $P (x, y)$ とする。 $t$ が $t ≧ 1$ の範囲を動くとき、 $x + y$ のとりうる値の範囲を求めよ。

P

x

y

ℓ_{1}

ℓ_{2}

t = 2

の場合の一例

この問題で使うもの

条件を満たす点の軌跡（説明と入口の問題）
円の方程式（説明と入口の問題）
領域における最大・最小（説明と入口の問題）
点と直線の距離（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（46 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

まず交点 P の座標を $t$ で表し、 $t$ を消去して P がどんな図形の上を動くかを調べよう。 $t ≧ 1$ という条件が軌跡のどの部分に対応するかにも注意する。

ヒント 2

$x = \frac{4}{1 + t ^{2}}$ , $y = \frac{4 t}{1 + t ^{2}}$ から $x^{2} + y^{2} = 4 x$ が導ける。また $t = \frac{y}{x}$ なので、 $t ≧ 1$ は $y ≧ x$ （かつ $x > 0$ ）に対応する。

ヒント 3

P の軌跡は円 $(x - 2)^{2} + y^{2} = 4$ のうち、点 $(2, 2)$ から原点までの上側の弧（原点は含まない）である。 $x + y = k$ とおき、この直線が弧と共有点をもつ $k$ の範囲を、弧の端点と接する場合に分けて調べよう。

答えと解説

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0 < x + y ≦ 4

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解説を読む

交点の座標 $ℓ_{1}$ より $y = t x$ 。これを $ℓ_{2}$ に代入すると $x + t^{2} x = 4$ なので
$x = \frac{4}{1 + t ^{2}}, y = \frac{4 t}{1 + t ^{2}}$
となる（ $1 + t^{2} > 0$ なので交点はつねにただ 1 つ）。

点 P の軌跡 上の式から $x > 0$ であり、 $t = \frac{y}{x}$ である。また
$x^{2} + y^{2} = \frac{16 ( 1 + t ^{2} )}{( 1 + t ^{2} ) ^{2}} = \frac{16}{1 + t ^{2}} = 4 x$
より、P は円 $(x - 2)^{2} + y^{2} = 4$ 上にある。

逆に、円 $(x - 2)^{2} + y^{2} = 4$ 上の点 $(x, y)$ で $x > 0$ かつ $\frac{y}{x} ≧ 1$ を満たすものをとり、 $t = \frac{y}{x}$ とおくと $t ≧ 1$ で、 $y = t x$ が成り立つ。さらに $x^{2} + y^{2} = 4 x$ に代入して $x^{2} (1 + t^{2}) = 4 x$ 、 $x > 0$ より $x + t \cdot t x = 4$ 、すなわち $x + t y = 4$ も成り立つ。よってこの点は P として実際に現れる。

したがって P の軌跡は、円 $(x - 2)^{2} + y^{2} = 4$ のうち $y ≧ x$ かつ $x > 0$ を満たす部分である。円と直線 $y = x$ の交点は $x^{2} + x^{2} = 4 x$ より $(0, 0)$ , $(2, 2)$ なので、軌跡は点 $(2, 2)$ から円の上側をまわって原点に至る弧であり、端点 $(2, 2)$ は含み、原点 $(0, 0)$ は含まない（ $x > 0$ のため）。

$x + y$ の範囲 $x + y = k$ とおくと、これは傾き $- 1$ の直線である。この直線が上の弧と共有点をもつような $k$ の範囲を調べる。

円の中心 $(2, 0)$ と直線 $x + y - k = 0$ の距離が半径 $2$ になるのは $\frac{∣2 - k ∣}{2} = 2$ 、すなわち $k = 2 \pm 22$ のときで、接点はそれぞれ $(2 + 2, 2)$ , $(2 - 2, - 2)$ である。どちらも $y < x$ を満たすので弧の上にはない。

よって弧の上では $k$ は弧の端点で最大・最小に近づく。端点 $(2, 2)$ では $k = 4$ 、端点 $(0, 0)$ では $k = 0$ である。弧は連続につながっているので、 $k$ は $0$ と $4$ の間のすべての値をとるが、原点は軌跡に含まれないので $k = 0$ はとらない。

（確認）直接計算すると $x + y = \frac{4 ( 1 + t )}{1 + t ^{2}}$ であり、 $f (t) = \frac{1 + t}{1 + t ^{2}}$ とおくと
$f^{'} (t) = \frac{( 1 + t ^{2} ) - ( 1 + t ) \cdot 2 t}{( 1 + t ^{2} ) ^{2}} = \frac{1 - 2 t - t ^{2}}{( 1 + t ^{2} ) ^{2}}$
で、 $t ≧ 1$ では $1 - 2 t - t^{2} ≦ - 2 < 0$ なので $f$ は減少する。 $f (1) = 1$ 、 $t \to \infty$ で $f (t) \to 0$ （ただし $f (t) > 0$ ）なので、 $x + y$ のとりうる値は $0 < x + y ≦ 4$ となり、上の結果と一致する。

したがって、求める範囲は
$0 < x + y ≦ 4$

別解

$ℓ_{1}$ より $y = t x$ 。これを $ℓ_{2}$ に代入して $x + t^{2} x = 4$ 。 $1 + t^{2} > 0$ なので $x = \frac{4}{1 + t ^{2}}$ , $y = \frac{4 t}{1 + t ^{2}}$ 。（ $ℓ_{1}, ℓ_{2}$ は法線ベクトル $(t, - 1), (1, t)$ の内積が $0$ で常に直交し、交点はただ一つ。）

よって $f (t) = x + y = \frac{4 ( 1 + t )}{1 + t ^{2}}$ $(t ≧ 1)$ 。

微分すると $f^{'} (t) = 4 \cdot \frac{( 1 + t ^{2} ) - ( 1 + t ) \cdot 2 t}{( 1 + t ^{2} ) ^{2}} = \frac{4 ( 1 - 2 t - t ^{2} )}{( 1 + t ^{2} ) ^{2}}$ 。
$t ≧ 1$ で $1 - 2 t - t^{2} ≦ 1 - 2 - 1 = - 2 < 0$ なので $f$ は単調減少。

$f (1) = \frac{4 \cdot 2}{2} = 4$ 。 $t \to \infty$ のとき $f (t) = \frac{4 ( 1/ t ^{2} + 1/ t )}{1/ t ^{2} + 1} \to 0$ で、 $f (t) > 0$ であるから、値域は $0 < x + y ≦ 4$ 。

検算: $t = 2$ のとき $f = \frac{12}{5} = 2.4$ 、 $t = 1$ のとき $4$ より減少していて矛盾なし。 $t = 1$ では交点 $(2, 2)$ で $x + y = 4$ ✓。

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