点と直線の距離

点 $(x_{0}, y_{0})$ と直線 $a x + b y + c = 0$ の距離 $\frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c ∣}{a ^{2} + b ^{2}}$ を求め、距離の条件から直線の係数を決定できる

前提

直線の方程式（数学II 図形と方程式）

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算数中学高校大学大学院

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直線の方程式（数学II 図形と方程式）

説明

点と直線のあいだの最短距離、つまり点から直線に下ろした垂線の長さを、直線の式に点の座標を代入するだけで計算できるようになります。逆に「距離が○○になる」という条件から、直線の式に含まれる未知の定数を決めることもできます。円と直線の位置関係を調べるときや、三角形の高さ・面積を求めるときによく使います。

なぜそうしてよいのか

点 $P (x_{0}, y_{0})$ と直線 $ℓ : a x + b y + c = 0$ （ $a, b$ は同時に $0$ ではない）の距離 $d$ とは、 $P$ から $ℓ$ に下ろした垂線の長さのことです。まず $a \neq = 0, b \neq = 0$ で、 $P$ が $ℓ$ 上にない場合を考えます。 $k = a x_{0} + b y_{0} + c$ とおくと、 $P$ は $ℓ$ 上にないので $k \neq = 0$ です。 $P$ を通る縦の直線 $x = x_{0}$ と $ℓ$ の交点を $Q$ とします。 $Q$ の $y$ 座標は $- \frac{a x _{0} + c}{b}$ なので、 $P Q = y_{0} + \frac{a x _{0} + c}{b} = \frac{∣ k ∣}{∣ b ∣}$ です。同じように、 $P$ を通る横の直線 $y = y_{0}$ と $ℓ$ の交点を $R$ とします。 $R$ の $x$ 座標は $- \frac{b y _{0} + c}{a}$ なので、 $P R = \frac{∣ k ∣}{∣ a ∣}$ です。

三角形 $P QR$ は $P$ を直角とする直角三角形です。三平方の定理より $QR = P Q^{2} + P R^{2} = ∣ k ∣ \frac{1}{b ^{2}} + \frac{1}{a ^{2}} = \frac{∣ k ∣ a ^{2} + b ^{2}}{∣ a ∣∣ b ∣}$ となります。辺 $QR$ は $ℓ$ 上にあるので、求める距離 $d$ は $QR$ を底辺としたときの高さです。面積を 2 通りに表すと $\frac{1}{2} P Q \cdot P R = \frac{1}{2} QR \cdot d$ なので、 $d = \frac{P Q \cdot P R}{QR} = \frac{\frac{k ^{2}}{∣ a ∣∣ b ∣}}{\frac{∣ k ∣ a ^{2} + b ^{2}}{∣ a ∣∣ b ∣}} = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c ∣}{a ^{2} + b ^{2}}$ が得られます。

$b = 0$ のとき、 $ℓ$ は縦の直線 $x = - \frac{c}{a}$ です。距離は $x_{0} + \frac{c}{a} = \frac{∣ a x _{0} + c ∣}{∣ a ∣}$ となり、上の式で $b = 0$ としたものと一致します（ $a = 0$ のときも同様です）。 $P$ が $ℓ$ 上にあるときは分子が $0$ になるので、距離 $0$ と一致します。したがって、どの場合でも $d = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c ∣}{a ^{2} + b ^{2}}$ が成り立ちます。

手順

直線の式を一般形 $a x + b y + c = 0$ に直し、 $a, b, c$ を読み取る（例： $y = 2 x - 3$ なら $2 x - y - 3 = 0$ で、 $a = 2, b = - 1, c = - 3$ ）。
点の座標 $(x_{0}, y_{0})$ を左辺に代入し、分子 $∣ a x_{0} + b y_{0} + c ∣$ を計算する。
分母 $a^{2} + b^{2}$ を計算し、 $d = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c ∣}{a ^{2} + b ^{2}}$ を求める。
係数を決める問題では、 $d$ が与えられた値に等しいという方程式を立てる。 $∣ A ∣ = r (r > 0)$ の形になったら、絶対値を外して $A = \pm r$ として解く。

例題

点 $(1, - 2)$ と直線 $3 x + 4 y + c = 0$ の距離が $2$ となるような定数 $c$ の値をすべて求めよ。

例題の解答

手順1：直線はすでに一般形なので、 $a = 3, b = 4$ 、定数項は $c$ です。
手順2：点 $(1, - 2)$ を代入すると、分子は $∣3 \cdot 1 + 4 \cdot (- 2) + c ∣ = ∣ c - 5∣$ です。
手順3：分母は $3^{2} + 4^{2} = 25 = 5$ なので、距離は $\frac{∣ c - 5∣}{5}$ です。
手順4：これが $2$ に等しいので $\frac{∣ c - 5∣}{5} = 2$ 、つまり $∣ c - 5∣ = 10$ です。絶対値を外すと $c - 5 = 10$ または $c - 5 = - 10$ なので、 $c = 15$ または $c = - 5$ です。
（確認： $c = 15$ のとき $\frac{∣3 - 8 + 15∣}{5} = 2$ 、 $c = - 5$ のとき $\frac{∣3 - 8 - 5∣}{5} = 2$ となり、どちらも条件を満たします。）
よって $c = - 5, 15$ です。

答え: ${- 5, 15}$

よくある誤り

$y = m x + n$ の形のまま係数を読んでしまう誤り。例えば点 $(1, 1)$ と直線 $y = 2 x + 3$ の距離を、 $a = 2, b = 1, c = 3$ と読んで $\frac{∣2 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 3∣}{2 ^{2} + 1 ^{2}} = \frac{6}{5}$ としてしまう。正しくは一般形 $2 x - y + 3 = 0$ に直して $a = 2, b = - 1, c = 3$ とし、 $\frac{∣2 \cdot 1 - 1 + 3∣}{2 ^{2} + ( - 1 ) ^{2}} = \frac{4}{5}$ 。
絶対値を付け忘れて解を 1 つ落とす誤り。 $\frac{c - 5}{5} = 2$ として $c = 15$ だけを答えてしまう。正しくは $∣ c - 5∣ = 10$ から $c - 5 = \pm 10$ となり、 $c = 15, - 5$ の 2 つ。
分母に定数項を入れたり、根号を付け忘れたりする誤り。 $3 x + 4 y - 5 = 0$ に対して分母を $3^{2} + 4^{2} + 5^{2}$ や $3^{2} + 4^{2} = 25$ としてしまう。正しくは、分母は $x, y$ の係数だけを使った $3^{2} + 4^{2} = 5$ 。
縦の直線 $x = k$ は一般形にできないので公式が使えない、と考えてしまう誤り。 $x = 2$ は $1 \cdot x + 0 \cdot y - 2 = 0$ と見ればよく、点 $(5, 1)$ との距離は公式で $\frac{∣5 - 2∣}{1 ^{2} + 0 ^{2}} = 3$ と求められる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

円と直線の位置関係と弦の長さ（数学II 図形と方程式）