図形と方程式の問題

点 $\mathrm{P}$ の座標

線分 $\mathrm{AB}$ を $2:1$ に内分する点の座標は
$$\left(\frac{1\cdot (-1)+2\cdot 5}{2+1},\frac{1\cdot 4+2\cdot 1}{2+1}\right)=\left(\frac{9}{3},\frac{6}{3}\right)=(3,2)$$
である。よって $\mathrm{P}(3,2)$ となる。

直線 $\ell$ の方程式

直線 $\mathrm{AB}$ の傾きは $\frac{1-4}{5-(-1)}=\frac{-3}{6}=-\frac{1}{2}$ である。

$\ell$ はこれに垂直なので、傾きを $m$ とすると $m\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=-1$ より $m=2$ である。

$\ell$ は点 $\mathrm{P}(3,2)$ を通るから、$y-2=2(x-3)$ すなわち $y=2x-4$ となる。一般形で書くと
$$2x-y-4=0$$
である。

線分 $\mathrm{AP}$ の長さ

$$\mathrm{AP}=\sqrt{(3-(-1){)}^2+(2-4{)}^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$$
（$\mathrm{AB}=\sqrt{6^2+3^2}=3\sqrt{5}$ の $\frac{2}{3}$ 倍とも確かめられる。）

点 $\mathrm{C}$ と $\ell$ の距離

点と直線の距離の公式より、$\mathrm{C}(k,0)$ と直線 $2x-y-4=0$ の距離は
$$\frac{|2k-0-4|}{\sqrt{2^2+(-1{)}^2}}=\frac{|2k-4|}{\sqrt{5}}$$
である。

条件から $k$ を求める

$$\frac{|2k-4|}{\sqrt{5}}=2\sqrt{5}$$
の両辺に $\sqrt{5}$ を掛けて $|2k-4|=10$ となる。

よって $2k-4=10$ または $2k-4=-10$ である。前者から $k=7$、後者から $k=-3$ が得られる。

（確認：$k=7$ のとき距離は $\frac{|14-4|}{\sqrt{5}}=\frac{10}{\sqrt{5}}=2\sqrt{5}$、$k=-3$ のとき距離は $\frac{|-6-4|}{\sqrt{5}}=2\sqrt{5}$ となり、どちらも条件を満たす。）

したがって $k=-3,7$ である。

P は AB を 2:1 に内分する点なので、$P=\frac{1\cdot A+2\cdot B}{3}=\left(\frac{-1+10}{3},\frac{4+2}{3}\right)=(3,2)$。

$\overrightarrow{AB}=(6,-3)$ なので、AB の方向ベクトルは $(2,-1)$。直線 $\ell$ は P を通り AB に垂直だから、$2(x-3)-(y-2)=0$、すなわち $2x-y-4=0$。

AP の長さは $AB$ の $\frac{2}{3}$ である。$AB=\sqrt{36+9}=3\sqrt{5}$ より $AP=2\sqrt{5}$。

C$(k,0)$ と $\ell$ の距離は $\frac{|2k-4|}{\sqrt{5}}$。これが $2\sqrt{5}$ に等しいので、$|2k-4|=10$。よって $2k-4=\pm 10$ より $k=7,-3$。

検算：$k=7$ のとき $|14-4|/\sqrt{5}=10/\sqrt{5}=2\sqrt{5}$ で成立。$k=-3$ のとき $|-6-4|/\sqrt{5}=2\sqrt{5}$ で成立。