直線の方程式

1点と傾き、または2点から直線の方程式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ を求め、一般形 $a x + b y + c = 0$ で表せる（ $x$ 軸に垂直な直線も含む）

前提

1 次関数の式の求め方（中学数学関数）

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算数中学高校大学大学院

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1 次関数の式の求め方（中学数学関数）

説明

座標平面上の直線を、それを通る 1 点と傾き、または通る 2 点から式で表せるようになります。結果は $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の形で求め、最後に一般形 $a x + b y + c = 0$ に整理します。一般形を使うと、 $y$ 軸に平行な直線（ $x$ 軸に垂直な直線）も含めて、すべての直線を同じ形で書けます。グラフの交点、図形の辺の式、接線など、直線が出てくるあらゆる場面の土台になります。

なぜそうしてよいのか

傾き $m$ とは、直線上の 2 点を結んだときの「 $y$ の増加量 ÷ $x$ の増加量」のことで、直線上のどの 2 点を選んでも同じ値になります（中学の一次関数の「変化の割合」と同じです）。点 $(x_{1}, y_{1})$ を通り傾き $m$ の直線上に、 $(x_{1}, y_{1})$ とは別の点 $(x, y)$ をとると $\frac{y - y _{1}}{x - x _{1}} = m$ が成り立ちます。両辺に $x - x_{1}$ を掛けると $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ となります。この式は $(x, y) = (x_{1}, y_{1})$ のときも $0 = 0$ で成り立つので、直線上のすべての点を表します。逆に、この式をみたす点はすべてこの直線上にあります。

2 点 $(x_{1}, y_{1})$ , $(x_{2}, y_{2})$ が与えられたときは、まず傾きを $m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$ で求めます。これは $x_{1} \neq = x_{2}$ のときだけ使えます。 $x_{1} = x_{2}$ のときは 2 点が上下に並んでいて、直線は $y$ 軸に平行です。この直線上の点は $y$ が何であっても $x$ 座標がつねに $x_{1}$ なので、方程式は $x = x_{1}$ です。傾きは定義できず、 $y = m x + n$ の形には書けません。

そこで、 $a, b, c$ を定数とし、 $a$ と $b$ が同時には $0$ でないとして $a x + b y + c = 0$ という形を考えます。これを直線の方程式の一般形といいます。 $b \neq = 0$ なら $y = - \frac{a}{b} x - \frac{c}{b}$ となり、傾きのある直線を表します。 $b = 0$ なら $a \neq = 0$ なので $x = - \frac{c}{a}$ となり、 $y$ 軸に平行な直線を表します。こうして、どんな直線もこの一つの形で表せます。

手順

与えられた条件を確認する。1 点と傾き $m$ が与えられたら手順 3 へ進む。2 点 $(x_{1}, y_{1})$ , $(x_{2}, y_{2})$ が与えられたら手順 2 へ進む。
2 点の $x$ 座標を比べる。 $x_{1} = x_{2}$ なら直線は $x = x_{1}$ で、一般形は $x - x_{1} = 0$ となり、ここで終わり。 $x_{1} \neq = x_{2}$ なら、傾きを $m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$ で求める。
通る 1 点 $(x_{1}, y_{1})$ と傾き $m$ を $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ に代入する。
式を展開してすべての項を左辺に移し、 $a x + b y + c = 0$ の形に整理する。分数があれば両辺に分母を掛けて整数係数にする。
もとの点の座標を代入して $0$ になるかを確かめる。

例題

2 点 $A (1, 3)$ , $B (4, - 3)$ を通る直線の方程式を $2 x + b y + c = 0$ の形で表すとき、定数 $b, c$ の組 $(b, c)$ を求めよ。

例題の解答

手順 1：2 点が与えられているので、手順 2 へ進む。

手順 2： $x$ 座標は $1$ と $4$ で異なるので、傾きが求められる。 $m = \frac{- 3 - 3}{4 - 1} = \frac{- 6}{3} = - 2$ である。

手順 3：点 $A (1, 3)$ と $m = - 2$ を代入すると、 $y - 3 = - 2 (x - 1)$ となる。

手順 4：右辺を展開すると $y - 3 = - 2 x + 2$ となる。すべての項を左辺に移すと $2 x + y - 5 = 0$ である。 $x$ の係数はすでに $2$ なので、 $b = 1$ , $c = - 5$ となる。

手順 5： $A$ を代入すると $2 \cdot 1 + 3 - 5 = 0$ 、 $B$ を代入すると $2 \cdot 4 + (- 3) - 5 = 0$ となり、どちらも成り立つ。

よって $(b, c) = (1, - 5)$ である。

答え: $(1, - 5)$

よくある誤り

傾きを求めるとき、分子と分母で引く順番をそろえない誤り。たとえば $A (1, 3)$ , $B (4, - 3)$ で $\frac{- 3 - 3}{1 - 4} = 2$ としてしまう。正しくは、分子も分母も「B − A」の順にそろえて $\frac{- 3 - 3}{4 - 1} = - 2$ とする。
通る点の座標が負のときに符号を誤る誤り。点 $(2, - 3)$ を通り傾き $4$ の直線を $y - 3 = 4 (x - 2)$ としてしまう。正しくは $y - (- 3) = 4 (x - 2)$ 、つまり $y + 3 = 4 (x - 2)$ で、整理すると $4 x - y - 11 = 0$ になる。
2 点の $x$ 座標が等しいのに、傾きの公式を使ってしまう誤り。 $(2, 1)$ , $(2, 5)$ では $m = \frac{5 - 1}{2 - 2}$ となり、 $0$ で割ることになるので使えない。正しくは、直線は $y$ 軸に平行で $x = 2$ 、一般形では $x - 2 = 0$ である。
$x$ 座標が等しい 2 点の直線を $y = 2$ と書いてしまうなど、 $x = k$ と $y = k$ を取り違える誤り。 $(2, 1)$ , $(2, 5)$ では $x$ 座標がつねに $2$ なので、 $x = 2$ （ $y$ 軸に平行）が正しい。 $y = k$ は $x$ 軸に平行な、傾き $0$ の直線である。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

2直線の平行・垂直（数学II 図形と方程式）
点と直線の距離（数学II 図形と方程式）
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不等式の表す領域（数学II 図形と方程式）
光電効果の式と阻止電圧（高校物理原子）
初めから含まれる娘核種の補正とアイソクロン（高校地学地層と地球の歴史）