図形と方程式の問題

$C_1$ は中心 $\mathrm{O}(0,0)$、半径 $2$、$C_2$ は中心 $\mathrm{A}(6,3)$、半径 $1$ の円である。

$y$ 軸に平行な直線の場合 直線 $x=c$ が $C_1$ に接するとき $|c|=2$ より $c=\pm 2$ であり、$C_2$ に接するとき $|6-c|=1$ より $c=5,7$ である。両方を満たす $c$ はないので、条件を満たす直線は $y$ 軸に平行でない。

$y=mx+n$ とおく場合 直線を $mx-y+n=0$ と書く。

$C_1$ に接する条件は、中心 $\mathrm{O}$ との距離が $2$ であることなので
$$\frac{|n|}{\sqrt{m^2+1}}=2(1)$$

$C_2$ に接する条件は、中心 $\mathrm{A}$ との距離が $1$ であることなので
$$\frac{|6m-3+n|}{\sqrt{m^2+1}}=1(2)$$

2 つの円がこの直線に関して反対側にあるのは、2 つの中心 $\mathrm{O}$, $\mathrm{A}$ が反対側にあるときである。$f(x,y)=mx-y+n$ とおくと、$f(0,0)=n$ と $f(6,3)=6m-3+n$ が異符号であればよい。

$(1)$, $(2)$ より $|6m-3+n|=\frac{1}{2}|n|$ であり、両者が異符号であることから
$$6m-3+n=-\frac{n}{2}$$
となる。これを $n$ について解くと $\frac{3}{2}n=3-6m$ より
$$n=2-4m$$

これを $(1)$ の両辺を 2 乗した式 $n^2=4(m^2+1)$ に代入する。
$$(2-4m{)}^2=4(m^2+1)$$
$$4-16m+16m^2=4m^2+4$$
$$12m^2-16m=0$$
$$4m(3m-4)=0$$
よって $m=0,\frac{4}{3}$ である。

• $m=0$ のとき $n=2$ となり、直線は $y=2$ である。
• $m=\frac{4}{3}$ のとき $n=2-\frac{16}{3}=-\frac{10}{3}$ となり、直線は $y=\frac{4}{3}x-\frac{10}{3}$ である。

(確認) $y=2$ について、$\mathrm{O}$ との距離は $2$、$\mathrm{A}$ との距離は $1$ である。また $\mathrm{O}$ は直線の下側、$\mathrm{A}$ は上側にある。$4x-3y-10=0$ について、$\mathrm{O}$ との距離は $\frac{10}{5}=2$、$\mathrm{A}$ との距離は $\frac{|24-9-10|}{5}=1$ である。また $f$ の値は $\mathrm{O}$ で $-10$、$\mathrm{A}$ で $5$ となり異符号である。よって 2 本とも条件を満たす。

三角形の面積 2 直線の交点は、$2=\frac{4}{3}x-\frac{10}{3}$ を解いて $x=4$ より $(4,2)$ である。

2 直線と $y$ 軸の交点は $(0,2)$ と $\left(0,-\frac{10}{3}\right)$ である。

三角形の底辺を $y$ 軸上の辺とすると、その長さは $2-\left(-\frac{10}{3}\right)=\frac{16}{3}$ である。高さは交点 $(4,2)$ と $y$ 軸の距離 $4$ である。よって面積は
$$\frac{1}{2}\cdot \frac{16}{3}\cdot 4=\frac{32}{3}$$

$C_1$ の中心は $O(0,0)$、半径 $2$。$C_2$ の中心は $(6,3)$、半径 $1$。中心間の距離は $3\sqrt{5}$ で、半径の和 $3$ より大きいので共通接線は 4 本ある。

2 つの円が直線の反対側にあるのは内接線（共通内接線）である。内接線は中心を半径比 $2:1$ に内分する点 $P$ を通る。
$P=\frac{2}{3}(6,3)=(4,2)$。

$P$ を通る直線 $x=4$ は原点との距離が $4\ne 2$ なので不適。そこで傾きを $m$ として $y-2=m(x-4)$、すなわち $mx-y+2-4m=0$ とおく。原点との距離が $2$ になる条件は
$|2-4m|/\sqrt{m^2+1}=2$
より $(2-4m{)}^2=4(m^2+1)$。これを整理すると $12m^2-16m=0$ となり、$m=0,\frac{4}{3}$。

よって 2 直線は $y=2$ と $4x-3y-10=0$（$y=\frac{4}{3}x-\frac{10}{3}$）。

検算：$(6,3)$ と $y=2$ の距離は $1$。$(6,3)$ と $4x-3y-10=0$ の距離は $|24-9-10|/5=1$。原点と $4x-3y-10=0$ の距離は $10/5=2$。いずれも条件を満たす。また原点と $(6,3)$ は各直線の反対側にある。

$y$ 軸との交点は $(0,2)$ と $(0,-\frac{10}{3})$。三角形の頂点は $P(4,2)$、$(0,2)$、$(0,-\frac{10}{3})$。
$y$ 軸上の辺の長さは $2+\frac{10}{3}=\frac{16}{3}$、高さは $P$ から $y$ 軸までの距離 $4$。
面積 $=\frac{1}{2}\cdot \frac{16}{3}\cdot 4=\frac{32}{3}$。