図形と方程式の問題

点 $\mathrm{P}$ は線分 $\mathrm{AB}$ を $k:1$ $(k>0)$ に内分するので、内分点の公式より
$$\mathrm{P}\left(\frac{1\cdot 4+k\cdot 8}{k+1},\frac{1\cdot 6+k\cdot 0}{k+1}\right)=\left(\frac{8k+4}{k+1},\frac{6}{k+1}\right)$$
である。

点と直線の距離の公式より、$\mathrm{P}(x,y)$ から ${\ell }_1$, ${\ell }_2$ までの距離はそれぞれ
$$\frac{|3x-4y+4|}{\sqrt{3^2+(-4{)}^2}}=\frac{|3x-4y+4|}{5},\frac{|4x+3y-12|}{\sqrt{4^2+3^2}}=\frac{|4x+3y-12|}{5}$$
である。分母はどちらも $5$ なので、距離が等しい条件は
$$|3x-4y+4|=|4x+3y-12|$$
となる。

$\mathrm{P}$ の座標を代入する。
$$3x-4y+4=\frac{3(8k+4)-4\cdot 6+4(k+1)}{k+1}=\frac{24k+12-24+4k+4}{k+1}=\frac{28k-8}{k+1}$$
$$4x+3y-12=\frac{4(8k+4)+3\cdot 6-12(k+1)}{k+1}=\frac{32k+16+18-12k-12}{k+1}=\frac{20k+22}{k+1}$$
$k+1>0$ なので、条件は
$$|28k-8|=|20k+22|$$
すなわち $28k-8=20k+22$ または $28k-8=-(20k+22)$ である。

(i) $28k-8=20k+22$ のとき、$8k=30$ より $k=\frac{15}{4}$。これは $k>0$ を満たす。

(ii) $28k-8=-20k-22$ のとき、$48k=-14$ より $k=-\frac{7}{24}$。これは $k>0$ を満たさないので不適。

よって $k=\frac{15}{4}$ である。

（確認）このとき $\mathrm{P}\left(\frac{136}{19},\frac{24}{19}\right)$ で、$3x-4y+4=\frac{408-96+76}{19}=\frac{388}{19}$、$4x+3y-12=\frac{544+72-228}{19}=\frac{388}{19}$ となり、2 直線までの距離はともに $\frac{388}{95}$ で等しい。

答え: $k=\frac{15}{4}$

線分 AB 上の点を $\mathrm{P}(4+4t,6-6t)$ $(0<t<1)$ とおくと、$\mathrm{AP}:\mathrm{PB}=t:(1-t)$ である。

${\ell }_1$ までの距離は $\frac{|3(4+4t)-4(6-6t)+4|}{5}=\frac{|36t-8|}{5}$。
${\ell }_2$ までの距離は $\frac{|4(4+4t)+3(6-6t)-12|}{5}=\frac{|22-2t|}{5}$。

両者が等しいので $36t-8=\pm (22-2t)$ となる。
- $+$ のとき: $38t=30$ より $t=\frac{15}{19}$。これは $0<t<1$ を満たす。
- $-$ のとき: $34t=-14$ より $t<0$ となり不適。

よって $t=\frac{15}{19}$ で、$k=\frac{t}{1-t}=\frac{15/19}{4/19}=\frac{15}{4}$。

検算: $t=\frac{15}{19}$ のとき $36t-8=\frac{388}{19}$、$22-2t=\frac{388}{19}$ で一致する。