図形と方程式の問題

$C_2$ の式を変形すると $(x-4{)}^2+(y-2{)}^2=9$ となる。よって $C_2$ は中心 $(4,2)$、半径 $3$ の円である。$C_1$ は中心 $(0,0)$、半径 $1$ の円である。

$y$ 軸に平行な共通接線 $x=t$ について：$C_1$ に接する条件は $|t|=1$、$C_2$ に接する条件は $|t-4|=3$ である。両方を満たすのは $t=1$ だけなので、$x=1$ が 1 本ある。

$y$ 軸に平行でない共通接線 を $y=mx+k$、すなわち $mx-y+k=0$ とおく。点と直線の距離の公式から、
$$C_1\text{ に接する条件}:\frac{|k|}{\sqrt{m^2+1}}=1(1)$$
$$C_2\text{ に接する条件}:\frac{|4m-2+k|}{\sqrt{m^2+1}}=3(2)$$
$(1)$, $(2)$ より $|4m-2+k|=3|k|$ なので、$4m-2+k=3k$ または $4m-2+k=-3k$ である。

(i) $4m-2+k=3k$ のとき、$k=2m-1$ である。これを $(1)$ の両辺を 2 乗した式 $k^2=m^2+1$ に代入すると
$$(2m-1{)}^2=m^2+1⟺3m^2-4m=0⟺m(3m-4)=0$$
となる。よって $m=0,k=-1$ または $m=\frac{4}{3},k=\frac{5}{3}$ である。

(ii) $4m-2+k=-3k$ のとき、$k=\frac{1-2m}{2}$ である。これを $k^2=m^2+1$ に代入すると
$$\frac{(1-2m{)}^2}{4}=m^2+1⟺1-4m+4m^2=4m^2+4⟺m=-\frac{3}{4}$$
となり、$k=\frac{1+\frac{3}{2}}{2}=\frac{5}{4}$ である。

以上から、共通接線は次の 4 本である。
$$x=1,y=-1,y=\frac{4}{3}x+\frac{5}{3},y=-\frac{3}{4}x+\frac{5}{4}$$
このうち $x$ 軸にも $y$ 軸にも平行でないものは
$${\ell }_1:y=\frac{4}{3}x+\frac{5}{3},{\ell }_2:y=-\frac{3}{4}x+\frac{5}{4}$$
の 2 本である。

${\ell }_1$, ${\ell }_2$ と $y$ 軸との交点はそれぞれ $\left(0,\frac{5}{3}\right)$, $\left(0,\frac{5}{4}\right)$ である。

${\ell }_1$ と ${\ell }_2$ の交点は、$\frac{4}{3}x+\frac{5}{3}=-\frac{3}{4}x+\frac{5}{4}$ を解いて求める。両辺を $12$ 倍すると
$$16x+20=-9x+15$$
となり、$25x=-5$、すなわち $x=-\frac{1}{5}$ である。このとき $y=\frac{4}{3}\cdot \left(-\frac{1}{5}\right)+\frac{5}{3}=\frac{-4+25}{15}=\frac{7}{5}$ なので、交点は $\left(-\frac{1}{5},\frac{7}{5}\right)$ である。

三角形の底辺を $y$ 軸上の辺とすると、その長さは $\frac{5}{3}-\frac{5}{4}=\frac{5}{12}$ である。高さは交点の $x$ 座標の絶対値で $\frac{1}{5}$ である。したがって、求める面積は
$$\frac{1}{2}\cdot \frac{5}{12}\cdot \frac{1}{5}=\frac{1}{24}$$
である。

$C_1$ は中心 $(0,0)$、半径 $1$。$C_2$ は $(x-4{)}^2+(y-2{)}^2=9$ より中心 $(4,2)$、半径 $3$。中心間距離は $\sqrt{20}$ で、$2<\sqrt{20}$ かつ $\sqrt{20}>4$ なので 2 円は離れており、共通接線は 4 本ある。

軸に平行な共通接線は $y=-1$ と $x=1$ の 2 本である。
- $y=c$ が $C_1$ に接する条件は $c=\pm 1$、$C_2$ に接する条件は $c=-1,5$ なので、共通は $c=-1$。
- $x=c$ が $C_1$ に接する条件は $c=\pm 1$、$C_2$ に接する条件は $c=1,7$ なので、共通は $c=1$。

残る 2 本を $y=mx+b$ とおく。$s=\sqrt{1+m^2}$ とすると、接する条件は $|b|=s$ と $|4m-2+b|=3s$。

(i) $b=s$ のとき、$4m-2+b=3s$ なら $2m-1=s$。両辺を 2 乗して $3m^2=4m$ より $m=4/3$（$m=0$ は $s=2m-1$ を満たさない）。このとき $b=5/3$ で、$y=\frac{4}{3}x+\frac{5}{3}$。

(ii) $b=s$ のとき、$4m-2+b=-3s$ なら $s=(1-2m)/2$。両辺を 2 乗して $1-4m=4$ より $m=-3/4$。$s=5/4$ なので $b=5/4$ で、$y=-\frac{3}{4}x+\frac{5}{4}$。

$b=-s$ の場合は $y=-1$ か、条件を満たさない解しか出ない。

2 直線の $y$ 切片は $5/3$ と $5/4$。交点は $\frac{4}{3}x+\frac{5}{3}=-\frac{3}{4}x+\frac{5}{4}$ より $\frac{25}{12}x=-\frac{5}{12}$、すなわち $x=-\frac{1}{5}$。

面積は $\frac{1}{2}\left(\frac{5}{3}-\frac{5}{4}\right)\cdot \frac{1}{5}=\frac{1}{2}\cdot \frac{5}{12}\cdot \frac{1}{5}=\frac{1}{24}$。

検算: $y=\frac{4}{3}x+\frac{5}{3}$、すなわち $4x-3y+5=0$ について、原点からの距離は $5/5=1$、$(4,2)$ からの距離は $|16-6+5|/5=3$。$y=-\frac{3}{4}x+\frac{5}{4}$、すなわち $3x+4y-5=0$ について、原点からの距離は $5/5=1$、$(4,2)$ からの距離は $|12+8-5|/5=3$。どちらも条件を満たす。