円と直線の位置関係と弦の長さ

中心と直線の距離 $d$ と半径 $r$ の大小（または判別式）で円と直線の共有点の個数を判定して係数の範囲を求め、弦の長さを $2 r^{2} - d^{2}$ で求められる

前提

円の方程式（数学II 図形と方程式）
点と直線の距離（数学II 図形と方程式）
2 次不等式（数学I 2次関数）

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算数中学高校大学大学院

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点と直線の距離（数学II 図形と方程式）
2 次不等式（数学I 2次関数）

説明

円と直線が何個の点で交わるかを、計算で判定できるようになります。中心から直線までの距離 $d$ と半径 $r$ を比べるだけで、「2点で交わる」「接する」「共有点がない」のどれになるかがわかります。直線の式に文字が入っていれば、交わる条件や接する条件からその文字の値や範囲を求められます。さらに、直線が円から切り取る線分（弦）の長さを $2 r^{2} - d^{2}$ で求められます。

なぜそうしてよいのか

円の中心を $C$ とし、 $C$ から直線に下ろした垂線の足を $H$ とします。 $C H = d$ は、中心と直線上の点との距離のうちで最も短いものです。 $d < r$ なら、点 $H$ は円の内部にあります。直線は円の内部を通り抜けるので、円と2点で交わります。 $d = r$ なら、直線上で円周に届くのは $H$ だけなので、共有点は1個です（接する）。 $d > r$ なら、直線上のどの点も中心から $r$ より遠いので、共有点はありません。

同じ判定は判別式でもできます。たとえば直線 $y = m x + k$ を円の方程式に代入すると、 $x$ の2次方程式ができます。直線上では $x$ が1つ決まれば点も1つ決まるので、この2次方程式の実数解の個数がそのまま共有点の個数になります。判別式を $D$ とすると、 $D > 0$ なら2個、 $D = 0$ なら1個、 $D < 0$ なら0個です。

弦の長さについて考えます。直線と円の交点を $A, B$ とすると、 $C A = C B = r$ なので三角形 $C A B$ は二等辺三角形です。頂点 $C$ から底辺に下ろした垂線の足 $H$ は $A B$ の中点になります。直角三角形 $C A H$ に三平方の定理を使うと $A H = r^{2} - d^{2}$ です。弦の長さはその2倍で、 $A B = 2 r^{2} - d^{2}$ となります。

手順

円の方程式を平方完成して $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$ の形にし、中心 $(a, b)$ と半径 $r$ を読み取る。
直線の式を $p x + q y + c = 0$ の形に直し、中心との距離 $d = \frac{∣ p a + q b + c ∣}{p ^{2} + q ^{2}}$ を求める。
$d$ と $r$ を比べる。 $d < r$ なら2点で交わる、 $d = r$ なら接する、 $d > r$ なら共有点なし。文字を含むときは、条件に合う不等式（共有点をもつなら $d \leq r$ ）や等式を解いて範囲や値を求める。判別式を使う場合は、直線の式を円の式に代入した2次方程式の判別式 $D$ の符号で判定する。
弦の長さを求めるときは、 $d < r$ であることを確かめてから $2 r^{2} - d^{2}$ を計算する。

例題

円 $x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y - 4 = 0$ が直線 $3 x + 4 y + 3 = 0$ から切り取られてできる弦の長さを求めよ。

例題の解答

手順1：平方完成すると $(x^{2} - 4 x + 4) + (y^{2} + 2 y + 1) = 4 + 4 + 1$ です。よって $(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} = 9$ となり、中心は $(2, - 1)$ 、半径は $r = 3$ です。

手順2：直線はすでに $3 x + 4 y + 3 = 0$ の形です。中心との距離は $d = \frac{∣3 \cdot 2 + 4 \cdot ( - 1 ) + 3∣}{3 ^{2} + 4 ^{2}} = \frac{∣5∣}{5} = 1$ です。

手順3： $d = 1 < 3 = r$ なので、円と直線は2点で交わり、弦ができます。

手順4：弦の長さは $2 r^{2} - d^{2} = 2 9 - 1 = 28 = 42$ です。

答え: $42$

よくある誤り

弦の長さを $r^{2} - d^{2}$ としてしまう誤り。これは弦の半分 $A H$ の長さです。正しくは2倍して $2 r^{2} - d^{2}$ です（例題なら $22$ ではなく $42$ ）。
平方完成した $(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} = 9$ の右辺 $9$ をそのまま半径としてしまう誤り。正しくは $r^{2} = 9$ なので $r = 3$ です。弦の式にも $r^{2} = 9$ を入れて $2 9 - 1$ と計算します。
「共有点をもつ」条件を $d < r$ としてしまう誤り。接する場合も共有点が1個あるので、正しくは $d \leq r$ です。例えば円 $x^{2} + y^{2} = 2$ と直線 $x - y + k = 0$ なら、 $\frac{∣ k ∣}{2} \leq 2$ を解いて $- 2 \leq k \leq 2$ となります。
点と直線の距離で絶対値を外し忘れ、 $\frac{p a + q b + c}{p ^{2} + q ^{2}}$ が負になったまま $r$ と比べてしまう誤り。距離は0以上なので、正しくは $∣ p a + q b + c ∣$ を使います。文字を含む場合は $∣ k ∣ \leq 2$ を $- 2 \leq k \leq 2$ のように場合を漏らさず解きます。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

円の接線（数学II 図形と方程式）
極方程式（数学C 平面上の曲線）