図形と方程式の問題

手順 1：円の中心と半径を求める。

$x,y$ それぞれについて平方完成すると
$$x^2-4x+y^2+2y-20=0$$
$$(x-2{)}^2-4+(y+1{)}^2-1-20=0$$
$$(x-2{)}^2+(y+1{)}^2=25$$
よって、円 $C$ の中心は $(2,-1)$、半径は $r=5$ である。

手順 2：中心と直線の距離 $d$ を求める。

点と直線の距離の公式より、中心 $(2,-1)$ と直線 $4x+3y+5=0$ の距離 $d$ は
$$d=\frac{|4\cdot 2+3\cdot (-1)+5|}{\sqrt{4^2+3^2}}=\frac{|8-3+5|}{\sqrt{25}}=\frac{10}{5}=2$$
$d=2<5=r$ なので、確かに円と直線は異なる 2 点で交わる。

手順 3：弦の長さを求める。

円の中心から直線 $\ell$ に垂線を下ろし、その足を $\mathrm{H}$ とすると、$\mathrm{H}$ は弦 $\mathrm{AB}$ の中点になる。中心、$\mathrm{H}$、$\mathrm{A}$ を頂点とする直角三角形で三平方の定理を使うと
$$\mathrm{AH}=\sqrt{r^2-d^2}=\sqrt{25-4}=\sqrt{21}$$
したがって
$$\mathrm{AB}=2\mathrm{AH}=2\sqrt{21}$$

答え：$2\sqrt{21}$

円 $C$ を平方完成すると $(x-2{)}^2+(y+1{)}^2=25$ となるので、中心は $(2,-1)$、半径は $5$。
中心から直線 $4x+3y+5=0$ までの距離は $d=\frac{|4\cdot 2+3\cdot (-1)+5|}{\sqrt{4^2+3^2}}=\frac{10}{5}=2$。
$d=2<5$ なので異なる 2 点で交わる。
弦の長さは $\mathrm{AB}=2\sqrt{5^2-2^2}=2\sqrt{21}$。
検算: 直線から $y=-(4x+5)/3$ を円の式に代入する。
$x^2+\frac{(4x+5{)}^2}{9}-4x-\frac{2(4x+5)}{3}-20=0$。両辺に 9 をかけて整理すると
$9x^2+16x^2+40x+25-36x-24x-30-180=0$、すなわち $25x^2-20x-185=0$、さらに $5x^2-4x-37=0$。
判別式は $16+740=756$ なので $|x_1-x_2|=\frac{\sqrt{756}}{5}=\frac{6\sqrt{21}}{5}$。
直線の傾きは $-4/3$ なので $\mathrm{AB}=|x_1-x_2|\sqrt{1+16/9}=\frac{6\sqrt{21}}{5}\cdot \frac{5}{3}=2\sqrt{21}$。一致した。