図形と方程式の問題

方針 2 直線 $f=0$, $g=0$ の交点を通る直線は、$k$ を定数として $f+kg=0$ の形で表せることを使います。

手順 1：交点を通る直線の形をつくる

$k$ を定数として、次の方程式を考えます。
$$(x-2y+3)+k(3x+y-5)=0(1)$$
$(1)$ は $x$, $y$ の 1 次方程式なので直線を表します。さらに交点 $\mathrm{P}$ の座標を代入すると、$x-2y+3=0$ かつ $3x+y-5=0$ なので、$k$ がどんな値でも $(1)$ の左辺は $0+k\cdot 0=0$ になります。つまり、$(1)$ は $k$ の値によらず点 $\mathrm{P}$ を通る直線です。

（なお、点 $\mathrm{A}(3,0)$ は $3\cdot 3+0-5=4\ne 0$ より直線 $m$ 上にないので、求める直線は $m$ 自身ではなく、$(1)$ の形で表せます。）

手順 2：点 A を通るように $k$ を決める

$(1)$ に $x=3$, $y=0$ を代入します。
$$(3-0+3)+k(9+0-5)=0$$
$$6+4k=0$$
$$k=-\frac{3}{2}$$

手順 3：$k$ を代入して整理する

$$(x-2y+3)-\frac{3}{2}(3x+y-5)=0$$
両辺を $2$ 倍して
$$2x-4y+6-9x-3y+15=0$$
$$-7x-7y+21=0$$
$$x+y-3=0$$
よって $y=-x+3$ です。

確かめ 交点 $\mathrm{P}$ は、$x=2y-3$ を $3x+y-5=0$ に代入して $7y-14=0$ より $y=2$, $x=1$ で $\mathrm{P}(1,2)$。$y=-x+3$ は $x=1$ のとき $y=2$、$x=3$ のとき $y=0$ となり、$\mathrm{P}$ と $\mathrm{A}$ を通っています。

答え：$y=-x+3$

$\ell :x-2y+3=0$ と $m:3x+y-5=0$ の交点を求める。$m$ より $y=5-3x$。これを $\ell$ に代入すると $x-2(5-3x)+3=0$、すなわち $7x-7=0$ より $x=1$。このとき $y=2$。よって $\mathrm{P}(1,2)$。
直線 $\mathrm{PA}$ の傾きは $\frac{0-2}{3-1}=-1$。点 $\mathrm{A}(3,0)$ を通るので $y=-(x-3)=-x+3$。
検算: $\mathrm{P}(1,2)$ を代入すると $-1+3=2$ で成り立つ。$\mathrm{A}(3,0)$ では $-3+3=0$ で成り立つ。また $\ell$ に $\mathrm{P}$ を代入すると $1-4+3=0$、$m$ に代入すると $3+2-5=0$ でともに成り立つ。