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図形と方程式の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学II 図形と方程式

座標平面上に $2$ 点 $A (- 1, 5)$ , $B (3, - 3)$ がある。 $2$ 点 $A$ , $B$ を通る直線の方程式を $y = m x + n$ の形で表すとき、右辺 $m x + n$ を求めよ。

A (- 1, 5)

B (3, - 3)

x

y

O

この問題で使うもの

直線の方程式（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（15 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

技能「直線の方程式」を使います。まず 2 点から傾きを求め、次に 1 点と傾きを使った直線の式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ に当てはめましょう。

ヒント 2

傾きは $m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$ で求められます。A と B の座標を代入してみましょう。

ヒント 3

傾きは $m = \frac{- 3 - 5}{3 - ( - 1 )} = - 2$ です。点 A を使うと $y - 5 = - 2 (x + 1)$ となるので、これを $y = \dots$ の形に整理しましょう。

答えと解説

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- 2 x + 3

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解説を読む

手順 1：傾きを求める。

$2$ 点 $(x_{1}, y_{1})$ , $(x_{2}, y_{2})$ （ $x_{1} \neq = x_{2}$ ）を通る直線の傾き $m$ は
$m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$
である。 $A (- 1, 5)$ , $B (3, - 3)$ では $x$ 座標が異なるので $x$ 軸に垂直な直線ではなく、
$m = \frac{- 3 - 5}{3 - ( - 1 )} = \frac{- 8}{4} = - 2$

手順 2：1 点と傾きの式に当てはめる。

点 $(x_{1}, y_{1})$ を通り傾き $m$ の直線は $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ である。点 $A (- 1, 5)$ と $m = - 2$ を代入すると
$y - 5 = - 2 {x - (- 1)}$
$y - 5 = - 2 (x + 1)$

手順 3：整理する。
$y - 5 = - 2 x - 2$
$y = - 2 x + 3$

確かめ： $x = 3$ のとき $y = - 6 + 3 = - 3$ となり、点 $B (3, - 3)$ を通っている。

なお、一般形で書くと $2 x + y - 3 = 0$ である。

よって、求める右辺は $- 2 x + 3$ である。

別解

傾き $m = \frac{- 3 - 5}{3 - ( - 1 )} = \frac{- 8}{4} = - 2$ 。点 $A (- 1, 5)$ を通るので $5 = - 2 \cdot (- 1) + n$ より $n = 3$ 。よって直線は $y = - 2 x + 3$ 。検算： $x = 3$ のとき $- 6 + 3 = - 3$ となり $B$ の $y$ 座標と一致する。したがって右辺は $- 2 x + 3$ 。

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