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図形と方程式

扱うテーマ: 点と直線（距離・内分点・直線の方程式）、円の方程式・円と直線の位置関係、円の接線、軌跡、不等式の表す領域と最大・最小

難易度の目安（高校数学）

難易度 1 教科書の例題レベル
難易度 2 教科書の章末問題レベル
難易度 3 共通テストレベル
難易度 4 国公立二次の標準レベル
難易度 5 最難関大の二次・数学オリンピック予選レベル

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難易度 1（教科書の例題レベル）
座標平面上に 2 点 $A (1, 3)$ , $B (4, - 3)$ がある。線分 $AB$ を $2 : 1$ に外分する点 $P$ の座標を求めよ。
$A (1, 3)$ $B (4, - 3)$ $x$ $y$ $O$
難易度 1（教科書の例題レベル）
座標平面上に 2 点 $A (- 3, 2)$ , $B (5, - 6)$ がある。線分 $AB$ を $3 : 1$ に内分する点 $P$ の座標を求めよ。
$A (- 3, 2)$ $B (5, - 6)$ $x$ $y$ $O$
線分 AB の図（点 P は省略）
難易度 1（教科書の例題レベル）
座標平面上に 2 点 $A (2, - 1)$ , $B (6, 3)$ がある。線分 $AB$ を $3 : 1$ に外分する点 $P$ の座標を求めよ。
$A (2, - 1)$ $B (6, 3)$ $x$ $y$ $O$
難易度 1（教科書の例題レベル）
座標平面上に 2 点 $A (- 1, 5)$ , $B (2, - 1)$ がある。2 点 $A$ , $B$ を通る直線の方程式を $2 x + b y + c = 0$ の形で表すとき、定数 $b$ , $c$ の値を組 $(b, c)$ の形で求めよ。
$A (- 1, 5)$ $B (2, - 1)$ $x$ $y$ $O$
難易度 1（教科書の例題レベル）
座標平面上に $2$ 点 $A (- 1, 5)$ , $B (3, - 3)$ がある。 $2$ 点 $A$ , $B$ を通る直線の方程式を $y = m x + n$ の形で表すとき、右辺 $m x + n$ を求めよ。
$A (- 1, 5)$ $B (3, - 3)$ $x$ $y$ $O$
難易度 1（教科書の例題レベル）
座標平面上の $2$ 点 $A (- 1, 4)$ , $B (3, 1)$ を通る直線の方程式を求め、
$a x + b y + c = 0$
の形で表す。ただし、 $a, b, c$ は整数で、 $a > 0$ とし、 $a, b, c$ の最大公約数は $1$ とする。このとき、 $a, b, c$ の値を組 $(a, b, c)$ の形で求めよ。
$A (- 1, 4)$ $B (3, 1)$ $x$ $y$ $O$
難易度 1（教科書の例題レベル）
座標平面上に、点 $A (2, - 1)$ と直線 $ℓ : 3 x - 2 y + 4 = 0$ がある。点 $A$ を通り、直線 $ℓ$ に垂直な直線の方程式を $y = m x + n$ の形で求めよ。答えは右辺の式 $m x + n$ だけを書け。
$A (2, - 1)$ $x$ $y$ $O$ $ℓ : 3 x - 2 y + 4 = 0$
難易度 1（教科書の例題レベル）
座標平面上に、点 $A (3, - 1)$ と直線 $l : 3 x - 2 y + 4 = 0$ がある。点 $A$ を通り、直線 $l$ に垂直な直線の方程式を $y = m x + n$ の形で表すとき、その右辺 $m x + n$ を求めよ。
$A (3, - 1)$ $x$ $y$ $O$ $l$
難易度 1（教科書の例題レベル）
座標平面上に、点 $A (2, 5)$ と直線 $l : 3 x + 2 y - 6 = 0$ がある。点 $A$ を通り、直線 $l$ に垂直な直線の方程式を $y = m x + n$ の形で求めよ。
$A (2, 5)$ $x$ $y$ $O$ $l$
図は正確とは限りません
難易度 1（教科書の例題レベル）
座標平面上に点 $A (4, 3)$ と直線 $ℓ : y = 2 x + 1$ がある。点 $A$ と直線 $ℓ$ の距離を求めよ。
$A (4, 3)$ $x$ $y$ $O$ $ℓ : y = 2 x + 1$
難易度 1（教科書の例題レベル）
座標平面上に点 $A (2, 5)$ と直線 $ℓ : 3 x + 4 y - 6 = 0$ がある。点 $A$ と直線 $ℓ$ の距離を求めよ。
$A (2, 5)$ $x$ $y$ $O$ $ℓ$
難易度 1（教科書の例題レベル）
座標平面上に 3 点 $A (5, 5)$ , $B (0, 2)$ , $C (4, - 1)$ がある。点 $A$ と直線 $BC$ の距離を求めよ。
$A (5, 5)$ $B (0, 2)$ $C (4, - 1)$ $x$ $y$ $O$
難易度 1（教科書の例題レベル）
$k$ を実数の定数とする。直線
$(k + 2) x + (k - 1) y - 3 k = 0$
は、 $k$ の値にかかわらず定点を通る。この定点の座標を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$k$ を実数の定数とする。直線
$(k + 2) x + (2 k - 1) y - 5 k = 0$
は、 $k$ の値によらず定点を通る。その定点の座標を求めよ。
$x$ $y$ $O$ $k = 1$
$k = 1$ のときの直線の一例
難易度 1（教科書の例題レベル）
座標平面上に 2 直線
$ℓ : x - 2 y + 3 = 0, m : 3 x + y - 5 = 0$
がある。2 直線 $ℓ$ , $m$ の交点を $P$ とする。点 $P$ と点 $A (3, 0)$ を通る直線の方程式を、 $y = a x + b$ の形で求めよ。
$P$ $A (3, 0)$ $x$ $y$ $O$ $ℓ$ $m$
難易度 1（教科書の例題レベル）
座標平面上に 2 点 $A (- 1, 3)$ , $B (5, - 5)$ がある。線分 $AB$ を直径とする円の方程式を
$x^{2} + y^{2} + l x + m y + n = 0$
の形で表すとき、定数 $l$ , $m$ , $n$ の値を求め、組 $(l, m, n)$ の形で答えよ。
$A (- 1, 3)$ $B (5, - 5)$ $x$ $y$ $O$
難易度 1（教科書の例題レベル）
座標平面上に 2 点 $A (1, 2)$ , $B (5, - 4)$ がある。線分 $AB$ を直径とする円の方程式を
$x^{2} + y^{2} + l x + m y + n = 0$
の形で表すとき、定数 $l$ , $m$ , $n$ の値を求め、 $(l, m, n)$ の組で答えよ。
$A (1, 2)$ $B (5, - 4)$ $x$ $y$ $O$
難易度 1（教科書の例題レベル）
座標平面上に $2$ 点 $A (1, 2)$ , $B (5, - 4)$ がある。線分 $AB$ を直径とする円の方程式を
$x^{2} + y^{2} + l x + m y + n = 0$
の形で表すとき、定数 $l$ , $m$ , $n$ の値を求め、組 $(l, m, n)$ の形でこの順に答えよ。
$A (1, 2)$ $B (5, - 4)$ $x$ $y$ $O$
難易度 1（教科書の例題レベル）
座標平面上に、円 $C : (x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 25$ と直線 $ℓ : 3 x - 4 y + 4 = 0$ がある。円 $C$ と直線 $ℓ$ は異なる $2$ 点 $A$ , $B$ で交わる。線分 $AB$ の長さを求めよ。
$A$ $B$ $x$ $y$ $O$ $C$ $ℓ$
難易度 1（教科書の例題レベル）
座標平面上に、円 $C : (x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} = 13$ と直線 $ℓ : x - y + 1 = 0$ がある。 $ℓ$ と $C$ は異なる $2$ 点で交わる。その $2$ つの交点を $A$ , $B$ とするとき、線分 $AB$ の長さを求めよ。
$A$ $B$ $x$ $y$ $O$ $ℓ$ $C$
難易度 1（教科書の例題レベル）
座標平面上に、円 $C : x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y - 20 = 0$ と直線 $ℓ : 4 x + 3 y + 5 = 0$ がある。円 $C$ と直線 $ℓ$ は異なる 2 点で交わる。その 2 つの交点を $A$ , $B$ とするとき、線分 $AB$ の長さを求めよ。
$A$ $B$ $x$ $y$ $O$ $C$ $ℓ$
図は正確とは限りません
難易度 1（教科書の例題レベル）
座標平面上に 2 点 $A (1, 0)$ , $B (3, 2)$ がある。点 $P$ が
$PA^{2} - PB^{2} = 8$
を満たしながら動くとき、点 $P$ の軌跡は直線になる。この直線の方程式を $y = a x + b$ の形で表したときの右辺 $a x + b$ を求めよ。
$A (1, 0)$ $B (3, 2)$ $x$ $y$ $O$
難易度 1（教科書の例題レベル）
座標平面上に 2 点 $A (- 3, 0)$ , $B (3, 0)$ がある。 $PA : PB = 2 : 1$ を満たす点 $P$ の軌跡は円になる。この円の半径を求めよ。
$A (- 3, 0)$ $B (3, 0)$ $P$ $x$ $y$ $O$
点 P の位置は一例
難易度 1（教科書の例題レベル）
座標平面上に 2 点 $A (1, 3)$ , $B (5, 1)$ がある。点 $P$ が
$PA^{2} - PB^{2} = 8$
を満たしながら動くとき、点 $P$ の軌跡は直線になる。この直線の方程式を $y = a x + b$ の形で表すとき、定数 $a$ , $b$ の値を組 $(a, b)$ の形でこの順に求めよ。
$A (1, 3)$ $B (5, 1)$ $x$ $y$ $O$
難易度 1（教科書の例題レベル）
座標平面上で、点 $P (a, 2)$ が不等式
$(x - 1)^{2} + (y + 1)^{2} < 25$
の表す領域に含まれるような実数 $a$ の値の範囲を求めよ。
$x$ $y$ $O$
不等式 $(x - 1)^{2} + (y + 1)^{2} < 25$ の表す領域（境界線は含まない）
難易度 1（教科書の例題レベル）
座標平面上で、連立不等式
$y < x + 1, x^{2} + y^{2} < 13$
の表す領域を $D$ とする。 $a$ を実数とするとき、点 $P (a, 2)$ が領域 $D$ に含まれるような $a$ の値の範囲を求めよ。
$x$ $y$ $O$ $y = x + 1$ $x^{2} + y^{2} = 13$
境界線（破線）は領域に含まれない
難易度 1（教科書の例題レベル）
座標平面上で、連立不等式
$y > 2 x - 1, x^{2} + y^{2} < 25$
の表す領域を $D$ とする。 $k$ を整数とするとき、点 $(k, 3)$ が領域 $D$ に含まれるような $k$ の値をすべて求めよ。
$x$ $y$ $O$ $y = 2 x - 1$ $x^{2} + y^{2} = 25$
境界線（破線）は領域に含まれない
難易度 1（教科書の例題レベル）
座標平面上に円 $C : (x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} = 25$ と、円 $C$ 上の点 $P (5, 3)$ がある。点 $P$ における円 $C$ の接線を $y = m x + n$ と表すとき、 $m$ , $n$ の値を組 $(m, n)$ の形で答えよ。
$P (5, 3)$ $x$ $y$ $O$ $(2, - 1)$ $C$
難易度 1（教科書の例題レベル）
座標平面上に円 $(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} = 25$ がある。この円上の点 $P (5, 5)$ における接線を $y = m x + n$ の形で表すとき、その右辺 $m x + n$ を求めよ。
$P (5, 5)$ $x$ $y$ $O$
円 $(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} = 25$ と点 P
難易度 1（教科書の例題レベル）
座標平面上に円 $C : (x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 10$ と、 $C$ 上の点 $P (2, 1)$ がある。点 $P$ における円 $C$ の接線の方程式を $y = m x + n$ の形で求めよ。
$P (2, 1)$ $x$ $y$ $O$
難易度 1（教科書の例題レベル）
座標平面上に、定点 $A (4, 0)$ と放物線 $y = x^{2} + 2$ がある。点 $Q$ がこの放物線上を動くとき、線分 $AQ$ の中点 $P$ の軌跡は放物線になる。その方程式を $y = (x の式)$ の形で表すとき、右辺の $x$ の式を展開した形で求めよ。
$A (4, 0)$ $Q$ $P$ $x$ $y$ $O$ $y = x^{2} + 2$
点 Q の位置の一例
難易度 1（教科書の例題レベル）
座標平面上に、定点 $A (4, - 2)$ と放物線 $C : y = x^{2}$ がある。点 $Q$ が放物線 $C$ 上を動くとき、線分 $AQ$ の中点 $P$ の軌跡は放物線 $y = f (x)$ となる。 $f (x)$ を求めよ。
$A (4, - 2)$ $Q$ $P$ $x$ $y$ $O$ $C$
点 Q の位置の一例
難易度 1（教科書の例題レベル）
座標平面上に、定点 $A (4, 2)$ と放物線 $y = x^{2}$ がある。点 $Q$ がこの放物線上を動くとき、線分 $AQ$ の中点 $P$ の軌跡を求めよ。答えは、軌跡の方程式を $y = (x の式)$ の形で表したときの右辺の式で答えよ。
$A (4, 2)$ $Q$ $P$ $x$ $y$ $O$ $y = x^{2}$
点 $Q$ の位置の一例
難易度 1（教科書の例題レベル）
座標平面上に円 $C : (x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 5$ と点 $P (4, 3)$ がある。点 $P$ から円 $C$ に引いた 2 本の接線の接点を $Q$ , $R$ とする。直線 $QR$ の方程式を $y = m x + n$ の形で求めよ。
$P (4, 3)$ $Q$ $R$ $x$ $y$ $O$ $C$
難易度 1（教科書の例題レベル）
座標平面上に円 $C : (x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 5$ と点 $P (4, 3)$ がある。点 $P$ から円 $C$ に引いた 2 本の接線の接点を $Q$ , $R$ とする。直線 $QR$ の方程式を $y = m x + n$ の形で表したとき、右辺の式 $m x + n$ を求めよ。
$P$ $Q$ $R$ $C$
位置関係を示す模式図（座標は正確ではない）
難易度 1（教科書の例題レベル）
座標平面上に、円 $C : x^{2} + y^{2} = 5$ と点 $P (3, 1)$ がある。点 $P$ から円 $C$ に 2 本の接線を引き、その接点を $Q$ , $R$ とする。2 点 $Q$ , $R$ を通る直線の方程式を $y = m x + n$ の形で表すとき、その右辺 $m x + n$ を求めよ。
$O$ $P (3, 1)$ $Q$ $R$ $x$ $y$ $C$
難易度 1（教科書の例題レベル）
実数 $x, y$ が不等式 $x^{2} + y^{2} ≦ 5$ を満たしながら動く。このとき、 $2 x + y$ の最大値と最小値をこの順に求めよ。
$x$ $y$ $O$
不等式 $x^{2} + y^{2} ≦ 5$ の表す領域（境界を含む）
難易度 1（教科書の例題レベル）
実数 $x, y$ が不等式
$(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} ≦ 5$
を満たしながら動く。このとき、 $x + 2 y$ の最大値と最小値をこの順に求めよ。
$x$ $y$ $O$ $(1, 2)$
不等式の表す領域（境界を含む）
難易度 1（教科書の例題レベル）
実数 $x, y$ が不等式 $x^{2} + y^{2} ≦ 10$ を満たしながら動く。このとき、 $x + 3 y$ の最大値と最小値をこの順に求めよ。
$x$ $y$ $O$ $10$ $10$
不等式 $x^{2} + y^{2} ≦ 10$ の表す領域（境界を含む）
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
座標平面上に 2 点 $A (- 1, 4)$ , $B (5, 1)$ がある。線分 $AB$ を $2 : 1$ に内分する点を $P$ とし、点 $P$ を通り直線 $AB$ に垂直な直線を $ℓ$ とする。 $k$ を実数とし、点 $C (k, 0)$ と直線 $ℓ$ の距離が線分 $AP$ の長さに等しいとき、 $k$ の値をすべて求めよ。
$A (- 1, 4)$ $B (5, 1)$ $P$ $C$ $x$ $y$ $O$ $ℓ$
点 $C$ は $k$ の値の一例
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
座標平面上に 3 点 $A (1, 2)$ , $B (7, 5)$ , $C (0, - 1)$ がある。線分 $AB$ を $2 : 1$ に内分する点を $P$ とし、点 $P$ を通り直線 $AB$ に垂直な直線を $ℓ$ とする。点 $C$ と直線 $ℓ$ の距離を求めよ。
$A (1, 2)$ $B (7, 5)$ $C (0, - 1)$ $P$ $x$ $y$ $O$ $ℓ$
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
座標平面上に、定点 $A (4, 2)$ と円 $C : x^{2} + y^{2} = 9$ がある。点 $Q$ が円 $C$ 上を動くとき、線分 $AQ$ を $1 : 2$ に内分する点 $P$ の軌跡は円になる。この円の中心の座標を $(a, b)$ 、半径を $r$ とするとき、組 $(a, b, r)$ を求めよ。
$A (4, 2)$ $Q$ $P$ $x$ $y$ $O$ $C$
Q の位置の一例
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
座標平面上に 2 点 $A (1, 2)$ , $B (5, - 2)$ がある。点 $P$ が
$PA^{2} + PB^{2} = 40$
を満たしながら動くとき、点 $P$ の軌跡は円になる。この円の中心の座標を $(a, b)$ 、半径を $r$ とするとき、組 $(a, b, r)$ を求めよ。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
座標平面上に 2 点 $A (0, 0)$ , $B (3, 3)$ がある。 $PA : PB = 1 : 2$ を満たす点 $P$ の軌跡は円になる。この円の中心の座標を $(a, b)$ 、半径を $r$ とするとき、組 $(a, b, r)$ を求めよ。
$A$ $B (3, 3)$ $P$ $x$ $y$
点 $P$ の位置の一例
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
実数 $x, y$ が次の 4 つの不等式をすべて満たすとする。
$x ≧ 1, y ≧ 1, x + 2 y ≦ 8, 3 x + y ≦ 9$
このとき、 $2 x + 3 y$ の最大値と最小値をこの順に求めよ。
$x$ $y$ $O$ $x = 1$ $y = 1$ $x + 2 y = 8$ $3 x + y = 9$
難易度 3（共通テストレベル）
座標平面上に、2 点 $A (0, 4)$ , $B (6, 2)$ を通り、中心が直線 $y = x$ 上にある円 $C$ がある。 $m$ を実数とし、原点を通る直線 $ℓ : y = m x$ を考える。直線 $ℓ$ が円 $C$ と異なる 2 点で交わり、その 2 交点を結ぶ線分の長さが $4$ となるような $m$ の値をすべて求めよ。
$A (0, 4)$ $B (6, 2)$ $x$ $y$ $O$ $y = x$ $ℓ$ $C$
直線 $ℓ$ は $m$ の値の一例
難易度 3（共通テストレベル）
座標平面上に 2 点 $A (- 1, 1)$ , $B (5, - 1)$ がある。 $k$ を実数の定数とし、直線
$l : k x - y - 2 k + 3 = 0$
を考える。点 $A$ と直線 $l$ の距離が、点 $B$ と直線 $l$ の距離の $2$ 倍となるような $k$ の値をすべて求めよ。
$A (- 1, 1)$ $B (5, - 1)$ $x$ $y$ $O$ $l$
直線 $l$ は $k$ の値の一例
難易度 3（共通テストレベル）
座標平面上に円 $C : x^{2} + y^{2} - 4 x - 2 y = 0$ と点 $A (5, 5)$ がある。点 $A$ から円 $C$ に引いた 2 本の接線の接点を $Q$ , $R$ とする。三角形 $AQR$ の面積を求めよ。
$A (5, 5)$ $Q$ $R$ $x$ $y$ $O$ $C$
難易度 3（共通テストレベル）
座標平面上に $3$ 点 $A (4, 6)$ , $B (- 3, 5)$ , $C (4, - 2)$ がある。 $3$ 点 $A$ , $B$ , $C$ を通る円を $K$ とする。また、 $k$ を実数の定数として、点 $P (8, 1)$ を通り傾きが $k$ の直線を $ℓ$ とする。円 $K$ と直線 $ℓ$ が異なる $2$ 点で交わるような $k$ の値の範囲を求めよ。
$A (4, 6)$ $B (- 3, 5)$ $C (4, - 2)$ $P (8, 1)$ $x$ $y$ $O$ $K$ $ℓ$
直線 $ℓ$ は $k$ の値の一例
難易度 3（共通テストレベル）
座標平面上に 2 点 $A (4, 6)$ , $B (8, 0)$ と 2 直線
$ℓ_{1} : 3 x - 4 y + 4 = 0, ℓ_{2} : 4 x + 3 y - 12 = 0$
がある。線分 $AB$ 上の点 $P$ （両端を除く）のうち、 $P$ から $ℓ_{1}$ までの距離と $P$ から $ℓ_{2}$ までの距離が等しくなるものはただ 1 つ存在する。その点 $P$ について $AP : PB = k : 1$ とするとき、正の実数 $k$ の値を求めよ。
$A (4, 6)$ $B (8, 0)$ $P$ $x$ $y$ $O$ $ℓ_{1}$ $ℓ_{2}$
点 $P$ の位置は一例
難易度 3（共通テストレベル）
座標平面上に 3 直線
$ℓ_{1} : y = 0, ℓ_{2} : 12 x - 5 y = 0, ℓ_{3} : 4 x + 3 y - 56 = 0$
がある。これら 3 直線で囲まれた三角形に内接する円の中心の座標を求めよ。
$x$ $y$ $O$ $ℓ_{1}$ $ℓ_{2}$ $ℓ_{3}$
難易度 3（共通テストレベル）
座標平面上に 2 つの円
$C_{1} : x^{2} + y^{2} = 1, C_{2} : x^{2} + y^{2} - 8 x - 4 y + 11 = 0$
がある。 $C_{1}$ と $C_{2}$ の両方に接する直線（共通接線）のうち、 $x$ 軸にも $y$ 軸にも平行でないものは 2 本ある。この 2 本の直線と $y$ 軸で囲まれる三角形の面積を求めよ。
$x$ $y$ $O$ $C_{1}$ $C_{2}$
難易度 3（共通テストレベル）
実数 $x, y$ が次の 2 つの不等式を同時に満たしている。
$x + y ≧ 2, y ≦ 4 - x^{2}$
このとき、 $x^{2} + y^{2}$ の最大値と最小値をこの順に求めよ。
$x$ $y$ $O$ $x + y = 2$ $y = 4 - x^{2}$
難易度 3（共通テストレベル）
座標平面上に 2 つの円
$C_{1} : x^{2} + y^{2} = 4, C_{2} : (x - 6)^{2} + (y - 3)^{2} = 1$
がある。 $C_{1}$ と $C_{2}$ の両方に接する直線のうち、 $C_{1}$ と $C_{2}$ がその直線に関して互いに反対側にあるものはちょうど 2 本ある。この 2 本の直線と $y$ 軸で囲まれた三角形の面積を求めよ。
$x$ $y$ $O$ $C_{1}$ $C_{2}$
難易度 3（共通テストレベル）
座標平面上に円 $C : x^{2} + y^{2} = 4$ と点 $A (4, 0)$ がある。 $m$ を実数とし、点 $A$ を通る直線 $ℓ : y = m (x - 4)$ を考える。 $ℓ$ が円 $C$ と異なる 2 点 $P$ , $Q$ で交わるように $m$ が動くとき、線分 $PQ$ の中点 $M$ の軌跡の長さを求めよ。
$A (4, 0)$ $P$ $Q$ $M$ $x$ $y$ $O$ $C$ $ℓ$
$m$ の値の一例
難易度 3（共通テストレベル）
点 $(2, 1)$ を通り、 $x$ 軸と $y$ 軸の両方に接する円は 2 つある。そのうち半径が大きいほうの円を $C$ とする。直線 $ℓ : 3 x + 4 y = 20$ が円 $C$ によって切り取られてできる弦の長さを求めよ。
$(2, 1)$ $x$ $y$ $O$ $C$ $ℓ$
破線は半径が小さいほうの円
難易度 3（共通テストレベル）
座標平面上に 2 点 $A (1, 4)$ , $B (5, 2)$ と直線 $ℓ : y = 2 x - 1$ がある。点 $P$ は直線 $ℓ$ 上にあり、三角形 $PAB$ の面積が $14$ であるとする。 $P$ が第 1 象限にあるとき、 $P$ の座標を求めよ。
$A (1, 4)$ $B (5, 2)$ $P$ $x$ $y$ $O$ $ℓ$
点 $P$ の位置は一例
難易度 3（共通テストレベル）
実数 $x, y$ が次の 2 つの不等式を同時に満たしながら動く。
$y ≧ x^{2}, y ≦ x + 2$
このとき、 $\frac{y + 1}{x + 3}$ の最大値と最小値をこの順に求めよ。
$x$ $y$ $O$ $y = x^{2}$ $y = x + 2$
難易度 3（共通テストレベル）
$a$ を実数の定数とする。座標平面上の円
$C : x^{2} + y^{2} - 2 a x + 2 y + a^{2} - 3 = 0$
と直線 $ℓ : 3 x + 4 y - 6 = 0$ が異なる 2 点で交わり、その 2 交点を結ぶ線分の長さが $23$ 以上となるような $a$ の値の範囲を求めよ。
$x$ $y$ $O$ $C$ $ℓ$
$a$ の値の一例
難易度 3（共通テストレベル）
座標平面上で、点 $P (x, y)$ が円 $x^{2} + y^{2} = 1$ の周および内部を動く。このとき、座標が $(x + y, x y)$ である点 $Q$ が動く範囲の面積を求めよ。
$P$ $Q$ $x$ $y$ $O$ $x^{2} + y^{2} ≦ 1$
点 P の位置の一例と、それに対応する点 Q
難易度 3（共通テストレベル）
実数 $x, y$ が次の不等式を満たしながら動く。 $x^{2} ≦ y ≦ 4$ このとき、 $x^{2} - 6 x + y^{2}$ の最大値と最小値をこの順に求めよ。
$x$ $y$ $O$ $y = x^{2}$ $y = 4$
放物線 $y = x^{2}$ と直線 $y = 4$
難易度 3（共通テストレベル）
座標平面上に、2 つの円 $C_{0} : x^{2} + (y - 1)^{2} = 1, C_{1} : (x - 4)^{2} + (y - 4)^{2} = 16$ がある。円 $D_{0}$ を $C_{1}$ とし、正の整数 $n$ に対して、円 $D_{n}$ を次のように順に定める。
「 $D_{n}$ は、 $y > 0$ の部分にあって $x$ 軸に接し、 $C_{0}$ と $D_{n - 1}$ の両方に外接する円のうち、半径が最小のものである。」
$D_{n}$ の半径を $n$ の式で表せ。
$x$ $y$ $O$ $C_{0}$ $C_{1} (= D_{0})$
円 $C_{0}$ と $C_{1}$ （図は正確とは限りません）
難易度 3（共通テストレベル）
実数 $a, b$ は、 $0 ≦ x ≦ 1$ を満たすすべての実数 $x$ に対して $x^{2} - a x - b ≦ \frac{1}{4}$ が成り立つという条件を満たしている。このような $a$ の最大値と最小値をこの順に求めよ。
$x$ $y$ $O$ $y = x^{2} + \frac{1}{4}$ $y = x^{2} - \frac{1}{4}$ $y = a x + b$ $1$
直線 $y = a x + b$ の一例（ $0 ≦ x ≦ 1$ で 2 つの放物線のあいだにある）
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
座標平面上に円 $C : x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y - 20 = 0$ がある。 $k$ を実数とし、直線 $l : y = k (x - 3) + 4$ を考える。 $l$ と $C$ の 2 つの交点を $A, B$ 、円 $C$ の中心を $Q$ とする。 $k$ が三角形 $Q A B$ ができる範囲のすべての実数値をとって変化するとき、三角形 $Q A B$ の面積の最大値を求めよ。
$Q$ $A$ $B$ $x$ $y$ $O$ $C$ $l$
$k$ の値の一例
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
座標平面上に円 $C : x^{2} + y^{2} = 1$ と直線 $ℓ : 3 x + 4 y = 10$ がある。点 $P$ が直線 $ℓ$ 上を動くとき、 $P$ から円 $C$ に引いた 2 本の接線の接点を $A$ , $B$ とする。三角形 $P A B$ の面積の最小値を求めよ。
$P$ $A$ $B$ $x$ $y$ $O$ $C$ $ℓ$
点 $P$ の位置の一例
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
座標平面上に円 $C : x^{2} + y^{2} = 5$ と直線 $l : x + 2 y = 10$ がある。点 $P$ が直線 $l$ 上を動く。 $P$ から円 $C$ に 2 本の接線を引き、その接点を $A$ , $B$ とする。点 $R (2, 3)$ と直線 $AB$ の距離の最大値を求めよ。
$O$ $P$ $A$ $B$ $R$ $x$ $y$ $l$ $C$
$P$ の位置の一例
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
実数 $x, y$ が次の 2 つの不等式を同時に満たしながら動く。
$x^{2} + y^{2} ≦ 9, y ≧ x^{2} - 3$
このとき、 $2 x + y$ の最大値と最小値をこの順に求めよ。
$x$ $y$ $O$ $x^{2} + y^{2} = 9$ $y = x^{2} - 3$
影の部分が 2 つの不等式を同時に満たす点の範囲
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
座標平面上に 2 点 $A (4, 1)$ , $B (5, 2)$ がある。点 $P$ は $x$ 軸上を、点 $Q$ は直線 $y = x$ 上をそれぞれ動く。このとき、折れ線の長さ $AP + PQ + QB$ の最小値を求めよ。
$A (4, 1)$ $B (5, 2)$ $P$ $Q$ $x$ $y$ $O$ $y = x$
P, Q の位置の一例
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
実数 $x, y$ が次の 2 つの不等式を同時に満たしながら動く。
$y ≧ 0, y ≦ - x^{2} + 4 x$
このとき、 $\frac{y + 2}{x + 1}$ の最大値と最小値をこの順に求めよ。
$x$ $y$ $O$ $y = - x^{2} + 4 x$
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
座標平面上に、放物線 $P : y = x^{2} + 1$ と円 $C : x^{2} + y^{2} = 1$ がある。放物線 $P$ と円 $C$ の両方に接する直線をすべて考えると、それらはちょうど 3 本あり、三角形をつくる。この三角形の面積を求めよ。
$x$ $y$ $O$ $P$ $C$
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
$t$ を $t ≧ 1$ を満たす実数とし、座標平面上の 2 直線
$ℓ_{1} : t x - y = 0, ℓ_{2} : x + t y - 4 = 0$
を考える。 $ℓ_{1}$ と $ℓ_{2}$ の交点を $P (x, y)$ とする。 $t$ が $t ≧ 1$ の範囲を動くとき、 $x + y$ のとりうる値の範囲を求めよ。
$P$ $x$ $y$ $ℓ_{1}$ $ℓ_{2}$ O
$t = 2$ の場合の一例
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
座標平面上に円 $C : x^{2} + y^{2} - 4 x - 4 y + 4 = 0$ がある。円 $C$ の接線 $ℓ$ が $x$ 軸の正の部分と点 $A$ で、 $y$ 軸の正の部分と点 $B$ で交わり、円 $C$ が三角形 $OAB$ の内部（周を含む）に含まれているとする。ただし $O$ は原点である。このような接線 $ℓ$ をすべて考えるとき、線分 $AB$ の長さの最小値を求めよ。
$A$ $B$ $x$ $y$ $O$ $C$ $ℓ$
接線 $ℓ$ の一例
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
座標平面上に、原点 $O$ を中心とする半径 $5$ の円 $C : x^{2} + y^{2} = 25$ と点 $A (1, 0)$ がある。円 $C$ 上の 2 点 $P$ , $Q$ が $∠ PAQ = 9 0^{\circ}$ を満たしながら動くとき、点 $A$ から直線 $PQ$ に下ろした垂線と直線 $PQ$ との交点を $H$ とする。点 $H$ の軌跡の長さを求めよ。
$A$ $P$ $Q$ $H$ $x$ $y$ $O$ $C$
$P$ , $Q$ の位置の一例