図形と方程式の問題

方針　$x+2y=k$ とおき、この式を直線とみて、直線が領域と共有点をもつような $k$ の値の範囲を調べます。

1. 領域を確認する

不等式 $(x-1{)}^2+(y-2{)}^2\leqq 5$ の表す領域は、中心 $(1,2)$、半径 $\sqrt{5}$ の円の周および内部です。

2. $x+2y=k$ を直線とみる

$x+2y=k$ は $y=-\frac{1}{2}x+\frac{k}{2}$ と変形でき、傾き $-\frac{1}{2}$、$y$ 切片 $\frac{k}{2}$ の直線を表します。点 $(x,y)$ が領域内にあって $x+2y=k$ となるのは、この直線が領域と共有点をもつときです。したがって、直線と領域が共有点をもつような $k$ の範囲を求めればよいです。

3. 共有点をもつ条件

直線 $x+2y-k=0$ が円の周および内部と共有点をもつのは、円の中心 $(1,2)$ と直線の距離 $d$ が半径 $\sqrt{5}$ 以下のときです。点と直線の距離の公式より
$$d=\frac{|1+2\cdot 2-k|}{\sqrt{1^2+2^2}}=\frac{|5-k|}{\sqrt{5}}$$
なので、条件は
$$\frac{|5-k|}{\sqrt{5}}\leqq \sqrt{5}\text{すなわち}|5-k|\leqq 5$$
よって $-5\leqq k-5\leqq 5$ より
$$0\leqq k\leqq 10$$

4. 最大・最小になるとき

$k=10$ と $k=0$ のとき、直線は円に接します。接点は、円の中心 $(1,2)$ を通り直線に垂直な直線（傾き $2$）$y=2x$ と円の交点です。$y=2x$ を円の方程式に代入すると $(x-1{)}^2+(2x-2{)}^2=5$、すなわち $5(x-1{)}^2=5$ より $x=2,0$ です。

• $k=10$ のとき接点は $(2,4)$（$2+2\cdot 4=10$ で確かに直線上）
• $k=0$ のとき接点は $(0,0)$（$0+2\cdot 0=0$ で確かに直線上）

したがって、$x+2y$ は $(x,y)=(2,4)$ のとき最大値 $10$、$(x,y)=(0,0)$ のとき最小値 $0$ をとります。

答え　最大値 $10$、最小値 $0$

円 $(x-1{)}^2+(y-2{)}^2\leqq 5$ は中心 $(1,2)$、半径 $\sqrt{5}$ の円の周と内部である。
$x+2y=k$ とおくと、直線 $x+2y-k=0$ が円板と共有点をもつ条件は、中心から直線までの距離が半径以下になることである。
$$\frac{|1+4-k|}{\sqrt{1^2+2^2}}=\frac{|5-k|}{\sqrt{5}}\leqq \sqrt{5}$$
よって $|k-5|\leqq 5$ となり、$0\leqq k\leqq 10$ を得る。

別解（コーシー・シュワルツの不等式）：$x+2y=5+(x-1)+2(y-2)$ であり、
$$\{(x-1)+2(y-2){\}}^2\leqq (1+4)\{(x-1{)}^2+(y-2{)}^2\}\leqq 25$$
より $-5\leqq (x-1)+2(y-2)\leqq 5$ となる。

等号成立は $(x-1,y-2)=t(1,2)$ のときで、$5t^2=5$ より $t=\pm 1$ となる。
- $t=1$ のとき $(x,y)=(2,4)$ で、$x+2y=10$ となる。
- $t=-1$ のとき $(x,y)=(0,0)$ で、$x+2y=0$ となる。

検算：$(2,4)$ では $1+4=5$、$(0,0)$ では $1+4=5$ で、いずれも円周上にある。

したがって、最大値は $10$、最小値は $0$ である。