図形と方程式の問題

領域 $D$ の把握

2 つの不等式を同時に満たす点 $(x,y)$ 全体を $D$ とする。

円 $x^2+y^2=9$ と放物線 $y=x^2-3$ の交点を求める。$x^2=y+3$ を円の式に代入すると
$$y+3+y^2=9⟺y^2+y-6=0⟺(y+3)(y-2)=0$$
となるので、$y=-3$ または $y=2$ である。
- $y=-3$ のとき $x=0$ となり、交点は $(0,-3)$（放物線の頂点）である。
- $y=2$ のとき $x=\pm \sqrt{5}$ となり、交点は $(\pm \sqrt{5},2)$ である。

次に、$D$ に含まれる点の $x$ の範囲を調べる。

$\sqrt{5}<|x|\leqq 3$ のとき、$x^2-3>2$ である。一方、円の内部の点は $y\leqq \sqrt{9-x^2}<2$ を満たす。よって、このような $x$ では 2 つの不等式を同時に満たす $y$ は存在しない。$|x|>3$ のときも、円の内部の点が存在しない。

$|x|\leqq \sqrt{5}$ のときは $0\leqq x^2\leqq 5$ である。$x^2\leqq 3$ ならば $3-x^2\geqq 0$ であり、
$$(3-x^2{)}^2-(9-x^2)=x^4-5x^2=x^2(x^2-5)\leqq 0$$
が成り立つ。よって $3-x^2\leqq \sqrt{9-x^2}$、すなわち $x^2-3\geqq -\sqrt{9-x^2}$ となる。$3<x^2\leqq 5$ ならば $x^2-3>0>-\sqrt{9-x^2}$ である。

どちらの場合も、放物線の点は円の下半分より上にある。したがって
$$D=\left\{(x,y)|-\sqrt{5}\leqq x\leqq \sqrt{5},x^2-3\leqq y\leqq \sqrt{9-x^2}\right\}$$
である。

最大値

$x$ を固定すると、$2x+y$ は $y$ が最大のとき、すなわち $y=\sqrt{9-x^2}$ のとき最大になる。そこで
$$f(x)=2x+\sqrt{9-x^2}(-\sqrt{5}\leqq x\leqq \sqrt{5})$$
の最大値を調べればよい。微分すると
$$f^{\prime }(x)=2-\frac{x}{\sqrt{9-x^2}}$$
となる。
- $x\leqq 0$ のときは明らかに $f^{\prime }(x)>0$ である。
- $0<x\leqq \sqrt{5}$ のときは $\sqrt{9-x^2}\geqq 2$ であるから、$\frac{x}{\sqrt{9-x^2}}\leqq \frac{\sqrt{5}}{2}<2$ となり、やはり $f^{\prime }(x)>0$ である。

よって $f(x)$ は単調に増加し、最大値は
$$f(\sqrt{5})=2\sqrt{5}+2$$
である（$x=\sqrt{5},y=2$ のとき）。

（図形的には、直線 $2x+y=k$ が円 $x^2+y^2=9$ に接する点 $\left(\frac{6}{\sqrt{5}},\frac{3}{\sqrt{5}}\right)$ は $\frac{6}{\sqrt{5}}>\sqrt{5}$ より $D$ に含まれない。そのため、最大値は接点ではなく角の点 $(\sqrt{5},2)$ でとる。）

最小値

$x$ を固定すると、$2x+y$ は $y=x^2-3$ のとき最小になる。そこで
$$g(x)=2x+x^2-3=(x+1{)}^2-4(-\sqrt{5}\leqq x\leqq \sqrt{5})$$
を考える。$x=-1$ は範囲内にあるので、最小値は $g(-1)=-4$ である（$x=-1,y=-2$ のとき）。点 $(-1,-2)$ は $1+4=5\leqq 9$ を満たし、確かに $D$ に含まれる。

以上より、最大値は $2+2\sqrt{5}$、最小値は $-4$ である。

領域は円板 $x^2+y^2\leqq 9$ と放物線 $y=x^2-3$ の上側の共通部分である。

円と放物線の交点を求める。$x^2=y+3$ を円の式に代入すると $y^2+y-6=0$ となり、$y=2,-3$。対応する点は $(\pm \sqrt{5},2)$ と $(0,-3)$ である。

$2x+y=k$ とおき、直線 $y=-2x+k$ が領域と共有点をもつ範囲で $k$ の最大・最小を考える。

【最大値】円との接点は $k=3\sqrt{5}$ のときで、接点は $\left(\frac{6}{\sqrt{5}},\frac{3}{\sqrt{5}}\right)$ である。ここでは $x=\frac{6}{\sqrt{5}}>\sqrt{5}$ であり、放物線の下側にあるため領域外である。

よって境界の円弧部分($|x|\leqq \sqrt{5},y\geqq 2$)では、$k$ は $x$ が大きいほど大きく、端点 $(\sqrt{5},2)$ で最大になる。

放物線部分では $k=x^2+2x-3=(x+1{)}^2-4$($-\sqrt{5}\leqq x\leqq \sqrt{5}$)であり、$x=\sqrt{5}$ で最大になる。値は $2+2\sqrt{5}$。

どちらも $(\sqrt{5},2)$ で、最大値は $2\sqrt{5}+2$ である。

【最小値】放物線部分では $x=-1$ で $k=-4$ となる。点 $(-1,-2)$ は $1+4=5\leqq 9$ より円の内部にあり、領域に含まれる。

円との接点 $k=-3\sqrt{5}$ は、接点 $\left(-\frac{6}{\sqrt{5}},-\frac{3}{\sqrt{5}}\right)$ が領域外なので不適である。円弧部分の端点 $(-\sqrt{5},2)$ では $k=2-2\sqrt{5}\approx -2.47>-4$ である。

領域は凸集合の共通部分なので凸であり、直線 $2x+y=-4$ は $(-1,-2)$ で放物線に接する。したがって最小値は $-4$ である。

【検算】$(\sqrt{5},2)$ では $x^2+y^2=9$ かつ $y=5-3=2$ となり条件を満たす。$k=2\sqrt{5}+2\approx 6.47$ であり、これは $3\sqrt{5}\approx 6.71$ より小さい。$(-1,-2)$ では $k=-4$ である。

答え:最大値 $2+2\sqrt{5}$、最小値 $-4$。