領域における最大・最小

点 $(x, y)$ が領域を動くとき、 $a x + b y = k$ とおいて直線が領域と共有点をもつ $k$ の範囲を調べ（境界の交点を通る・円に接するなど）、 $a x + b y$ の最大値・最小値を求められる

前提

不等式の表す領域（数学II 図形と方程式）
円の接線（数学II 図形と方程式）

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算数中学高校大学大学院

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円の接線（数学II 図形と方程式）

説明

点 $(x, y)$ が不等式で表される領域の中を動くとき、 $x + y$ や $2 x - y$ のような1次式 $a x + b y$ がとる最大値・最小値を求める技能です。 $a x + b y = k$ とおくと、これは平行な直線の集まりになります。その直線を動かして、領域と共有点をもつ $k$ の範囲を調べます。条件つきで利益や費用を最大・最小にする問題や、円の内部を動く点についての問題で使います。

なぜそうしてよいのか

$a x + b y$ の値を $k$ とおくと、 $a x + b y = k$ は $x y$ 平面上の直線です。「点 $(x, y)$ が領域内にあり、そこで $a x + b y = k$ となる」ことは、「直線 $a x + b y = k$ が領域と共有点をもつ」ことと同じです。したがって、 $a x + b y$ のとりうる値の範囲は、直線 $a x + b y = k$ が領域と共有点をもつような $k$ の範囲と一致します。

$b \neq = 0$ のとき、この直線は $y = - \frac{a}{b} x + \frac{k}{b}$ と書けます。傾き $- \frac{a}{b}$ は $k$ によらず一定で、 $k$ を変えると $y$ 切片 $\frac{k}{b}$ だけが変わります。つまり、平行移動する直線の位置で $k$ の大小を読み取れます。 $b > 0$ なら $y$ 切片が大きいほど $k$ が大きく、 $b < 0$ なら $y$ 切片が大きいほど $k$ は小さくなります。

直線を平行移動していくと、領域と共有点をもつ限界の位置で $k$ が最大・最小になります。領域が直線で囲まれた多角形なら、限界の位置は境界の交点（頂点）を通るときです。どの頂点になるかは、動かす直線の傾きを境界の直線の傾きと比べて決めます。領域が円の周および内部なら、限界の位置は円に接するときで、「中心と直線の距離＝半径」から $k$ が求まります。

手順

領域を図示し、境界の直線どうしの交点（頂点）の座標を求める。境界を含むか（ $≦$ か $<$ か）も確認する。
$a x + b y = k$ とおき、 $b \neq = 0$ なら $y = - \frac{a}{b} x + \frac{k}{b}$ と変形する。傾き $- \frac{a}{b}$ の直線で、 $y$ 切片が $\frac{k}{b}$ であることを押さえる。
傾き $- \frac{a}{b}$ を境界の直線の傾きと比べ、直線を平行移動したとき領域と共有点をもつ限界の位置を調べる。多角形なら頂点を通る位置、円なら接する位置（中心と直線の距離 $=$ 半径）になる。
限界の位置での $k$ を計算する。 $b > 0$ なら $y$ 切片が最大のとき $k$ が最大、 $b < 0$ なら $y$ 切片が最小のとき $k$ が最大になる。
そのときの点 $(x, y)$ が領域に含まれることを確かめ、最大値・最小値と、それをとる点を答える。

例題

連立不等式 $x ≧ 0$ , $y ≧ 0$ , $x + 2 y ≦ 8$ , $3 x + y ≦ 9$ の表す領域を点 $(x, y)$ が動くとき、 $x + y$ の最大値を求めよ。

例題の解答

【手順1】領域は直線 $x = 0$ , $y = 0$ , $x + 2 y = 8$ , $3 x + y = 9$ で囲まれた四角形で、境界を含む。頂点を求める。 $x + 2 y = 8$ と $3 x + y = 9$ の交点は、 $y = 9 - 3 x$ を代入して $x + 2 (9 - 3 x) = 8$ より $x = 2$ 、 $y = 3$ となる。頂点は $(0, 0)$ , $(3, 0)$ , $(2, 3)$ , $(0, 4)$ である。
【手順2】 $x + y = k$ とおくと $y = - x + k$ となる。これは傾き $- 1$ 、 $y$ 切片 $k$ の直線である。
【手順3】境界の傾きは $x + 2 y = 8$ が $- \frac{1}{2}$ 、 $3 x + y = 9$ が $- 3$ で、 $- 3 < - 1 < - \frac{1}{2}$ である。傾き $- 1$ の直線を上へ平行移動すると、領域と共有点をもつ最後の位置は頂点 $(2, 3)$ を通るときになる。
【手順4】 $b = 1 > 0$ なので、 $y$ 切片が最大のとき $k$ が最大になる。そのとき $k = 2 + 3 = 5$ である。念のため他の頂点の値も計算すると、 $(3, 0)$ で $3$ 、 $(0, 4)$ で $4$ 、 $(0, 0)$ で $0$ となり、どれも $5$ より小さい。
【手順5】点 $(2, 3)$ は境界上にあり、境界は領域に含まれる。よって $x = 2$ , $y = 3$ のとき最大値 $5$ をとる。

答え: $5$

よくある誤り

傾きを比べずに「境界の直線どうしの交点で必ず最大になる」としてしまう誤り。正しくは、動かす直線の傾きと境界の傾きを比べて頂点を決める。例題の領域で $x + 3 y$ を最大にする場合、 $y = - \frac{1}{3} x + \frac{k}{3}$ の傾き $- \frac{1}{3}$ は $- \frac{1}{2}$ より大きい。このため最大は $(2, 3)$ での $11$ ではなく、 $(0, 4)$ での $12$ になる。
$y$ の係数が負のときも「 $y$ 切片が最大なら $k$ も最大」としてしまう誤り。正しくは、 $x - y = k$ は $y = x - k$ で $y$ 切片が $- k$ なので、切片が最小のとき $k$ が最大になる。例題の領域では $(3, 0)$ で最大値 $3$ をとる。
円の場合に、中心と直線の距離を半径ではなく半径の2乗と等しくしてしまう誤り。例えば領域 $x^{2} + y^{2} ≦ 2$ で $x + y = k$ が接する条件は、正しくは $\frac{∣ k ∣}{2} = 2$ である。これより $k = \pm 2$ となり、最大値 $2$ 、最小値 $- 2$ が得られる（ $\frac{∣ k ∣}{2} = 2$ とするのは誤り）。
境界を含まない領域（ $<$ の不等式）でも、頂点や接点での値を最大値としてしまう誤り。正しくは、その点が領域に含まれなければ値に近づくだけでとらない。例えば $x^{2} + y^{2} < 2$ では $x + y < 2$ で、最大値は存在しない。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

線形計画の双対定理（大学院数学凸最適化・組合せ最適化）
線形計画問題の定式化と標準形（大学数学最適化・線形計画法）