2直線の平行・垂直

傾きの条件（平行なら $m_{1} = m_{2}$ 、垂直なら $m_{1} m_{2} = - 1$ ）を使って、与えられた点を通り与えられた直線に平行・垂直な直線、線分の垂直二等分線、直線に関して対称な点を求められる

前提

直線の方程式（数学II 図形と方程式）
2点間の距離と内分点・外分点（数学II 図形と方程式）

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算数中学高校大学大学院

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2点間の距離と内分点・外分点（数学II 図形と方程式）

説明

傾きどうしの関係を調べると、2直線が平行か垂直かを判定できます。平行なら傾きが等しく $m_{1} = m_{2}$ 、垂直なら傾きの積が $m_{1} m_{2} = - 1$ です。これを使うと、ある点を通り与えられた直線に平行・垂直な直線を求められます。線分の垂直二等分線や、直線に関して対称な点も求められます。

なぜそうしてよいのか

【平行の条件】傾き $m$ は「 $x$ が $1$ 増えたときの $y$ の増え方」で、直線の向きを表します。平行な2直線は同じ向きなので傾きが等しくなります。逆に $y = m x + n_{1}$ と $y = m x + n_{2}$ （ $n_{1} \neq = n_{2}$ ）が交わるとすると $m x + n_{1} = m x + n_{2}$ から $n_{1} = n_{2}$ となって矛盾するので、この2直線は交わらず平行です。なお $n_{1} = n_{2}$ なら2直線は一致します。

【垂直の条件】2直線を平行移動しても、傾きも2直線のなす角も変わりません。そこで、どちらも原点を通る $y = m_{1} x$ と $y = m_{2} x$ （ $m_{1} \neq = m_{2}$ ）で考えます。それぞれの上に点 $A (1, m_{1})$ 、 $B (1, m_{2})$ をとります。三平方の定理とその逆から、 $∠ A O B = 9 0^{\circ}$ となるのは $O A^{2} + O B^{2} = A B^{2}$ のときに限られます。2点間の距離の公式を使うと、この式は次のようになります。 $(1 + m_{1}^{2}) + (1 + m_{2}^{2}) = (m_{1} - m_{2})^{2}$ 展開して整理すると $2 = - 2 m_{1} m_{2}$ 、つまり $m_{1} m_{2} = - 1$ です。

【傾きがない場合】 $x$ 軸に垂直な直線 $x = k$ には傾きがありません。 $x = k$ どうしは互いに平行です。また、 $x = k$ と傾き $0$ の直線 $y = c$ は互いに垂直です。この組合せは $m_{1} m_{2} = - 1$ では表せないので、別に扱います。

手順

与えられた直線の傾き $m_{1}$ を求める。一般形 $a x + b y + c = 0$ で $b \neq = 0$ なら $y = - \frac{a}{b} x - \frac{c}{b}$ と変形して $m_{1} = - \frac{a}{b}$ 。 $b = 0$ なら $y$ 軸に平行な直線 $x = - \frac{c}{a}$ である
求める直線の傾き $m$ を決める。平行なら $m = m_{1}$ 、垂直なら $m_{1} m = - 1$ より $m = - \frac{1}{m _{1}}$ （ $m_{1} \neq = 0$ のとき）。 $m_{1} = 0$ の直線に垂直な直線は $x = k$ の形になり、 $x = k$ の形の直線に垂直な直線は $y = c$ の形になる
通る点 $(x_{1}, y_{1})$ と傾き $m$ から $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ を作り、問われた形に整理する
線分 $A B$ の垂直二等分線を求めるときは、まず中点 $M$ を求める。次に $A B$ の傾きから垂直な傾きを出し、 $M$ を通る直線を作る
直線 $ℓ$ に関して点 $P$ と対称な点 $Q (p, q)$ を求めるときは、2つの条件を連立して $p, q$ を求める。条件は「 $P Q ⊥ ℓ$ （傾きの積が $- 1$ ）」と「 $P Q$ の中点が $ℓ$ 上にある」の2つ

例題

点 $(2, 1)$ を通り、直線 $2 x + 3 y - 6 = 0$ に垂直な直線の方程式を $y = a x + b$ の形で求めよ。

例題の解答

手順1： $2 x + 3 y - 6 = 0$ を $y$ について解くと $y = - \frac{2}{3} x + 2$ となるので、傾きは $m_{1} = - \frac{2}{3}$ です。

手順2：求める直線は垂直なので、傾きを $m$ とすると $- \frac{2}{3} \cdot m = - 1$ が成り立ちます。よって $m = \frac{3}{2}$ です。

手順3：点 $(2, 1)$ を通るので、 $y - 1 = \frac{3}{2} (x - 2)$ です。整理すると $y = \frac{3}{2} x - 3 + 1 = \frac{3}{2} x - 2$ となります。

確かめ：傾きの積は $(- \frac{2}{3}) \cdot \frac{3}{2} = - 1$ です。また $x = 2$ のとき $y = 3 - 2 = 1$ となり、点 $(2, 1)$ を通っています。

答え： $y = \frac{3}{2} x - 2$

答え: $\frac{3}{2} x - 2$

よくある誤り

垂直な直線の傾きを $- m_{1}$ や $\frac{1}{m _{1}}$ にしてしまう誤り。正しくは $m = - \frac{1}{m _{1}}$ です。例えば $m_{1} = - \frac{2}{3}$ なら $m = \frac{3}{2}$ で、 $\frac{2}{3}$ や $- \frac{3}{2}$ ではありません。
一般形 $a x + b y + c = 0$ の傾きを $\frac{a}{b}$ や $- \frac{b}{a}$ としてしまう誤り。正しくは $- \frac{a}{b}$ （ $b \neq = 0$ ）です。例えば $2 x + 3 y - 6 = 0$ の傾きは $- \frac{2}{3}$ です。
傾き $0$ の直線 $y = c$ に垂直な直線の傾きを $- \frac{1}{0}$ として計算しようとしたり、「傾き $0$ 」と答えてしまう誤り。 $0$ では割れません。正しくは、 $y = c$ に垂直な直線は $x = k$ の形です。例えば $y = 3$ に垂直で点 $(2, 1)$ を通る直線は $x = 2$ です。
対称な点を求めるときに、条件を片方しか使わない誤り。「 $P Q$ の中点が $ℓ$ 上にある」だけでも、「 $P Q ⊥ ℓ$ 」だけでも点は1つに決まりません。正しくは、2つの条件を両方立てて連立します。例えば $ℓ : y = x$ に関して $P (3, 1)$ と対称な点は、 $\frac{q - 1}{p - 3} \cdot 1 = - 1$ と $\frac{q + 1}{2} = \frac{p + 3}{2}$ を連立して $Q (1, 3)$ です。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

円の接線（数学II 図形と方程式）
接点を結ぶ直線と直交する 2 接線（数学C 平面上の曲線）