図形と方程式の問題

対称点をとる 点 $\mathrm{A}(4,1)$ の $x$ 軸に関する対称点を ${\mathrm{A}}^{\prime }$ とすると ${\mathrm{A}}^{\prime }(4,-1)$。点 $\mathrm{B}(5,2)$ の直線 $y=x$ に関する対称点を ${\mathrm{B}}^{\prime }$ とすると、$x$ 座標と $y$ 座標を入れかえて ${\mathrm{B}}^{\prime }(2,5)$。

$\mathrm{P}$ は $x$ 軸上にあるので $\mathrm{AP}={\mathrm{A}}^{\prime }\mathrm{P}$、$\mathrm{Q}$ は $y=x$ 上にあるので $\mathrm{QB}=\mathrm{Q}{\mathrm{B}}^{\prime }$ である。よって
$$\mathrm{AP}+\mathrm{PQ}+\mathrm{QB}={\mathrm{A}}^{\prime }\mathrm{P}+\mathrm{PQ}+\mathrm{Q}{\mathrm{B}}^{\prime }\geqq {\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }$$
が成り立つ（折れ線の長さは両端を結ぶ線分の長さ以上）。
$${\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }=\sqrt{(2-4{)}^2+(5-(-1){)}^2}=\sqrt{4+36}=2\sqrt{10}.$$

等号が成り立つか 等号は ${\mathrm{A}}^{\prime }$, $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$, ${\mathrm{B}}^{\prime }$ がこの順に一直線上に並ぶときに成り立つ。線分 ${\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }$ 上の点は $0\leqq t\leqq 1$ を用いて $(4-2t,-1+6t)$ と表せる。
- $x$ 軸との交点: $-1+6t=0$ より $t=\frac{1}{6}$、点 $\left(\frac{11}{3},0\right)$
- 直線 $y=x$ との交点: $4-2t=-1+6t$ より $t=\frac{5}{8}$、点 $\left(\frac{11}{4},\frac{11}{4}\right)$

どちらも線分 ${\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }$ 上にあり、$\frac{1}{6}<\frac{5}{8}$ なので ${\mathrm{A}}^{\prime }\to \mathrm{P}\to \mathrm{Q}\to {\mathrm{B}}^{\prime }$ の順に並ぶ。したがって $\mathrm{P}\left(\frac{11}{3},0\right)$, $\mathrm{Q}\left(\frac{11}{4},\frac{11}{4}\right)$ のとき等号が成立する。

以上より、最小値は $2\sqrt{10}$ である。

$\mathrm{A}(4,1)$ を $x$ 軸に関して対称移動した点を ${\mathrm{A}}^{\prime }(4,-1)$、$\mathrm{B}(5,2)$ を直線 $y=x$ に関して対称移動した点を ${\mathrm{B}}^{\prime }(2,5)$ とする。

$\mathrm{P}$ が $x$ 軸上にあるので $\mathrm{AP}={\mathrm{A}}^{\prime }\mathrm{P}$、$\mathrm{Q}$ が $y=x$ 上にあるので $\mathrm{QB}=\mathrm{Q}{\mathrm{B}}^{\prime }$。よって
$$\mathrm{AP}+\mathrm{PQ}+\mathrm{QB}={\mathrm{A}}^{\prime }\mathrm{P}+\mathrm{PQ}+\mathrm{Q}{\mathrm{B}}^{\prime }\ge {\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }$$
${\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }=\sqrt{(2-4{)}^2+(5+1{)}^2}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$。

等号成立の確認: 直線 ${\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }$ は $y=-3x+11$。$x$ 軸との交点 $\mathrm{P}\left(\frac{11}{3},0\right)$、直線 $y=x$ との交点 $\mathrm{Q}\left(\frac{11}{4},\frac{11}{4}\right)$。${\mathrm{A}}^{\prime }$ から ${\mathrm{B}}^{\prime }$ へ向かって $x$ は 4 から 2 へ減少し、$\frac{11}{3}>\frac{11}{4}$ なので順に ${\mathrm{A}}^{\prime },\mathrm{P},\mathrm{Q},{\mathrm{B}}^{\prime }$ と並び、等号が成立する。

最小値は $2\sqrt{10}$。