problemyriad

技能一覧 › 中学数学 平面図形

折り返した図形の角と長さ

紙を折ると折り目について重なる部分の角と辺が等しくなることを使い、折り返した図形の角の大きさや線分の長さを求められる

前提

この技能までの道筋（22 技能）
算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）
  1. 三角形の角の大きさ （算数 平面図形）
  2. 対頂角と平行線の同位角・錯角 （中学数学 平面図形）
  3. 三角形の外角と角の組み合わせ （中学数学 平面図形）
  4. 小数の四則計算 （算数 計算と数のきまり）
  5. 分数のたし算・ひき算 （算数 計算と数のきまり）
  6. 分数のかけ算・わり算 （算数 計算と数のきまり）
  7. 小数と分数のまじった計算 （算数 計算と数のきまり）
  8. 逆算（□ を求める） （算数 計算と数のきまり）
  9. 正負の数の加法・減法 （中学数学 数と式）
  10. 四則の混じった計算の順序 （算数 計算と数のきまり）
  11. 正負の数の乗除・累乗と四則混合 （中学数学 数と式）
  12. 分配法則を使った計算のくふう （算数 計算と数のきまり）
  13. 文字式の計算（同類項・分配法則） （中学数学 数と式）
  14. 1 次方程式の解き方 （中学数学 方程式）
  15. 二等辺三角形の角 （中学数学 平面図形）
  16. 平行四辺形と特別な四角形の性質 （中学数学 平面図形）
  17. 三角形・四角形の面積 （算数 平面図形）
  18. 約数の見つけ方 （算数 整数の性質）
  19. 素因数分解と約数の個数 （算数 整数の性質）
  20. 平方根の意味と根号の簡単化 （中学数学 数と式）
  21. 三平方の定理 （中学数学 相似と三平方の定理）
  22. 乗法公式による展開 （中学数学 数と式）

説明

長方形や正方形の紙を折ったとき、折る前の部分と折った後の部分は折り目を軸としてぴったり重なるので、対応する角と辺の長さが等しくなります。このことを使って、折り返した図形の角の大きさや線分の長さを求められるようになります。長さの問題では、求めたい長さを とおき、三平方の定理で方程式を立てる形がよく出ます。

なぜそうしてよいのか

紙を折り目にそって折ると、折り目の片側にある部分が、もう片側に裏返されて重なります。重なった2つの部分はもとは同じ紙なので、形も大きさもまったく同じです。だから、対応する辺の長さは等しく、対応する角の大きさも等しくなります。また、折り目そのものの上にある点は動きません。

たとえば、頂点 が点 に重なるように折り目 で折ると、、、、 です。こうして等しい長さが見つかると、長方形の中にできた直角三角形で、未知の辺を を使って表せます。そこで三平方の定理 を使えば、 についての方程式ができます。両辺に が出てくることが多いですが、展開して整理すると が消えて1次方程式になることがよくあります。

手順

  1. 折る前と折った後で重なる部分を見つけ、対応する頂点の組（どの点がどの点に重なったか）を書き出す

  2. 重なる部分の対応する辺と角が等しいことを、式で書く（例: 、、）

  3. 長方形・正方形の性質（向かい合う辺が等しい、角が ）と合わせて、わかる長さや角を図形に書き込む

  4. 求めたい長さを とおき、ほかの辺を の式で表して、直角三角形で三平方の定理を使って方程式を立てる（角なら三角形の角の和などを使う）

  5. 方程式を解き、長さが正で辺の範囲に入っていることを確かめて答える

例題

長方形 があり、頂点はこの順に並び、、 である。辺 上の点 と頂点 を結ぶ線分 を折り目として折ると、頂点 が辺 上の点 に重なった。線分 の長さを求めよ。

例題の解答

手順1: 折り目は で、 が に重なり、 と は動かない。よって三角形 と三角形 が重なる。

手順2: 、。

手順3: 長方形なので 、、。よって 。直角三角形 で三平方の定理より

したがって 。

手順4: とおくと 、。直角三角形 で三平方の定理より

右辺を展開すると 。両辺から をひいて 。

手順5: 。 なので辺 上にあり、条件に合う。よって 。

答え:

よくある誤り

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること