平面図形の問題

$\mathrm{EC}$ の長さ

点 $\mathrm{C}$ を点 $\mathrm{A}$ に重ねるように折るので、折り目 $\mathrm{EF}$ 上の点は $\mathrm{A}$ と $\mathrm{C}$ から等しい距離にある。よって $\mathrm{EA}=\mathrm{EC}$ である。

$\mathrm{EC}=a\text{cm}$ とすると、$\mathrm{BE}=(8-a)\text{cm}$、$\mathrm{EA}=a\text{cm}$ である。$\angle \mathrm{ABE}=90^{\circ }$ なので、$△\mathrm{ABE}$ で三平方の定理より

$$6^2+(8-a{)}^2=a^2$$

$$36+64-16a+a^2=a^2$$

$$16a=100a=\frac{25}{4}$$

よって $\mathrm{EC}=\frac{25}{4}\text{cm}$ である。

$\mathrm{OE}$ の長さ

対角線 $\mathrm{AC}$ の長さは、$△\mathrm{ABC}$ で三平方の定理より $\mathrm{AC}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10(\text{cm})$ である。

折り目 $\mathrm{EF}$ は線分 $\mathrm{AC}$ の垂直二等分線になっている。$\mathrm{EF}$ と $\mathrm{AC}$ の交点を $\mathrm{O}$ とすると、$\mathrm{OC}=5\text{cm}$、$\angle \mathrm{EOC}=90^{\circ }$ なので、$△\mathrm{EOC}$ で三平方の定理より

$${\mathrm{OE}}^2={\left(\frac{25}{4}\right)}^2-5^2=\frac{625}{16}-\frac{400}{16}=\frac{225}{16}$$

$\mathrm{OE}>0$ より $\mathrm{OE}=\frac{15}{4}\text{cm}$ である。

$\mathrm{EF}$ の長さ

$\mathrm{O}$ は長方形の対角線の交点（対角線 $\mathrm{AC}$ の中点）である。$△\mathrm{OEC}$ と $△\mathrm{OFA}$ において、$\mathrm{OC}=\mathrm{OA}$、$\angle \mathrm{EOC}=\angle \mathrm{FOA}$（対頂角）、$\mathrm{AD}\parallel \mathrm{BC}$ より $\angle \mathrm{OCE}=\angle \mathrm{OAF}$（錯角）なので、1 組の辺とその両端の角がそれぞれ等しく、$△\mathrm{OEC}\equiv △\mathrm{OFA}$ である。よって $\mathrm{OF}=\mathrm{OE}$ となり、

$$\mathrm{EF}=2\mathrm{OE}=2\times \frac{15}{4}=\frac{15}{2}(\text{cm})$$

答え: $\frac{15}{2}\text{cm}$

折ると C が A に重なるので、折り目 EF は線分 AC の垂直二等分線で、$\mathrm{AE}=\mathrm{CE}$。

$\mathrm{BE}=x$ cm とおくと $\mathrm{AE}=\mathrm{CE}=8-x$。直角三角形 ABE で三平方の定理より
$x^2+6^2=(8-x{)}^2$、$x^2+36=64-16x+x^2$、$16x=28$、$x=\frac{7}{4}$。
よって $\mathrm{CE}=8-\frac{7}{4}=\frac{25}{4}$ cm。

$\mathrm{AC}$ と $\mathrm{EF}$ の交点を M とすると、M は AC の中点で $\mathrm{AC}\perp \mathrm{EF}$。三平方の定理より $\mathrm{AC}=\sqrt{6^2+8^2}=10$ なので $\mathrm{CM}=5$。
直角三角形 CME で ${\mathrm{EM}}^2={\mathrm{CE}}^2-{\mathrm{CM}}^2=\frac{625}{16}-25=\frac{225}{16}$ より $\mathrm{EM}=\frac{15}{4}$ cm。

$△\mathrm{AMF}\equiv △\mathrm{CME}$（$\mathrm{AM}=\mathrm{CM}$、$\angle \mathrm{AMF}=\angle \mathrm{CME}=90^{\circ }$、$\angle \mathrm{FAM}=\angle \mathrm{ECM}$（AD // BC の錯角））なので $\mathrm{MF}=\mathrm{ME}=\frac{15}{4}$ cm。
よって $\mathrm{EF}=\frac{15}{4}\times 2=\frac{15}{2}$ cm。

【検算】座標で、B(0,0)、C(8,0)、A(0,6)、D(8,6) とすると E$\left(\frac{25}{4}\cdot \right)$ ではなく、BE$=\frac{7}{4}$ より E$\left(\frac{7}{4},0\right)$、F は $\mathrm{AF}=\mathrm{CE}=\frac{25}{4}$ より F$\left(\frac{25}{4},6\right)$。${\mathrm{EF}}^2={\left(\frac{18}{4}\right)}^2+6^2=\frac{81}{4}+36=\frac{225}{4}$、$\mathrm{EF}=\frac{15}{2}$。一致する。

答え $\frac{15}{2}$ cm