図形と方程式の問題

点 $\mathrm{P}$ の座標を $(x,y)$ とおく。

$${\mathrm{PA}}^2=(x-1{)}^2+(y-2{)}^2=x^2+y^2-2x-4y+5$$
$${\mathrm{PB}}^2=(x-5{)}^2+(y+2{)}^2=x^2+y^2-10x+4y+29$$

よって条件 ${\mathrm{PA}}^2+{\mathrm{PB}}^2=40$ は
$$2x^2+2y^2-12x+34=40$$
となる。両辺を $2$ で割って整理すると
$$x^2+y^2-6x-3=0$$
$x$ について平方完成すると
$$(x-3{)}^2-9+y^2-3=0$$
$$(x-3{)}^2+y^2=12$$

逆に、この円上の任意の点 $(x,y)$ は上の式変形を逆にたどることで条件 ${\mathrm{PA}}^2+{\mathrm{PB}}^2=40$ を満たす。

したがって、点 $\mathrm{P}$ の軌跡は中心 $(3,0)$、半径 $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$ の円である。

(確認) 線分 $\mathrm{AB}$ の中点は $\mathrm{M}(3,0)$ であり、中線定理より ${\mathrm{PA}}^2+{\mathrm{PB}}^2=2{\mathrm{PM}}^2+2{\mathrm{AM}}^2$ が成り立つ。${\mathrm{AM}}^2=2^2+2^2=8$ なので $2{\mathrm{PM}}^2+16=40$ となり、${\mathrm{PM}}^2=12$ である。これは上の結果と一致する。

答えは $(a,b,r)=\left(3,0,2\sqrt{3}\right)$ である。

P(x,y) とおく。PA^2+PB^2=(x-1)^2+(y-2)^2+(x-5)^2+(y+2)^2=2x^2+2y^2-12x+0\cdot y+34 となる。実際、x の項は -2x-10x=-12x、y の項は -4y+4y=0、定数は 1+4+25+4=34。よって 2x^2+2y^2-12x+34=40 より x^2+y^2-6x=3、すなわち (x-3)^2+y^2=12。中心は (3,0)、半径は 2\sqrt{3}。検算: AB の中点は (3,0)、AB^2=16+16=32 なので、中線定理より PA^2+PB^2=2PM^2+AB^2/2=2PM^2+16=40 となり PM^2=12。これは上と一致する。