図形と方程式の問題

点 $\mathrm{P}$ の座標を $(x,y)$ とする。

$\mathrm{PA}:\mathrm{PB}=1:2$ より $2\mathrm{PA}=\mathrm{PB}$ である。両辺は $0$ 以上なので、両辺を 2 乗した $4{\mathrm{PA}}^2={\mathrm{PB}}^2$ と同値である。

$${\mathrm{PA}}^2=x^2+y^2,{\mathrm{PB}}^2=(x-3{)}^2+(y-3{)}^2$$

であるから、

$$4(x^2+y^2)=(x-3{)}^2+(y-3{)}^2$$

右辺を展開すると $x^2-6x+9+y^2-6y+9=x^2+y^2-6x-6y+18$ となるので、

$$4x^2+4y^2=x^2+y^2-6x-6y+18$$

$$3x^2+3y^2+6x+6y-18=0$$

両辺を $3$ で割ると

$$x^2+y^2+2x+2y-6=0$$

$x,y$ についてそれぞれ平方完成すると

$$(x+1{)}^2-1+(y+1{)}^2-1-6=0$$

$$(x+1{)}^2+(y+1{)}^2=8$$

ここまでの式変形はすべて同値変形である。よって、逆にこの円上のどの点も条件を満たす。したがって、点 $\mathrm{P}$ の軌跡は中心 $(-1,-1)$、半径 $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$ の円である。

(確認) 円上の点 $(1,1)$ をとると、$\mathrm{PA}=\sqrt{2}$, $\mathrm{PB}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$ となり、$\mathrm{PA}:\mathrm{PB}=1:2$ を満たしている。

以上より、$(a,b,r)=(-1,-1,2\sqrt{2})$ である。

P(x,y) とすると PA:PB=1:2 より 2PA=PB なので 4PA²=PB²。
4(x²+y²)=(x−3)²+(y−3)² を展開すると 4x²+4y²=x²−6x+9+y²−6y+9。
整理して 3x²+3y²+6x+6y−18=0、すなわち x²+y²+2x+2y−6=0。
平方完成すると (x+1)²+(y+1)²=8。
よって中心は (−1,−1)、半径は r=√8=2√2。
検算：アポロニウスの円は線分ABを 1:2 に内分する点 (1,1) と外分する点 (−3,−3) を直径の両端とする。中点は (−1,−1)、直径は (1,1) と (−3,−3) の距離 √32=4√2 なので半径 2√2。一致する。
なお PA=0 となる P=A は比が定義できないので含めないが、A は円上にないので問題ない。