図形と方程式の問題

方針：動点を $\mathrm{P}(x,y)$ とおき、与えられた条件を $x,y$ の式に直します。

手順1：比の条件を距離の式にする

$\mathrm{PA}:\mathrm{PB}=2:1$ より
$$\mathrm{PA}=2\mathrm{PB}$$
です。両辺は $0$ 以上なので、2 乗しても同じ条件になります。
$${\mathrm{PA}}^2=4{\mathrm{PB}}^2$$

手順2：座標で表す

2点間の距離の公式より
$${\mathrm{PA}}^2=(x+3{)}^2+y^2,{\mathrm{PB}}^2=(x-3{)}^2+y^2$$
です。よって
$$(x+3{)}^2+y^2=4\{(x-3{)}^2+y^2\}$$

手順3：展開して整理する

左辺は $x^2+6x+9+y^2$、右辺は $4x^2-24x+36+4y^2$ です。移項すると
$$3x^2+3y^2-30x+27=0$$
両辺を $3$ で割ると
$$x^2+y^2-10x+9=0$$

手順4：平方完成して円の方程式にする

$$(x-5{)}^2-25+y^2+9=0$$
$$(x-5{)}^2+y^2=16$$

逆に、この円上のどの点も ${\mathrm{PA}}^2=4{\mathrm{PB}}^2$ すなわち $\mathrm{PA}:\mathrm{PB}=2:1$ を満たします。したがって点 $\mathrm{P}$ の軌跡は中心 $(5,0)$、半径 $4$ の円です。

（確認：線分 $\mathrm{AB}$ を $2:1$ に内分する点は $(1,0)$、外分する点は $(9,0)$ で、この 2 点を直径の両端とする円になっています。）

答え：半径は $4$

P(x,y) とすると PA:PB=2:1 より PA²=4PB² である。
$(x+3{)}^2+y^2=4\{(x-3{)}^2+y^2\}$
展開して $x^2+6x+9+y^2=4x^2-24x+36+4y^2$
整理して $3x^2-30x+27+3y^2=0$、すなわち $x^2-10x+9+y^2=0$
$(x-5{)}^2+y^2=16$
よって中心 (5,0)、半径 4 の円である。
検算：点 (9,0) は PA=12, PB=6 で比が 2:1 となり、円上にある。点 (1,0) は PA=4, PB=2 で比が 2:1 となり、円上にある。この 2 点は直径の両端で、その長さは 8 だから半径は 4 である。