円の方程式

中心と半径から $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$ を書け、一般形 $x^{2} + y^{2} + l x + m y + n = 0$ を平方完成して中心と半径を求め、3点を通る円や中心が直線上にある円などの条件から円の方程式を決定できる

前提

2点間の距離と内分点・外分点（数学II 図形と方程式）
平方完成と 2 次関数のグラフ（数学I 2次関数）

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算数中学高校大学大学院

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平方完成と 2 次関数のグラフ（数学I 2次関数）

説明

円は「ある点（中心）から一定の距離（半径）にある点の集まり」です。この性質を座標で表すと、円を $x, y$ の式（円の方程式）で書けます。中心と半径がわかれば方程式をすぐ書けます。逆に、方程式から中心と半径を読み取ることもできます。さらに「3点を通る」「中心が直線上にある」などの条件から円を決定できます。

なぜそうしてよいのか

中心を $C (a, b)$ 、半径を $r (r > 0)$ とします。点 $P (x, y)$ が円の上にあるのは $CP = r$ のときです。2点間の距離の公式から、これは $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r$ と書けます。両辺はどちらも $0$ 以上なので、2乗しても同じ条件です。よって円の方程式は $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$ となります（標準形）。特に、中心が原点なら $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ です。

標準形を展開すると $x^{2} + y^{2} + l x + m y + n = 0$ の形になります（一般形）。逆に一般形が与えられたら、 $x$ と $y$ についてそれぞれ平方完成します。 $(x + \frac{l}{2})^{2} + (y + \frac{m}{2})^{2} = \frac{l ^{2} + m ^{2} - 4 n}{4}$ 右辺が正なら、中心 $(- \frac{l}{2}, - \frac{m}{2})$ 、半径 $\frac{l ^{2} + m ^{2} - 4 n}{2}$ の円です。右辺が $0$ なら 1 点だけを表し、負なら表す図形はありません。

未知の円を決めるには、条件の数に合わせて形を選びます。通る3点がわかっているときは、一般形の $l, m, n$ の3つを未知数にします。3点の座標を代入すると、 $l, m, n$ についての1次の連立方程式になり、解けます。中心が直線上にあるときは、中心をその直線上の点として1つの文字で表し、標準形を使います。

手順

中心 $(a, b)$ と半径 $r$ がわかっているときは、そのまま $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$ と書く。
一般形 $x^{2} + y^{2} + l x + m y + n = 0$ から中心と半径を求めるときは、 $x$ と $y$ をそれぞれ平方完成し、 $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = k$ の形にする。平方完成で足した数は右辺にも足す。
右辺 $k$ の符号を確かめる。 $k > 0$ なら中心 $(a, b)$ 、半径 $k$ の円である。 $k = 0$ なら点 $(a, b)$ だけを表し、 $k < 0$ なら表す図形はない。
通る3点が与えられたときは、求める円を $x^{2} + y^{2} + l x + m y + n = 0$ とおく。3点の座標を代入して $l, m, n$ の連立1次方程式を作り、解く。
中心が直線上にあるときなどは、中心を直線上の点として文字で表す（例：直線 $y = 2 x$ 上なら $(t, 2 t)$ ）。半径や通る点の条件から $t$ を決め、標準形に代入する。

例題

3点 $A (5, 3)$ , $B (- 1, 3)$ , $C (6, - 4)$ を通る円の方程式を $x^{2} + y^{2} + l x + m y + n = 0$ と表すとき、定数の組 $(l, m, n)$ を求めよ。

例題の解答

【手順4】求める円を $x^{2} + y^{2} + l x + m y + n = 0$ とおき、3点の座標を代入する。
$A (5, 3)$ ： $25 + 9 + 5 l + 3 m + n = 0$ より $5 l + 3 m + n = - 34$ …①
$B (- 1, 3)$ ： $1 + 9 - l + 3 m + n = 0$ より $- l + 3 m + n = - 10$ …②
$C (6, - 4)$ ： $36 + 16 + 6 l - 4 m + n = 0$ より $6 l - 4 m + n = - 52$ …③

① − ② から $6 l = - 24$ なので $l = - 4$ である。
これを②に代入すると $3 m + n = - 14$ …④
③に代入すると $- 4 m + n = - 28$ …⑤
④ − ⑤ から $7 m = 14$ なので $m = 2$ であり、④から $n = - 20$ となる。

【確認（手順2・3）】 $x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y - 20 = 0$ を平方完成すると $(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} = 25$ となる。右辺は $25 > 0$ なので、確かに中心 $(2, - 1)$ 、半径 $5$ の円である。
よって $(l, m, n) = (- 4, 2, - 20)$ である。

答え: $(- 4, 2, - 20)$

よくある誤り

$(x + 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 16$ の中心を $(2, - 3)$ としてしまう誤り。正しくは $(x - (- 2))^{2} + (y - 3)^{2} = 4^{2}$ と見て、中心は $(- 2, 3)$ である。
右辺の数をそのまま半径としてしまう誤り。 $(x - 1)^{2} + y^{2} = 9$ の半径は $9$ ではない。正しくは $r^{2} = 9$ より $r = 3$ である。
平方完成で足した数を右辺に足し忘れる誤り。 $x^{2} + y^{2} - 6 x + 4 y = 0$ を $(x - 3)^{2} + (y + 2)^{2} = 0$ としてはいけない。正しくは $9$ と $4$ を右辺にも足して $(x - 3)^{2} + (y + 2)^{2} = 13$ となる。
一般形なら必ず円だと思い込む誤り。 $x^{2} + y^{2} + 2 x + 4 y + 6 = 0$ は平方完成すると $(x + 1)^{2} + (y + 2)^{2} = - 1$ となり、表す図形はない。右辺が正のときだけ円になる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

円と直線の位置関係と弦の長さ（数学II 図形と方程式）
条件を満たす点の軌跡（数学II 図形と方程式）
不等式の表す領域（数学II 図形と方程式）
等周問題と円弧（大学院数学変分法・最適制御）