図形と方程式の問題

円 $C$ の式を変形すると
$$(x-2{)}^2+(y-1{)}^2=5$$
となるので、$C$ は中心 $(2,1)$、半径 $\sqrt{5}$ の円である。中心と $\mathrm{A}(5,5)$ の距離は $\sqrt{3^2+4^2}=5>\sqrt{5}$ なので、$\mathrm{A}$ は円の外部にあり、接線は 2 本引ける。

接点を $(p,q)$ とすると、$(p,q)$ は円上の点だから
$$(p-2{)}^2+(q-1{)}^2=5(1)$$
であり、この点における接線の方程式は
$$(p-2)(x-2)+(q-1)(y-1)=5$$
である。これが $\mathrm{A}(5,5)$ を通るので
$$3(p-2)+4(q-1)=5\text{すなわち}3p+4q=15(2)$$

$s=q-1$ とおくと、$(2)$ より $3(p-2)=5-4s$、すなわち $p-2=\frac{5-4s}{3}$。これを $(1)$ に代入して
$$\frac{(5-4s{)}^2}{9}+s^2=5$$
$$25-40s+16s^2+9s^2=45$$
$$25s^2-40s-20=0\text{すなわち}5s^2-8s-4=0$$
$$(s-2)(5s+2)=0\text{より}s=2,-\frac{2}{5}$$

• $s=2$ のとき $q=3$, $p-2=\frac{5-8}{3}=-1$ より $p=1$。
• $s=-\frac{2}{5}$ のとき $q=\frac{3}{5}$, $p-2=\frac{5+\frac{8}{5}}{3}=\frac{11}{5}$ より $p=\frac{21}{5}$。

よって $\mathrm{Q}(1,3)$, $\mathrm{R}\left(\frac{21}{5},\frac{3}{5}\right)$ としてよい。

2 つの接点はどちらも $(2)$ を満たすので、直線 $\mathrm{QR}$ の方程式は $3x+4y=15$ である。

底辺 $\mathrm{QR}$ の長さは
$$\mathrm{QR}=\sqrt{{\left(\frac{21}{5}-1\right)}^2+{\left(\frac{3}{5}-3\right)}^2}=\sqrt{{\left(\frac{16}{5}\right)}^2+{\left(\frac{12}{5}\right)}^2}=\sqrt{\frac{400}{25}}=4$$
高さは点 $\mathrm{A}(5,5)$ と直線 $3x+4y-15=0$ の距離で
$$\frac{|3\cdot 5+4\cdot 5-15|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{20}{5}=4$$
したがって
$$△\mathrm{AQR}=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 4=8$$

（確かめ）点 $\mathrm{A}$ が原点に移るように、3 点を $x$ 軸方向に $-5$、$y$ 軸方向に $-5$ だけ平行移動すると、$\mathrm{A}$ は $(0,0)$、$\mathrm{Q}$ は $(-4,-2)$、$\mathrm{R}$ は $\left(-\frac{4}{5},-\frac{22}{5}\right)$ に移る。平行移動で面積は変わらない。3 点 $(0,0)$, $(x_1,y_1)$, $(x_2,y_2)$ を頂点とする三角形の面積は $\frac{1}{2}|x_1{y}_2-x_2{y}_1|$ であるから
$$\frac{1}{2}\left|(-4)\cdot \left(-\frac{22}{5}\right)-\left(-\frac{4}{5}\right)\cdot (-2)\right|=\frac{1}{2}\left|\frac{88}{5}-\frac{8}{5}\right|=\frac{1}{2}\cdot 16=8$$
となり、一致する。

答え: $8$

円 $C$ は $(x-2{)}^2+(y-1{)}^2=5$ と変形でき、中心 $\mathrm{O}(2,1)$、半径 $r=\sqrt{5}$ である。

点 $\mathrm{A}(5,5)$ について、$\mathrm{OA}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。これは $r$ より大きいので、A は円の外部にある。

接線の長さは $\mathrm{AQ}=\sqrt{25-5}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。

弦 QR の長さは、直角三角形 OQA で、Q から OA に下ろした垂線の足を H とすると、$\mathrm{QH}=\frac{\mathrm{OQ}\cdot \mathrm{AQ}}{\mathrm{OA}}=\frac{\sqrt{5}\cdot 2\sqrt{5}}{5}=2$。よって $\mathrm{QR}=4$。

また $\mathrm{OH}=\frac{{\mathrm{OQ}}^2}{\mathrm{OA}}=\frac{5}{5}=1$ なので、$\mathrm{AH}=5-1=4$。

面積は $\frac{1}{2}\cdot \mathrm{QR}\cdot \mathrm{AH}=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 4=8$。

検算として、極線の方程式は $5x+5y-2(x+5)-(y+5)=0$ より $3x+4y-15=0$。円との交点を求める。$y=(15-3x)/4$ を代入すると、$x^2+y^2-4x-2y=0$ から $x^2+\frac{(15-3x{)}^2}{16}-4x-\frac{15-3x}{2}=0$。16倍して $16x^2+225-90x+9x^2-64x-120+24x=0$、すなわち $25x^2-130x+105=0$、$5x^2-26x+21=0$、$(5x-21)(x-1)=0$。よって $x=1$ のとき $y=3$、$x=21/5$ のとき $y=(15-63/5)/4=3/5$。Q(1,3)、R(21/5,3/5)。QR${}^2=(16/5{)}^2+(12/5{)}^2=400/25=16$ で QR=4 となり一致する。

A から直線 $3x+4y-15=0$ までの距離は $\frac{|15+20-15|}{5}=4$ で、AH=4 と一致する。したがって面積は 8。