接点を結ぶ直線

円 $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$ の外の点 $(p, q)$ から引いた2本の接線の接点を結ぶ直線 $(p - a) (x - a) + (q - b) (y - b) = r^{2}$ を求め、接点と外の点がつくる三角形の面積を求められる。また点 $(p, q)$ が直線上を動くとき、この直線が通る定点を求められる

前提

円の接線（数学II 図形と方程式）
定点を通る直線と2直線の交点を通る直線（数学II 図形と方程式）

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算数中学高校大学大学院

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定点を通る直線と2直線の交点を通る直線（数学II 図形と方程式）

説明

円の外の点 $P (p, q)$ から円に 2 本の接線を引くと、接点が 2 つできます。この技能では、その 2 つの接点を通る直線の方程式を、接点の座標を求めずに一気に書けるようになります。さらに、この直線を使って「接点 2 つと点 P がつくる三角形の面積」を求めたり、点 P がある直線上を動くときにこの直線が必ず通る定点を求めたりできます。

なぜそうしてよいのか

円 $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$ の中心を $C (a, b)$ とし、点 $P (p, q)$ から引いた接線の接点を $(x_{1}, y_{1})$ , $(x_{2}, y_{2})$ とします。接点 $(x_{1}, y_{1})$ における接線は $(x_{1} - a) (x - a) + (y_{1} - b) (y - b) = r^{2}$ で、これが P を通るので $(x_{1} - a) (p - a) + (y_{1} - b) (q - b) = r^{2}$ が成り立ちます。この式を「 $x = x_{1}, y = y_{1}$ を代入した式」と読み直すと、点 $(x_{1}, y_{1})$ は方程式 $(p - a) (x - a) + (q - b) (y - b) = r^{2}$ を満たしている、ということになります。もう一方の接点 $(x_{2}, y_{2})$ についても、まったく同じ理由で同じ方程式を満たします。

P は円の外にあるので $P \neq = C$ 、つまり $p - a$ と $q - b$ が同時に 0 になることはなく、方程式 $(p - a) (x - a) + (q - b) (y - b) = r^{2}$ は $x, y$ の 1 次式で表される直線です。2 つの接点はどちらもこの直線上にあり、異なる 2 点を通る直線はただ 1 本なので、これが接点を結ぶ直線そのものです。接線の式の $(x_{1}, y_{1})$ の所に $(p, q)$ を入れた形になる、と覚えるとよいでしょう（ただし P は円上の点ではないので、これは接線ではありません）。

この直線の方程式がわかれば、面積は「弦の長さ×（P から弦までの距離）÷2」で求まり、弦の長さは中心からの距離 $d$ を使って $2 r^{2} - d^{2}$ と計算できます。また P が直線上を動くときは、P の座標を文字 $t$ で表して直線の式に代入し、 $t$ について整理すれば、 $t$ によらず通る定点が求まります。

手順

点 P が円の外にあることを確かめる： $(p - a)^{2} + (q - b)^{2} > r^{2}$
接点を結ぶ直線を書く： $(p - a) (x - a) + (q - b) (y - b) = r^{2}$ を展開して $α x + β y + γ = 0$ の形に整理する
（面積）中心 $(a, b)$ とこの直線の距離 $d$ を求め、弦の長さ $2 r^{2} - d^{2}$ を求める
（面積）点 P とこの直線の距離 $h$ を求め、面積 $S = \frac{1}{2} \times 2 r^{2} - d^{2} \times h$ を計算する
（定点）P が直線上を動くときは、P の座標を $t$ で表して接点を結ぶ直線の式に代入し、 $f (x, y) + t g (x, y) = 0$ の形に整理して $f = 0, g = 0$ を連立する

例題

円 $(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 5$ の外の点 $P (4, 3)$ からこの円に 2 本の接線を引き、接点を $A, B$ とする。三角形 $PAB$ の面積を求めよ。

例題の解答

手順1：中心は $(1, 2)$ 、 $r^{2} = 5$ 。 $(4 - 1)^{2} + (3 - 2)^{2} = 10 > 5$ なので P は円の外にある。

手順2：接点を結ぶ直線 AB は $(4 - 1) (x - 1) + (3 - 2) (y - 2) = 5$ 、つまり $3 (x - 1) + (y - 2) = 5$ 。展開して $3 x + y - 10 = 0$ 。

手順3：中心 $(1, 2)$ と直線 AB の距離は $d = \frac{∣3 \cdot 1 + 2 - 10∣}{3 ^{2} + 1 ^{2}} = \frac{5}{10} = \frac{10}{2}$ 。よって $d^{2} = \frac{5}{2}$ で、弦の長さは $AB = 2 5 - \frac{5}{2} = 2 \frac{5}{2} = 10$ 。

手順4：P $(4, 3)$ と直線 AB の距離は $h = \frac{∣3 \cdot 4 + 3 - 10∣}{10} = \frac{5}{10} = \frac{10}{2}$ 。よって $S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot \frac{10}{2} = \frac{5}{2}$ 。

（確認： $3 x + y = 10$ と円の式を連立すると接点は $(2, 4)$ と $(3, 1)$ になり、この 2 点と P でつくる三角形の面積も $\frac{5}{2}$ になる。）

答え: $\frac{5}{2}$

よくある誤り

中心が原点でない円で、 $a, b$ を引くのを忘れて $p x + q y = r^{2}$ としてしまう誤り。例題なら $4 x + 3 y = 5$ は誤りで、正しくは $(4 - 1) (x - 1) + (3 - 2) (y - 2) = 5$ 、すなわち $3 x + y = 10$ 。
三角形 PAB の高さに、中心と直線 AB の距離 $d$ を使ってしまう誤り。高さは点 P と直線 AB の距離 $h$ で、正しくは $S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h$ （ $d$ は弦の長さ $AB = 2 r^{2} - d^{2}$ を求めるためだけに使う）。
点 P が円の外にあるか確かめずに公式を使ってしまう誤り。たとえば円 $x^{2} + y^{2} = 4$ と点 $(1, 0)$ では $1^{2} + 0^{2} < 4$ で P は円の内部にあり接線は引けないので、 $x = 4$ を「接点を結ぶ直線」とするのは誤り。必ず $(p - a)^{2} + (q - b)^{2} > r^{2}$ を確認する。
定点を求めるとき、P の座標を動く直線上の点として正しく表さずに $p, q$ を独立に扱ってしまう誤り。たとえば P が直線 $x + 2 y = 8$ 上を動き、円が $x^{2} + y^{2} = 4$ なら、 $P (8 - 2 t, t)$ とおいて $(8 - 2 t) x + t y = 4$ 、すなわち $(8 x - 4) + t (y - 2 x) = 0$ と整理し、 $8 x - 4 = 0, y - 2 x = 0$ から定点 $(\frac{1}{2}, 1)$ を得る。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

接点を結ぶ直線

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