円の接線

円 $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$ 上の点 $(x_{1}, y_{1})$ における接線 $(x_{1} - a) (x - a) + (y_{1} - b) (y - b) = r^{2}$ （原点中心なら $x_{1} x + y_{1} y = r^{2}$ ）を求め、円外の点から引いた接線の方程式と接点の座標を「中心と接線の距離＝半径」などを使って求められる

前提

円と直線の位置関係と弦の長さ（数学II 図形と方程式）
2直線の平行・垂直（数学II 図形と方程式）

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算数中学高校大学大学院

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円と直線の位置関係と弦の長さ（数学II 図形と方程式）
2直線の平行・垂直（数学II 図形と方程式）

説明

円上の点における接線の方程式を、公式 $(x_{1} - a) (x - a) + (y_{1} - b) (y - b) = r^{2}$ に代入するだけで求められるようになります。円の外の点から引いた接線の方程式と接点の座標も求められます。図形の問題で接線が出てきたときや、円と直線がちょうど 1 点で接する条件を使うときに役立ちます。

なぜそうしてよいのか

円の中心を $C (a, b)$ 、円上の点を $T (x_{1}, y_{1})$ とします。 $T$ における接線は、半径 $C T$ に $T$ で垂直な直線です。そこで、接線上の点 $P (x, y)$ について三角形 $C T P$ は $T$ が直角なので、三平方の定理から $C P^{2} = C T^{2} + T P^{2}$ が成り立ちます（ $P = T$ のときも $T P = 0$ で成り立ちます）。逆に、この式が成り立てば $∠ C T P$ は直角なので、 $P$ は接線上にあります。

2 点間の距離で書きます。 $X = x - a, Y = y - b, X_{1} = x_{1} - a, Y_{1} = y_{1} - b$ とおくと、 $X^{2} + Y^{2} = r^{2} + (X - X_{1})^{2} + (Y - Y_{1})^{2}$ となります。右辺を展開すると $r^{2} + X^{2} - 2 X_{1} X + X_{1}^{2} + Y^{2} - 2 Y_{1} Y + Y_{1}^{2}$ です。 $T$ は円上の点なので $X_{1}^{2} + Y_{1}^{2} = r^{2}$ です。これを使って整理すると $X_{1} X + Y_{1} Y = r^{2}$ 、すなわち $(x_{1} - a) (x - a) + (y_{1} - b) (y - b) = r^{2}$ が得られます。中心が原点（ $a = b = 0$ ）なら $x_{1} x + y_{1} y = r^{2}$ です。 $X_{1}, Y_{1}$ は同時に 0 にはならないので、これは確かに直線の式です。

円の外の点から引く接線では、接点がまだわかりません。そこで「接する ⇔ 中心と直線の距離 $d$ が半径 $r$ に等しい」という前提の技能を使って、傾きなどの未知数を決めます。接点を $(x_{1}, y_{1})$ とおき、上の公式の接線がその点を通るという条件と、円の方程式を連立して求めることもできます。

手順

円の方程式を $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$ の形に直し、中心 $(a, b)$ と半径 $r$ を読み取る（必要なら平方完成する）。
与えられた点 $(x_{1}, y_{1})$ が円上にあるか確かめる。 $(x_{1} - a)^{2} + (y_{1} - b)^{2} = r^{2}$ が成り立つかどうかを見る。
円上の点なら、公式 $(x_{1} - a) (x - a) + (y_{1} - b) (y - b) = r^{2}$ に代入して整理する。
円外の点 $(p, q)$ から引く接線は、 $y - q = m (x - p)$ とおく。中心との距離が $r$ になる条件 $\frac{∣ m ( a - p ) - ( b - q ) ∣}{m ^{2} + 1} = r$ から $m$ を求める。傾きをもたない直線 $x = p$ が接線になっていないかも別に調べる。
接点が必要なときは、接点を $(x_{1}, y_{1})$ とおく。公式の接線が $(p, q)$ を通る条件と円の方程式 $(x_{1} - a)^{2} + (y_{1} - b)^{2} = r^{2}$ を連立して解く。

例題

円 $(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} = 10$ 上の点 $(3, 2)$ における接線の方程式を、 $y = m x + n$ の形で求めよ。

例題の解答

手順1: 円の中心は $(2, - 1)$ 、半径の 2 乗は $r^{2} = 10$ である。
手順2: 点 $(3, 2)$ を代入すると $(3 - 2)^{2} + (2 + 1)^{2} = 1 + 9 = 10$ となるので、この点は円上にある。
手順3: 公式に $x_{1} = 3, y_{1} = 2, a = 2, b = - 1$ を代入すると、 $(3 - 2) (x - 2) + (2 + 1) (y + 1) = 10$ 、すなわち $(x - 2) + 3 (y + 1) = 10$ となる。整理すると $x + 3 y - 9 = 0$ なので、 $y = - \frac{1}{3} x + 3$ である。
確認: 中心 $(2, - 1)$ と直線 $x + 3 y - 9 = 0$ の距離は $\frac{∣2 - 3 - 9∣}{1 + 9} = \frac{10}{10} = 10$ で、半径に等しい。

答え: $- \frac{1}{3} x + 3$

よくある誤り

中心が原点でないのに $x_{1} x + y_{1} y = r^{2}$ を使ってしまう誤り。正しくは、中心 $(a, b)$ の円では $(x_{1} - a) (x - a) + (y_{1} - b) (y - b) = r^{2}$ を使う。例えば上の例題で $3 x + 2 y = 10$ とするのは誤り。
$x, y$ の側から $a, b$ を引き忘れ、 $(x_{1} - a) x + (y_{1} - b) y = r^{2}$ としてしまう誤り。正しくは両方の因数から中心の座標を引き、 $(x_{1} - a) (x - a) + (y_{1} - b) (y - b) = r^{2}$ とする。
円外の点から引く接線を $y - q = m (x - p)$ とおいたため、垂直な接線を見落とす誤り。例えば円 $x^{2} + y^{2} = 4$ に点 $(2, 3)$ から引く接線では、距離の条件から $m = \frac{5}{12}$ だけが得られる。しかし $x = 2$ も接線なので、正しくは $y = \frac{5}{12} x + \frac{13}{6}$ と $x = 2$ の 2 本である。
円上にない点を公式に代入して接線としてしまう誤り。例えば円 $x^{2} + y^{2} = 4$ と点 $(2, 3)$ で $2 x + 3 y = 4$ とするのは誤りである。この直線は中心との距離が $\frac{4}{13} \neq = 2$ なので、接線ではない。正しくは、点が円上にあるかを先に確かめ、円外の点なら手順4・5の方法を使う。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

接点を結ぶ直線（数学II 図形と方程式）
領域における最大・最小（数学II 図形と方程式）