図形と方程式の問題

点 P が円上にあることの確認

$(2-1{)}^2+(1+2{)}^2=1+9=10$ なので、点 $\mathrm{P}(2,1)$ は円 $C$ 上にあります。

接線の公式を使う

円 $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$ 上の点 $(x_1,y_1)$ における接線の方程式は
$$(x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b)=r^2$$
です。

円 $C$ では $a=1$, $b=-2$, $r^2=10$ です。接点は $(x_1,y_1)=(2,1)$ なので、$x_1-a=2-1=1$, $y_1-b=1-(-2)=3$ となります。これを公式に代入すると
$$1\cdot (x-1)+3(y+2)=10$$

式を整理する

$$x-1+3y+6=10$$
$$x+3y=5$$
$$y=-\frac{1}{3}x+\frac{5}{3}$$

確かめ

• 点 $\mathrm{P}$ を通るか: $x=2$ のとき $y=-\frac{2}{3}+\frac{5}{3}=1$ となり、通ります。
• 半径と垂直か: 中心 $(1,-2)$ と $\mathrm{P}(2,1)$ を結ぶ半径の傾きは $\frac{1-(-2)}{2-1}=3$ です。接線の傾き $-\frac{1}{3}$ との積は $3\times \left(-\frac{1}{3}\right)=-1$ なので、接線は半径に垂直です。

よって、求める接線は $y=-\frac{1}{3}x+\frac{5}{3}$ です。

円 $C$ の中心は $(1,-2)$、半径は $\sqrt{10}$ である。
まず点 $\mathrm{P}(2,1)$ が $C$ 上にあるか確かめる。$(2-1{)}^2+(1+2{)}^2=1+9=10$ なので、$\mathrm{P}$ は $C$ 上にある。
円 $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$ 上の点 $(x_1,y_1)$ における接線は $(x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b)=r^2$ で表される。
これに $a=1$, $b=-2$, $x_1=2$, $y_1=1$ を代入すると $(2-1)(x-1)+(1+2)(y+2)=10$ となる。
左辺を展開して $x-1+3y+6=10$ より $x+3y=5$、すなわち $y=-\frac{1}{3}x+\frac{5}{3}$ を得る。
検算として、中心 $(1,-2)$ と $\mathrm{P}$ を結ぶ直線の傾きは $\frac{1-(-2)}{2-1}=3$ である。接線はこれに垂直なので傾きは $-\frac{1}{3}$ となり、上の結果と一致する。
また $x=2$, $y=1$ を $x+3y=5$ に代入すると $2+3=5$ で成り立つ。
よって $m=-\frac{1}{3}$, $n=\frac{5}{3}$ である。